Божественная искра

Памяти Владимира Воеводского

Осенью 2017 года в Принстоне, не дожив до 52 лет, ушел из жизни выдающийся математик, лауреат Филдсовской премии Владимир Воеводский. В декабре 2017 года в Москве прошла международная конференция его памяти. О том, какую математику оставил после себя Воеводский, Ольга Орлова расспрашивала специалиста по алгебраической геометрии, профессора РГГУ и Независимого московского университета, докт. физ.-мат. наук Георгия Шабата.

— У Владимира Воеводского была необычная судьба даже для выдающегося математика. Ведь среди прекрасных математиков XX–XXI веков не так много найдется людей, у кого бы не было законченного высшего образования, традиционных учителей. А вы для Воеводского, по его словам, как раз были тем, кто ввел его в большую математику, хотя формально никогда его наставником не были. Как это было?

— Дело было так. Мы оба были достаточно деклассированными элементами позднего социализма, особенно Володя. Он был в очередной раз отчислен из МГУ и работал лаборантом в одном учебном центре. Видимо, его привлекало то, что там были компьютеры. А я, поскольку не состоял в комсомоле, тогда не имел возможности заниматься обычной преподавательской деятельностью, к которой всегда стремился, и вместо работы в каком-нибудь вузе вел в этом учебном центре кружок «Экспериментальная математика» для пятиклассников (среди которых был мой сын). Хотя в качестве официального основного занятия я работал тогда в некоем вычислительном центре, я всегда занимался математикой, и у меня обычно с собой были всякие бумажки с формулами. Лаборант Воеводский однажды заметил их и очень заинтересовался, поскольку он был в ту пору абсолютно изолирован от мира математики. Вскоре он попросил меня дать ему какую-нибудь задачу. Это само по себе было достаточно необычно; я ему задал один не очень сложный вопрос. Еще более необычным было то, что через неделю Володя принес мне развернутый ответ, выполненный с помощью компьютерного эксперимента, который он тут же организовал. И этот ответ оказался вполне нетривиален. То есть за аналогичную курсовую работу я бы «отлично» поставил не раздумывая. Даже этот маленький результат в течение недели от человека с образованием двух курсов мехмата был очень сильный. Но, конечно, ни в какое сравнение с дальнейшими результатами Володи, в том числе с теми, которые мы получали вместе, он не идет.

— Вы сказали, что вы оба были деклассированными элементами в математике. Но сейчас, спустя уже много времени, принята такая точка зрения, что Советский Союз — это был рай для ученых, особенно для теоретиков, не связанных с оборонной промышленностью. Условия для работы были гораздо более приятные, чем у ученых на Западе или в современной России.

— Очень может быть, что это касается каких-то титулованных ученых или узкого сообщества (фактически оно представлено в Москве Институтом им. Стеклова), где основная обязанность математиков — заниматься математикой, доказывать теоремы. Отчитываются они о доказанных теоремах. Но если взять очень сильные математические журналы тех лет, прежде всего «Функциональный анализ», «Успехи математических наук», можно просто посмотреть на места работы авторов в сносках. Это почти всегда какие-то странные места и институты, не имеющие отношения к математике. И у нас у всех, в том числе у меня (я при советской власти сменил три работы), очень часто было обязательное посещение и почти всегда служебные обязанности, совсем не связанные с занятиями чистой математикой.

Володя на эту тему очень решительно заявлял, что он не будет работать ни на какой неинтересной работе. Мне это показалось неправдоподобным, потому что почти все остальные советские математики работали где придется. Но вышло ровно так, как он сказал. Он никогда в жизни ни в какой стране не делал ничего, что ему не было бы интересно.

— Тогда как он из подающего надежды деклассированного лаборанта превратился в мировую звезду? Это ведь произошло на ваших глазах.

— Главное превращение действительно произошло на моих глазах. Надо сказать, что, еще не закончив никакой университет (впрочем, МГУ он так и не закончил), Володя опубликовал пять работ, две из них в международных журналах. И все они были очень высокого уровня. Одна из них меня совершенно изумила с жизненной точки зрения, поскольку он ее буквально сделал в стройотряде, кажется, на Сахалине. Когда он туда уезжал, он со мной делился самыми первоначальными замыслами про эту работу. Когда же вернулся, работа была совершенно готовой. В сентябре он ее уже докладывал на семинаре Шафаревича, самом серьезном московском семинаре по алгебраической геометрии.

Работа была посвящена этальной топологии, т. е. очень рафинированной, сложной части современной математики. Как можно в стройотряде написать такую замечательную работу — это действительно тайна. Тут надо было быть Воеводским!

— Георгий Борисович, когда была конференция памяти Владимира Воеводского, вы сравнили его с двумя выдающимися историческими фигурами в математике — Александром Гротендиком и Эваристом Галуа. Почему?

