Космология в момент рождения

Новые науки редко возникают практически в одночасье, как Афина из головы Зевса. Однако сто лет назад нечто подобное имело место. Именно так появилась на свет одна из самых динамичных и перспективных наук нашего времени — физическая космология.

В 1916 году Альберт Эйнштейн написал четыре статьи с детальным изложением общей теории относительности, после чего применил ее для моделирования Вселенной. Свои результаты он представил в статье Kosmologische Betrachtungen zur Allgemeinen Relativitätstheorie, Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1917 (part 1), 142–152, отправленной в печать 8 февраля 1917 года. В этой работе он смоделировал Вселенную в виде статичного трехмерного неевклидова пространства положительной кривизны, заполненного неподвижной материей постоянной плотности.

В основу своей модели Эйнштейн положил ряд допущений, которые в целом соответствовали астрономической парадигме того времени. Она вполне позволяла предположить (так и сделал Эйнштейн), что свойства Вселенной не изменяются со временем. Он также постулировал, что в космосе нет ни выделенных мест, ни выделенных направлений, а гравитирующая материя в среднем равномерно распределена по Вселенной.

Эйнштейн начал свои дедукции с ньютоновской теории тяготения. Он предположил, что космическое пространство заполнено идеальным звездным газом, который подчиняется статистике Больцмана. С помощью весьма элементарных рассуждений он показал, что такая Вселенная способна существовать лишь в случае нулевой средней плотности ее вещества. Пустая Вселенная Эйнштейна, естественно, никак не устраивала, однако он нашел выход посредством модификации уравнения Пуассона, которое описывает ньютоновское тяготение. Вычтя из его левой части гравитационный потенциал, умноженный на некую положительную константу, Эйнштейн получил новое уравнение, допускающее ненулевую плотность материи. Так без большого шума впервые появилась универсальная константа, которую позже назвали космологической постоянной.

$R_{\mu\nu} — {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$

Так выглядит уравнение Эйнштейна, связывающее метрику искривленного пространства-времени со свойствами заполняющей его материи.

$R_{\mu\nu}$ — тензор Риччи,

$R$ — скалярная кривизна,

$g_{\mu\nu}$ — метрический тензор,

$\Lambda$ — космологическая постоянная,

$c$ — скорость света,

$G$ — гравитационная постоянная Ньютона,

$T_{\mu\nu}$ — тензор Энергии-импульса.

Конечно, эта демонстрация сама по себе мало что значила. Однако Эйнштейн в свое время доказал, что уравнение Пуассона является предельным случаем полной системы уравнений общей теории относительности для слабых полей тяготения и нерелятивистских скоростей вещества. Это давало основания предположить, что аналогичная модификация этих уравнений тоже позволит получить хотя бы приближенно реалистичную модель Вселенной. Именно это он и сделал, введя в свои уравнения всё ту же постоянную, умноженную на метрический тензор. В результате он получил статичное решение этих уравнений в виде заполненной веществом трехмерной гиперсферы в четырехмерном евклидовом пространстве.

Эта гиперсфера и стала первой космологической моделью, построенной на базе общей теории относительности. Ее свойства определяются тремя параметрами — радиусом, средней плотностью материи и величиной космологической постоянной, причем задание численного значения любого из них однозначно определяет остальные. Так что Создатель подобной Вселенной имел бы минимальную свободу выбора — всего один параметр.

Это свойство модели Эйнштейна произвело сильное впечатление на современников. Возможно, поэтому сразу никто не заметил, что ее статичность сохраняется только формально. Если радиус эйнштейновской Вселенной случайно увеличится хоть на йоту, то он будет расти до бесконечности (а при уменьшении радиуса она сожмется в точку). Отсюда следует, что модель неустойчива и потому не имеет физического смысла. Это было формально продемонстрировано в 1930 году Артуром Стенли Эддингтоном, хотя, скорее всего, за несколько лет до этого неустойчивость эйнштейновского решения понял гениальный отец-основатель физической космологии Жорж Леметр.

