18 марта 2010 г. Математический институт Клея объявил о своем решении присудить так называемую Премию тысячелетия (Millenium Prize) Григорию Перельману за доказательство гипотезы Пуанкаре (www.claymath.org/poincare/). Эту радостную новость мы попросили прокомментировать д.физ-мат.н., г.н.с. Санкт-Петербургского отделения Математического института им. Стеклова РАН Анатолия Вершика.
Решение Математического института Клея — единственно верный, ожидаемый и несколько затянувшийся финал этой истории. И дело совсем не в премии, как таковой, а в том, что тем самым подтверждено признание и значение выдающегося результата и роли Григория Перельмана как единственного автора доказательства. Обсуждались и другие возможные решения.
Я уже высказывал свое скептическое отношение к премиям института Клея в том виде, в каком они были учреждены, но в любом случае нынешнее решение делает Институту Клея честь.
Достижение Григория Перельмана, безусловно, выдающееся событие в науке. Оно подтвердило еще раз то замечательное обстоятельство, что по-настоящему трудные и ключевые проблемы никогда не решаются только средствами той науки, в терминах которой они сформулированы. Гипотеза Пуанкаре и более общая гипотеза Терстона о геометризации трехмерных многообразий, которую также («заодно») доказал Перельман, суть чисто топологические проблемы. Были многочисленные и неудавшиеся попытки их доказать, в частности и весьма крупными математиками, топологичеcкими средствами.
Возможно ли такое доказательство — и сейчас неизвестно, эти попытки продолжаются. Так, совсем недавно я получил письмо от одного серьезного математика, в котором он пишет о своей работе такого плана. Решение проблемы Пуанкаре в размерностях больших и равных 5 американским математиком С. Смейлом в 1961 г. также было алгебротопологическим. Но решение гораздо более трудной трехмерной проблемы Пуанкаре Григорием Перельманом и проблемы геометризации совершенно не является топологическим и пришло совсем с другой стороны.
Им был использован новый подход, который можно назвать динамическим: исследовалось, что может произойти с многообразием в процессе его «естественной» эволюции. Здесь сыграла свою роль инициатива другого американского математика, Р. Гамильтона, который в 80-х годах предпринял такую попытку и получил ряд результатов, однако они не решали главных и труднейших проблем, которые с блеском разрешил Григорий Перельман.
Помимо огромной «пробивной» силы таланта Григория Перельмана я считаю, что здесь сыграла роль и традиция, характерная для некоторых наших (российских) математических школ (в данном случае геометрической школы А.Д. Александрова): стремиться рассматривать задачу в широком контексте, использовать методы смежных областей, обнаруживать универсальный характер изучаемых явлений.
Уже сейчас видно, что эта работа окажет огромное влияние на разные ветви математики и, возможно даже, теоретической физики. Работы (пока не в России, в основном в США) на эту тему уже начали появляться.