Фантомы на дорогах

Доктор физ.-мат. наук, зав. лабораторией физики элементарных частиц ИТЭФ Андрей Ростовцев попытался проанализировать феномен traffic jams с точки зрения физики.

В длительных путешествиях на автомобиле часто приходится встречаться с таким досадным явлением, как фантомные пробки. Потолкавшись в такой пробке иногда длительное время, выезжаешь из нее как ни в чем не бывало, абсолютно не понимая, в чем было дело. Часто никакой видимой причины, почему эта пробка возникла, просто нет. От этого становится только досаднее, что потерял столько времени без какой-либо причины.

Если движение достаточно плотное, то, покинув один фантомный затор на дороге, через некоторое время попадаешь в следующий, такой же беспричинный затор. В чем причина «беспричинного» стояния в пробках? С этим загадочным явлением физики-математики начали разбираться еще в конце 50-х прошлого века. Оказалось, что движение на дороге в первую очередь определяет уравнение сохранения потока движения, согласно которому изменение плотности движения р в точке x на дороге точно компенсируется изменением потока машин в этот момент времени. При этом поток машин в точке x и в момент времени t равен произведению плотности машин на дороге р (x,t) на скорость движения машин u(x,t). Это многословие математик выразил бы простым уравнением

d_tρ + d_x(ρ · u) = 0.

Если учесть, что скорость потока несложным образом зависит от его плотности, т.е. при низкой плотности р_min скорость потока максимальна (u_max) и наоборот, то в конце концов получается уравнение, напоминающее волновое уравнение первого порядка. Если так, то скорость движения по трассе есть не что иное, как волнообразная функция, зависящая от решения этого уравнения, с пограничными условиями на некий начальный момент времени t₀ и в некой удаленной точке х₀. Причем этот t₀ мог случиться еще задолго до того, как тебе в голову пришла мысль отправиться в путешествие.

Самый простой и всем понятный пример распространяющейся волны на дороге возникает в результате ее перекрытия для проезда кортежа чиновников. Для эксперимента можно выбрать Рублевское шоссе в пятницу, во второй половине дня, когда чиновники с мигалками разъезжаются по своим владениям. Начиная с головы перекрытия, машины быстро накапливаются, а фронт такой ударной волны бежит против движения. Скорость фронта волны определяется решением уравнения сохранения потока движения, которое еще в позапрошлом веке нашли независимо друг от друга британский физик Вильямс Ранкин и французский математик Пьер Гюгонио, а еще ранее немецкий математик Георг Риман:

v = ρ_min · u_max /(ρ_max — ρ_min).

 Очевидно, что р_тах в нашем Рублевском примере соответствует плотности глухо стоящей пробки из машин бампер в бампер.

Предположим, кортеж чиновника проехал, и дорогу снова открыли. Тогда первый ряд машин тронется, за ним чуть позже — второй ряд и т.д. Кажется, что пробка начинает рассасываться. Как бы не так! В хвост этой пробки продолжают встраиваться всё новые машины. В результате стоячая пробка, как одинокая волна, перемещается по дороге с той же скоростью v в сторону, противоположную движению. И если эта скорость близка к скорости рассасывания переднего фронта, то плотная стоячая пробка самостоятельно побежит путешествовать по шоссе далеко от того места, где проехал кортеж. Чиновник таким способом может передать свой привет народу на большие расстояния. Такие самостоятельно путешествующие по дорогам заторы в мировой практике называются фантомными.

Справедливости ради надо сказать, что не только чиновники виноваты в фантомных заторах. При достаточно большой плотности потока машин движение из стабильного состояния переходит в нестабильное, когда любое небольшое локальное увеличение плотности приводит к локальному падению скорости и кристаллизации новой волны затора. Аналогия с газом и жидкостью здесь напрашивается сама собой. Но возмущение потока жидкости обычно приводит к появлению на ее поверхности целой серии волн. Аналогичное явление наблюдается и на дорогах, но связано оно скорее с психологией водителей, нежели чем с физикой упругих сред.

Какой русский не любит быстрой езды? И не только русский. Давно замечено, что мы начинаем давить на педаль газа тем сильнее, чем быстрее удаляется от нас впереди идущий автомобиль. То есть следующим важным фактором в модели движения на дороге является разница в скоростях соседних автомобилей. От этой разницы зависит ускорение или замедление потока. Всё было бы не так плохо, если бы это ускорение и замедление зависели только от разницы скоростей, но существенной поправкой к этой зависимости еще является и время реакции водителей. Поэтому в уравнении сохранения потока движения необходимо учесть этот психологический фактор. Именно благодаря ему, вырвавшись из одной пробки, мы со временем догоняем машины, уехавшие раньше нас, и, соответственно, постепенно уплотняем поток до нового нестабильного состояния, что неизбежно в свою очередь ведет к потере скорости и образованию следующей волны затора.

Несмотря на то, что качественно все эти чудеса самоорганизации движения машин описываются точными математическими моделями, оказалось, что параметры этих моделей в первую очередь зависят от национальной манеры поведения на дорогах. Ничего удивительного: предсказательность теории снова оказалась заложником банального человеческого фактора. Как-то в Женеве я был приятно удивлен, когда обнаружил, что при перестроении из одной полосы в другую соседняя машина, уже обогнавшая меня почти на полкорпуса, притормозила, чтобы пропустить мой автомобиль вперед и дать мне возможность перестроиться.

В России такое вежливое поведение — большая редкость. В результате возникает еще один специфический дорожный парадокс. Известно, что на МКАДе обычные заторы образуются из-за коротких съездов и въездов, перед которыми в крайних правых рядах накапливаются автомобили. Парадокс состоит в том, что перед такими заторами быстрее всего движется именно правый ряд, а медленнее — левый, за который идет жесткая борьба перестраивающихся влево машин. В этом «наше» движение противоречит не только логике, но и просто физической аналогии с потоком несознательной жидкости.

Что же делать? Рецепт прост — быть вежливыми на дороге, держать дистанцию и как можно более жестко адаптировать свою скорость к скорости потока. Ну и, конечно, пореже перекрывать дороги ради чиновников.

Удачи на дорогах!