Про нестандартный анализ и «grossone»

Предлагаем также ознакомиться с мне­нием канд. физ.-мат. наук, научного со­трудника Института проблем пере­дачи информации РАН (Москва) и LIRMM CNRS (Франция, Монпелье) Александра Шеня, которого редакция ТрВ—Наука по­просила прокомментировать замет­ку Семёна Кутателадзе «Наука ниче­го не должна лженауке».

1. Идея «бесконечных чисел» (бесконечно малых, бесконечно больших) знакома нам «по жизни» и встречается в разных вариантах. Мы можем сказать, что какие-нибудь галак­тики бесконечно далеки от нас, имея в виду, что они настолько далеки, что уже не важно, насколько именно. Тем не менее, дело это не такое простое — вопрос о том, одинаковы ли числа 0,9999… (бесконечная дробь из одних девяток) и 1,000… или первое всё же немно­го меньше, ставит многих школьников в тупик. А если мы удалим из отрезка его правый ко­нец, какая из оставшихся точек будет край­ней? Тоже не так ясно.

2. Математический анализ традиционно го­ворит о «бесконечно малых», раньше его так и называли — «анализ бесконечно малых». Скажем, средняя скорость тела за какой-то промежуток времени определяется как от­ношение пройденного расстояния к потра­ченному времени. Чтобы получить мгновен­ную скорость, нужно взять этот промежуток «бесконечно малым». Смысл этих выражений (когда и почему бесконечно малыми можно и нужно пренебрегать, а когда никак нельзя) был долгое время предметом споров. В XIX веке Коши (и другие) сумели поставить ана­лиз на твердую основу, истолковав его основ­ные понятия с помощью теории пределов. При таком толковании никаких бесконечно малых нет, а есть (для нашего примера) предел сред­ней скорости при стремлении длины проме­жутка к нулю. Такой подход и сейчас являет­ся стандартным при изложении анализа, хотя для наглядности математики и особенно фи­зики часто говорят о бесконечно малых при­ращениях чего-нибудь.

3. Другой вид «бесконечности» ввел Кантор в конце XIX века, говоря о количестве элемен­тов в бесконечных множествах. Скажем, он объ­яснил, в каком смысле точек на отрезке боль­ше, чем целых чисел: как бы мы ни нумеро­вали точки отрезка целыми числами, обяза­тельно останутся непронумерованные точки. В построенной им теории множеств это опи­сывается «кардинальными числами» (а кро­ме того, есть и «ординальные числа»). Теория множеств получила свое развитие в рамках математической логики, которая постаралась избавить ее от парадоксов и дала (более или менее) надежную основу.

4. В 1960-е годы Абрахам Робинсон (и другие математические логики) заметили, что с помо­щью логических методов можно предложить вариант построения математического анали­за, в котором, помимо обычных чисел (сре­ди которых нет бесконечно малых) бывают и другие, «нестандартные» числа, в том чис­ле бесконечно малые и бесконечно большие.

Некоторые энтузиасты даже думали, что это построение можно использовать для препода­вания анализа нематематикам, которым обыч­ный подход кажется слишком сложным. Из это­го ничего не вышло — дело в том, что есть не­сколько вариантов построения нестандартно­го анализа, но все они требуют хорошего зна­комства с математической логикой, потому что надо постоянно различать, какие из рассма­триваемых чисел «стандартные», а какие «не­стандартные». С другой стороны, имеется мно­жество интересных работ, применяющих не­стандартный анализ (в этом смысле) и вооб­ще теорию моделей (раздел математической логики) к разным математическим вопросам.

5. Естественно, что у неспециалистов возни­кает идея рассматривать бесконечные числа «по-простому», без всех этих логических хи­тростей (которые им кажутся непонятными) – и они не всегда осознают проблемы, с кото­рыми сталкивается такой «наивный» подход. Судя по публикациям Сергеева и его докладу на одной из конференций (в Орлеане), кото­рый я слышал, тут именно этот случай (а его усилия по патентованию своих идей, связан­ных с бесконечно большими числами, при­дают происходящему дополнительный отте­нок абсурда).