— Во-первых, все трое, каждый по-своему, не вписывались в существующие устои общества. При этом Воеводский был, может быть, из них самый бесконфликтный. Галуа всё время обижался на окружающих. Гротендик на вершине своей профессиональной карьеры фактически порвал с математическим сообществом. Во-вторых, все трое ни в каком смысле не получили регулярное образование, тогда как большинство сильных математиков в любые времена кончали лучшие университеты. Галуа не приняли в тогдашнее сильнейшее учебное заведение. Воеводского выгнали с мехмата МГУ. А Гротендик вообще осваивал начала математики в концлагере. В-третьих — и это, конечно, самое главное — все трое внесли в математику огромный вклад, сильно опережающий время и в большой степени сформировавший язык и систему понятий, на которых математики последующих поколений говорили и думали.

То, что они обгоняли свое время, легко пояснить фактами. Работы Галуа вообще были прочитаны лет через двадцать после его смерти. Работы Гротендика по основаниям алгебраической геометрии видоизменили стиль мышления и язык этой науки, но всеобщее признание и распространение эти работы получили лишь через много лет после первых публикаций Гротендика. Воеводский в большой степени реализовал очень неопределенные мечты Гротендика, и за ними, вероятно, будущее.

— Но вы ведь с Воеводским оказались связаны с Гротендиком еще и профессионально. Расскажите про ваше участие в программе Гротендика.

— Тут придется несколько слов сказать о том, как именно Гротендик выходил из традиционного математического сообщества. В конце 1960-х годов он его полностью покинул, узнав, что Институт высших научных исследований под Парижем, где Гротендик работал, отчасти финансируется военными. Он счел это предательством математиками идеалов чистой науки и уехал в университет своей юности в Монпелье, где ему впервые в жизни пришлось работать со студентами, которые совершенно ничего не знают. Гротендик придумал для таких студентов тему абсолютно элементарную, но которой он сам никогда не занимался, и назвал соответствующие объекты исследования «детскими рисунками», поскольку ее главный объект — это линии, нарисованные на искривленных замкнутых поверхностях. Название объясняется тем, что такие линии может нарисовать каждый ребенок. Примерно посередине жизни Гротендика в Монпелье вдруг оказалось, что советский математик Геннадий Белый получил некий результат, который связал эту наивную деятельность с тем, чем Гротендик занимался до ухода из официальной математики. Гротендик очень ярко написал о своих эмоциональных впечатлениях от теоремы Белого в неформальном тексте «набросок программы», появившемся в 1984 году. Этот текст быстро дошел до Москвы, а у нас с Володей к этому времени уже был некоторый опыт совместной работы. Мы знали вкусы друг друга и поняли, что этот раздел математики — для нас.

— Но как вообще это технически происходило? Как вы узнали о том, что Гротендик это делает, когда Гротендик уже фактически вел образ жизни отшельника?

— Здесь надо немного рассказать вообще о контактах советских математиков с мировой наукой. Несмотря на железный занавес, эти контакты были достаточно плотны. Под видом туристов в СССР приезжало большое количество ведущих математиков, особенно в Москву. Говорят, Пьер Делинь умел перелезать через забор МГУ (я сам этого не видел, но несколько раз слышал доклады Делиня на семинарах Гельфанда и Шафаревича, после которых он беседовал со всеми желающими). До нас с опозданием в 2–3 месяца доходили лучшие математические журналы. Именно с программой Гротендика случилась довольно забавная история. Текст существовал в виде размноженной рукописи и распространялся в Москве быстрее, чем в других местах. Я это объясняю тем, что московская интеллигенция была приучена к самиздату. Поэтому совершенно не смущало, что до нас дошел текст какого-то неясного статуса.

— Получается, что сложнейший текст по алгебраической геометрии распространялся как самиздат?

— По существу, конечно, да; это не совсем текст по алгебраической геометрии — скорее о скрытых связях алгебраической геометрии с другими разделами математики. Он даже не был опубликован до 1993 года. И я разговаривал с несколькими сильными зарубежными математиками, которые были уверены, что это какой-то бред сумасшедшего. Во всяком случае, не серьезная математика. Сейчас отношение к программе Гротендика совершенно другое. Есть много сотен публикаций со ссылками на нее.

— Сейчас это уже классический труд.

— Сейчас да, но во многом благодаря тому, что именно в Москве к этому труду стали относиться серьезно. А наша с Володей статья “Drawing curves over number fields” была первой математической работой с точными формулировками, определениями и доказательствами, в которой это всё доносилось до широкой публики. Она вышла в сборнике к 60-летию Гротендика.

У нас было ровно три дня для того, чтобы написать эту статью, поскольку обычным образом ее тогда послать за границу было невозможно. А она уже была принята в сборник, поскольку в редколлегию сборника входил Юрий Иванович Манин. Чтобы законным образом послать статью на Запад, надо было заполнить то, о чем современные молодые математики не имеют представления…

— Получить разрешение от «первого отдела»?

— Да, какой-нибудь «первый отдел» (у Володи его не было, а на моей работе соответствующую просьбу восприняли бы с недоумением) должен был подтвердить, что если в статье есть какие-то формулы, то эти формулы не раскрывают никаких тайн.

