Владимир Игоревич Арнольд ушел от нас 3 июня 2010 г., но все время кажется, что это неправда, что вот-вот он придет, что мы услышим его энергичный и веселый голос. Хочется, чтобы не забылся настоящий Арнольд, тем важнее воспоминания его ближайших людей. Публикуем статью памяти В.И. Арнольда его друга и коллеги Виктора Павловича Маслова, докт. физ.-мат. наук, профессора, академика РАН.
Если мне смерть суждена,
на арене,
Смерть укротителя,
знаю теперь:
Этот незримый для публики зверь
Первым мои перекусит колени.
Николай Гумилев
Не могу себе даже представить, что Арнольда больше нет. Он для меня «живее всех живых». И смерть подкралась к нему не с той стороны, с которой его жена-врач Эля ставила надежную оборону. В самый трагический момент моей жизни, когда умирала моя жена, я помчался к Арнольду, и его жена Эля сказала, что надо было бы сделать врачам, чтобы спасти ее.
Моя жизнь как математика и личная жизнь несколько причудливым образом переплетались с жизнью Арнольда. В нашей карьере то он, то я вырывались вперед, и мы помогали друг другу. В какой-то момент траектории сошлись почему-то в одной точке, и мы оба (редкость — сразу два российских математика) получили приглашение сделать пленарные доклады на одном и том же Стокгольмском математическом конгрессе (1962).
Когда мы были молодыми, В. Арнольд, Ю. Манин и я, то ощущали потребность совершить «государственный переворот» в математике, как был совершен «государственный переворот» в физике, когда квантовую механику, которую не понимали даже маститые профессора физфака МГУ, стали преподавать студентам 4-го курса.
Когда-то в начале века В.А. Пяст опубликовал статью под названием «Государственный переворот», в которой констатировался факт перехода представителей модернистической литературы из положения «отверженных» в положение «признанных».
Я заметил, что абитуриенты, прекрасно сдавшие математику, не попадали тем не менее на физфак, и подумал о том, чтобы набрать из «отверженных» группу студентов и провести с помощью такой группы «государственный переворот» такого сорта. Я договорился с ректором МИЭМ (Московский институт электронного машиностроения) Е.В. Арменским, что я перейду из МГУ в МИЭМ и возглавлю кафедру прикладной математики, если мне предоставят возможность брать каждый год без экзаменов группу «отверженных». В. Арнольд, Ю. Ма-нин, М. Федорюк, А. Костюченко, а из физиков ученик Боголюбова Б. Медведев взялись читать курсы по современной математике, по совершенно новой программе, для этой группы «отверженных». Мы все испытывали вдохновение футуристов в математике. Каждая лекция Арнольда и Манина была неповторимым шедевром. Слушателей было всего 15 человек, они прекрасно понимали, как им повезло.
У Ю. Манина подготовка к лекции занимала не менее 10 часов, и это было как бы соревнование с лучшим в мире лектором Арнольдом. По этим курсам Манин, Медведев и я издали учебники нового типа. К сожалению, второй подобной группы из «отверженных», отобранных по результатам письменного экзамена по математике, набрать не удалось. Ректора Арменского вызвали в ЦК, он получил нагоняй, и на этой группе эксперимент окончился. К сожалению также, как я ни бился и как ни помогали мне ученые разных институтов, законы так называемого «распределения» раскидали этих ребят в разные стороны. Не было Ландау-минимума, который собирал талантливейших молодых ученых около одного лидера. В МГУ на мехмате было легче, и Арнольд оброс замечательной школой; в МИЭМ’е после нагоняя это стало сложнее: «отверженных» стало еще больше, чем на физфаке МГУ.
Арнольд раньше меня защитил докторскую. Перед самой защитой моей докторской диссертации один из оппонентов заболел, я попросил Арнольда в срочном порядке быть моим оппонентом. За 5 дней я рассказал ему геометрическую часть, и он с моих слов написал блестящий текст, расставив все точки над «i» в геометрии индекса пересечения с особенностями проектирования лагранжева многообразия на координатную гиперплоскость. У меня была более общая алгебраическая концепция, а ее геометрическая интерпретация была приведена в основном на примерах. Алгебраическое доказательство занимало целую главу книги «Теория возмущений и асимптотические методы» (издательство МГУ, Москва, 1965).
Я довольно долго упрашивал Арнольда опубликовать текст рецензии, и наконец она вышла под заголовком «О характеристическом классе, входящем в условия квантования». Число ссылок на нее было огромно. Насколько я помню, в этой статье он в основном ничего не изменил по сравнению с отзывом. Историки математики, которые, безусловно, будут исследовать наследие такого крупного ученого, могут сравнить эти тексты по диссертационному архиву.