Сам Эйнштейн мало беспокоился о реалистичности своей космологии. В письме Паулю Эренфесту он даже признался, что найденное решение может отправить его в сумасшедший дом. Великий физик и вообще нередко демонстрировал юмор висельника.

В модели Эйнштейна величина космологической постоянной прямо пропорциональна плотности материи и обратно пропорциональна квадрату радиуса Вселенной. Отсюда следует, что если положить эту плотность равной нулю, то космологическая постоянная тоже обнулится, а радиус возрастет до бесконечности. В итоге получится евклидово пространство, к тому же идеально пустое. Ясно, что такое решение интереса не представляет.

Однако это отнюдь не конец истории. Осенью 1917 года друг Эйнштейна профессор астрономии Лейденского университета Виллем де Ситтер обнародовал новую космологическую модель, описывающую пустой мир с ненулевой космологической константой! Это было в полном смысле чудо чудное и диво дивное.

Де Ситтер сыграл весьма значительную роль в распространении общей теории относительности. Он был первым крупным астрономом за пределами Германии, который освоил, усвоил и применял эту теорию. Более того, он пропагандировал ее в англоязычных странах. Пользуясь положением жителя нейтральной Голландии, он в 1916 и 1917 годах опубликовал в Великобритании три статьи под общим заглавием On Einstein’s theory of gravitation and its astronomical consequences, которые стали для его английских коллег (в том числе Эддингтона) важным источником информации о релятивистской теории тяготения. В третьей из этих работ, полностью завершенной

в октябре 1917 года и появившейся на страницах журнала в ноябре, он подробно проанализировал модель Эйнштейна (которую назвал системой А) и представил собственную альтернативу, систему B (W. de Sitter, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 78, 3–28).

Модель де Ситтера, как и эйнштейновская, описывает замкнутую Вселенную постоянной положительной кривизны. Компоненты метрического тензора в решении де Ситтера не зависят от времени, поэтому его Вселенная тоже статична, во всяком случае в избранной системе координат. Однако на этом сходство заканчивается и начинаются сюрпризы.

Пространство модели де Ситтера, в отличие от сферической геометрии эйнштейновской модели, относится к эллиптическому типу. Свойства этих двух пространств весьма различны. Если в сферическом пространстве все прямые, исходящие из одной точки, пересекаются в диаметрально противоположной (антиподальной) точке, то в эллиптическом пространстве две прямые не могут иметь больше одной точки пересечения, как и в пространстве Евклида. В обоих пространствах прямые линии замкнуты на себя, однако их длины различаются в два раза. Де Ситтер особо подчеркнул, что эллиптическое пространство, в отличие от сферического, допускает проекцию на пространство Евклида и потому больше подходит для описания физического мира. При этом он не преминул отметить, что Эйнштейн согласился с этим выводом, о чем сообщил де Ситтеру в личном письме.

Самые интересные различия между этими моделями выявляются при рассмотрении полных пространственно-временных (а не одних лишь пространственных) метрик. В модели Эйнштейна время полностью отделено от пространства и независимо от него — как и у Ньютона. А вот в модели де Ситтера на различных дистанциях от начала координат время течет с разной скоростью! Там «нет универсального времени, как нет и нет принципиальной разницы между „временем“ и тремя прочими координатами, ни одна из которых не имеет реального физического смысла. В системе А, напротив, время, по своей сути, отлично от пространственных координат» (стр. 11).

Де Ситтер проследил ряд парадоксальных (по его собственным словам) следствий «смешивания» времени и пространства в своей модели. Например, свободные частицы в ней отнюдь не движутся с постоянной скоростью по прямым линиям. Прямолинейное равномерное движение свободных частиц возможно только вблизи начала координат, однако по мере удаления от этой точки скорости таких частиц меняются. На «границе» пространства и скорость, и кинетическая энергия любой частицы обращаются в нуль. Как пишет де Ситтер, на этой гиперповерхности «четырехмерное пространство-время редуцируется до трехмерного пространства: там нет времени, а потому нет и движения» (стр. 17; курсив автора). По этой же причине луч света, испущенный из начала координат, никогда не достигнет границы за конечный промежуток времени.