Алгебраический абстрактный подход при этом не потерялся. С.П. Новиков применил его в цикле блестящих работ по К-теории, которые потом развивались его замечательной школой. Его используют и физики для конкретного вычисления так называемого индекса Маслова.
Арнольд не был членом-корреспондентом, когда я, минуя звание член-корра, несмотря на противодействие ЦК КПСС, был избран сразу в академики. Не будучи еще утвержденным на Общем собрании, я тем не менее пришел (не совсем законно) на выборы член-корров. Я пришел не зря. Влияние на член-корров, которые не знают еще, как будет голосовать новоиспеченный академик, нельзя сбрасывать со счетов, но, откровенно говоря, главную роль в выборах Арнольда в члены-корреспонденты играл Л.Д. Фаддеев.
Выборы в академики — другое дело. Здесь нужна была кропотливая работа, анализ, кто и как будет в дальнейшем голосовать, кто имеет шанс пройти из ученых, которые будут голосовать за Арнольда. Этот принцип (тот минимум) был для меня как лакмусовая бумажка при выборах очередных членов Академии.
Когда, наконец, Арнольд стал реальным кандидатом, он усомнился в голосе крупнейшего ученого (мы оба считали его гениальным), перед которым сызмальства испытывал некоторый комплекс неполноценности. Он по большому секрету сказал мне о своих сомнениях, и я поклялся полностью проконтролировать на выборах этот момент.
Арнольд никогда не был дипломатом, он был всегда искренен до наивности. Например, когда он выступал в поддержку одного из своих блестящих учеников, выдвинутого в член-корры, то сказал, что последний сильнее всех кандидатов, в том числе и среди член-корров, выдвинутых в академики. Я ему потом говорил, что он тем самым обидел голосующих, и подсчитал, сколько голосов он потерял в результате этого. Нужно было видеть, как он каялся и ругал себя.
Арнольд был беспомощен, когда его начальство — замдекана или заведующая кафедрой — на него наседали. Я описал наши перипетии на конгрессе в книге «Безоружная любовь». Добавлю, что его зав. кафедрой О.А. Олейник (мягко говоря) попросила упомянуть ее в докладе. Я посмеялся и сказал: «А меня, пожалуйста, смотри, не упоминай». Он, выполнил мою просьбу, однако начал свой доклад словами: «все эти задачи шли из МИЭМа». На наших докладах мы помогали друг другу менять трансперенсы, и, когда была моя очередь помогать Арнольду, я обводил и подчеркивал фамилию Олейник на трансперенсе.
Арнольд рассказывал свою знаменитую теорию катастроф. Действительно, я в известной мере был инициатором этой работы. Но у меня есть непреодолимое отвращение ко всяким восхвалениям в мой адрес (особенно в лицо и особенно если это связано с недвусмысленными намеками на мой теперь уже довольно преклонный возраст). Например, на неожиданное восхваление моих научных заслуг в «Новой газете», да еще в сравнении с другими учеными (№ 36, от 22 мая 2008 г.) я смог немедленно откликнуться, поскольку в следующем номере шла моя заметка «О рисках и приобретениях» («Новая газета», приложение «Кентавр», № 11, от 29 мая 2008 г.), в которой (за счет сокращения важного текста об экономике грядущего кризиса) я протестовал: «Категорически не могу согласиться с чрезмерно высокой оценкой моего вклада в науку, данной редакцией «Кентавра» в № 36)» и т.д. на 1/6 объема статьи.
А проблема, решенная в знаменитой теории катастроф Арнольда, мучила меня с 1965 г., когда я подробно описал каустики и фокальные точки с помощью канонического оператора (теперь он называется «Фурье-интегральный оператор»). В работе «Теория возмущений и асимптотические методы» я сумел свести задачу к минимальному числу интегралов, но хотелось бы выразить эти интегралы еще проще, через спецификации, что впервые сделали в ряде важных случаев Д. Шэффер и В. Гийемин.
Л. Хёрмандер, узнав о моей теории со слов Ю. Егорова, дал другое представление канонического оператора, которое было хуже канонического оператора с указанной выше точки зрения. Его пленарный доклад на конгрессе в Ницце в 1970 г. был издан в виде препринта и переведен на русский язык в журнале «Математика» (16:1, 1972, с. 17-61).
Относительно канонического оператора там было сказано следующее. «Работа Егорова, по сути, является приложением идей Маслова, изложенных в книге «Теория возмущений и асимптотические методы». Автор сожалеет о том, что не был непосредственно знаком с этой книгой, которая, согласно докладу Маслова на Международном конгрессе в Ницце, содержит идеи, приписываемые здесь Егорову и Арнольду, и более общее и точное операторное исчисление, чем то, которое будет описано в данной работе. Тем не менее, в силу того, что эта книга чрезвычайно труднодоступна и, возможно, доказательства не вполне строги, мы надеемся, что данная работа все же будет полезной».