Еще один парадокс де Ситтер сформулировал в самом конце статьи. В пространстве-времени его модели «частота световых колебаний уменьшается по мере удаления от начала координат. Поэтому спектральные линии света очень далеких звезд и туманностей должны сдвигаться за счет систематического красного смещения, создавая иллюзию положительной (то есть направленной от Земли. — А. Л.) радиальной скорости» (стр. 26). Таким образом, де Ситтер фактически предсказал красное смещение спектров очень далеких космических объектов, однако объяснил его не расширением Вселенной, а замедлением времени на ее границах.

Будучи астрономом, де Ситтер счел нужным отметить, что в литературе уже есть сообщения о разбегании нескольких спиральных туманностей, «хоть эти наблюдения еще очень ненадежны» (стр. 27). Он особо выделил три туманности (Андромеду, NGC 1068 и NGC 4594), чьи спектры позволяют оценить радиальные скорости примерно в 600 км/с. В последнем абзаце де Ситтер не преминул отметить, что «если последующие наблюдения подтвердят наличие положительных радиальных скоростей, это, несомненно, окажется аргументом в пользу принятия гипотезы B вместо гипотезы А» (стр. 28). Если же систематические красные смещения спектров далеких объектов не будут обнаружены, сей факт можно будет интерпретировать либо как свидетельство в пользу гипотезы А, либо как указание на то, что радиус Вселенной R много больше, чем считается в настоящее время (там же).

Этим прогнозом и заканчивается замечательная работа де Ситтера, которая, вслед за статьей Эйнштейна, ознаменовала возникновение современной космологии. Позже теоретики приложили немалые усилия в попытках интерпретировать ее во всей полноте и, в частности, понять природу возникающего в этой модели красного смещения, которое назвали эффектом де Ситтера. Остановлюсь только на ключевых моментах.

Во-первых, де Ситтер не предсказал эффект разбегания далеких галактик, описываемый законом Хаббла. Согласно этому закону, радиальная скорость удаления галактики пропорциональна ее расстоянию от Солнца. Она также пропорциональна относительному смещению спектральных линий, которое, следовательно, должно линейно зависеть от расстояния. Модель де Ситтера позволяет вычислить эту зависимость, хотя сам он этого не сделал. Такие вычисления семью годами позже произвел Эддингтон. Он показал, что относительный сдвиг спектральных линий в модели де Ситтера пропорционален квадрату отношения этого расстояния к радиусу Вселенной, если само отношение много меньше единицы, а в противном случае выражается более сложной формулой. Так что закон Хаббла из модели де Ситтера никак не вытекает. Его впервые теоретически вывел Жорж Леметр (за два года до эмпирического открытия Хаббла) и сразу интерпретировал как проявление расширения космического пространства.

Во-вторых, статичный характер модели де Ситтера оказался лишь видимостью. Свободные частицы в его Вселенной движутся с переменными скоростями, что само по себе непонятно. Но важнее другое. Коль скоро введение в пространство де Ситтера в виде этих самых пробных частиц ничтожно малых количеств материи запускает в нем динамические процессы, то статичность модели оказывается такой же неустойчивой, как и статичность модели Эйнштейна.

Де Ситтер не только отмечал парадоксальность своей модели, но и допускал, что она может быть связана с неудачным выбором системы координат. В этом он не ошибся. Со временем было доказано, что в астрономически осмысленной системе координат модель де Ситтера описывает Вселенную, радиус которой со временем возрастает максимально быстро — по экспоненте. При этом на каждом временном срезе ее пространство оказывается евклидовым (в отличие от пространства-времени, которое, естественно, искривлено). Судя по астрономическим открытиям двух последних десятилетий, примерно в такой Вселенной мы и живем.

Первые космологические модели столетней давности были заявлены как статичные, но таковыми не были. В дальнейшем прогресс космологии был связан с созданием и осмыслением динамических моделей Вселенной, которые к середине 1930-х годов получили практически полное признание астрономов и физиков. Но это уже совсем другая история.

Алексей Левин