Меня спросили (в том числе и О.А. Олейник), согласен ли я с такой формулировкой Хёрмандера. Я сказал, что категорически не согласен. Во-первых, сравнение с другими математиками некорректно: работа Ю. Егорова вообще относится к преобразованию, давно открытому В.А. Фоком. Вклад Арнольда и его блестящая интерпретация, как я уже говорил, с моей точки зрения, неоценимы, а работа Хёрмандера освещает ряд важнейших сторон этой проблемы.
Во-вторых, некорректно говорить «возможно, доказательства не совсем строги». Работу проверяли такие тонкие и замечательные математики, как Г.И. Эскин и О.А. Ладыженская, и я исчерпывающе ответил на все возникшие у них вопросы в присутствии таких специалистов, как В.П. Паламодов и С.П. Новиков. Их вопросы помогли мне в моих лекциях -я понял, какие моменты нужно подробнее освещать.
Тогда же на конгрессе в Ницце я задал вопрос о представлении канонического оператора в виде простых формул великому математику сэру Майклу Атье. Я предъявил тривиальный случай суммы степеней в экспоненте (действие) интеграла и показал, что степень особенности по параметру h (константе Планка) не меняется после замены переменных, а значит, является инвариантом особенности проектирования введенного мной лагранжева многообразия на координатную плоскость. Но это его не заинтересовало. На этот факт я обращал внимание и других топологов, а также А. Мищенко и В. Арнольда, но никто им не заинтересовался.
Наконец, мне все-таки удалось пробудить интерес к этой проблеме инженеров Министерства радиопромышленности. Я предложил им решить задачу об отражении радиолокационных лучей от слоя Хевисайда. Это задача, в которой возникновение очень сложных фокусов крайне редко, и нужно рассматривать фокальные точки и каустики в общем положении.
Заключив подряд, я нанял команду Арнольда для решения крайне трудоемкой задачи о классификации каустик в общем положении. Эту задачу Арнольд и его команда блестяще решили (я играл роль только подгонялы и надсмотрщика). Арнольд, однако, в своих статьях с таким энтузиазмом меня благодарил, что в книге Постона и Стюарта «Теория катастроф» мне чуть ли не приписано 50% заслуги Арнольда, хотя к этой работе я имел не большее отношение, чем тот генерал, который ставил свою подпись в работе об отражении радиоволн в закрытых журналах.
В конце концов сам министр Первушин написал представление о рекомендации моей кандидатуры в члены АН СССР, которое ни в какой степени не компенсировало отрицательного мнения ЦК. Хочу подчеркнуть, что по гамбургскому счету именно Арнольд заслужил такое внимание высшего начальства Радио-прома, а не я и даже не вышеупомянутый генерал.
Когда я рассчитал неизбежность дефолта в России в 1998 г., то решил продать дачу, которая находилась рядом с дачей Арнольда, и пришел к нему рассказать о моей новой концепции хаоса. Он тонко почувствовал оттенки моего рассказа и сказал: «Ты рассказываешь так, как будто опять собираешься позвать меня в оппоненты».
Он угадал. Я объяснил, что хочу уехать из страны в Великобританию, по крайней мере на время, переждать там последствия дефолта, если они приведут к распаду РФ. В UK моя средняя дочь может продолжить обучение в школе (там 13-летнее среднее образование) — она к тому времени заканчивала школу в Троицке, но еще не выбрала специализации. Арнольд сказал мне, что его как раз просили в Гонконгском университете уговорить меня принять их приглашение на работу, хотя бы на один год, на очень хороших условиях. В Гонконге такая же система образования, что и в Англии.
Помимо этого Арнольд обратился к нашему общему другу сэру Майклу Бер-ри, и тот тоже прислал мне приглашение приехать на год в Бристоль.
Приглашение из Гонконга имело много выгодных сторон, которые мне описывали Арнольд и другие ученые. Но в последний момент я предпочел Великобританию — все-таки эта страна ближе, всего 3 часа лету до Москвы. Дефолт, к счастью, быстро был преодолен, и я с семьей вернулся в Россию, оставив в Англии старшую дочь учиться в университете.
Последнее мистическое совпадение наших траекторий — его похороны совпали с моим юбилеем. После похорон наш общий друг сказал грустно: «Арнольд «приказал долго жить», — получается, что тебе приказал». Для нас с Арнольдом жить — это значит творить. Когда его увезли в больницу в день смерти, на его подушке остались листы с недописанными формулами.