— А они ведь раскрывали де-факто?!

— Может быть…. Но, слава богу, пока к военным эти тайны не имеют никакого отношения.

Мы с Володей хотели послать нашу статью не только в сборник, но и лично Гротендику, однако не знали, что может произойти с письмом, отправленным из Москвы даже не в Париж, а неизвестно куда, поскольку Гротендик тогда уже был затворником.

Нам помог французский математик Сансюк, сказавший одну забавную вещь: «Со мной как с буржуазным математиком, конечно, Гротендик разговаривать не станет, а вам, угнетенным советским, ответит вежливо». Так оно и случилось. Мы в письме спросили Гротендика, действительно ли развиваем его идеи. Он ответил короткой замечательной запиской, в которой интересна была одна фраза. Действительно, очень вежливо он нам желал всевозможных успехов. И потом написал: «Вероятно, вы ждете математических комментариев. Но я их давать не буду, because of more urgent matters in the short life». Насчет short life надо сказать, что это было к его 60-летию, а прожил он 86 лет (Воеводский — 51, а Галуа — всего 21). Может быть, по его понятиям, остававшиеся ему 33 года — пустяк. Но в этот «короткий» период сам Гротендик успел многое сделать. Помимо занятий математикой он пытался осмыслить физику и написал свою совершенно замечательную автобиографию.

— Так какая же получилась связь между участием Воеводского в программе Гротендика и его самым большим вкладом в математику?

— Что касается программы Гротендика, этот вклад, может быть, немножко и косвенный.

Математическое наследие Гротендика с поверхностной точки зрения выглядит разорванным на две части. Когда он работал как обычный математик и обосновывал алгебраическую геометрию, это была такая фабрика новых понятий и теорем, на которой работало довольно много народу, в том числе всемирно известные люди. Его программа, наоборот, плод достаточно экзотических размышлений затворника (которому, правда, немного помогали два-три малоизвестных математика).

Но у двух упомянутых частей есть общая основа, которую я в последнее время называю распространение топологической интуиции за пределы очевидного.

Еще в XIX веке топологическая интуиция формализовывалась очень трудно. Например, непросто было дать строгое математическое определение дырки.

В XX же веке это было сделано очень многими разными способами. Изумление начало вызывать то, что совершенно разные теории (гомологий и когомологий) в «хороших» случаях дают одни и те же ответы. Другое поразительное явление (на мой взгляд, совершенно неразгаданное сейчас) заключается в том, что топологическая интуиция часто работает в гораздо более широких пределах, чем это предполагается при ее включении. Всё это началось в середине XX века с работ Андре Вейля, а затем было развито многими математиками. Вейль описал контуры теории, которые ему хотелось бы видеть; если перейти на строгий язык, он выписал аксиомы будущей (неизвестной ему!) теории, развив ее важный частный случай. Гротендик такую теорию (этальных когомологий) построил, но эта теория была одной из многих. Гротендик предположил, что за всеми этими теориями стоит что-то общее, и сформулировал очередную мечту о мотивах изучаемых в алгебраической геометрии объектов: информация обо всех когомологиях любого объекта должна была содержаться в мотиве объекта. Именно в построение теории мотивов Воеводский внес свой основной вклад, распространив на алгебраическую геометрию особый вид топологической интуиции (гомотопическую). Мне посчастливилось присутствовать при зарождении Володиной, может быть, главной идеи. Наивный перенос из гомотопической топологии в алгебраическую геометрию одной из главных конструкций никак не мог сработать. Тогда Володя сказал: «Да, так не получается. Значит, надо ввести еще один индекс, и всё получится». Предположение подтвердилось. Не знаю, мог ли бы кто-нибудь еще догадаться до такого определения.

— А что такое в математике интуиция? И что такое интуиция у Воеводского?

— Он чувствовал главные идеи своих предшественников. И прежде всего Гротендика. Он чувствовал, что есть правильное желание, правильное намерение построить некоторую теорию. Значит, говорил он, ее надо строить. И может быть, главная составляющая интуиции Воеводского заключается в немотивированной убежденности в том, что в правильной теории всё получится. Эта интуиция вела к его лучшим результатам.

Я, кажется, не сказал, что круг результатов, за которые он получил Филдсовскую премию, — это сравнительно легкое приложение общей построенной им теории, и сама эта теория, на мой взгляд, гораздо важнее отдельных следствий из нее. Хотя частные результаты он получил замечательные, несомненно достойные Филдсовской премии.

— Почему после того, как Владимир Воеводский получил этот результат, он довольно быстро стал интересоваться другими вещами? Было страстное увлечение математическими методами в популяционной генетике. И потом его последняя программа — унивалентные основы математики, когда он пытался разработать некие методы самопроверки всех математических результатов. Почему ему было тесно в рамках своей области?

— Лауреаты Филдсовской премии часто, получив ее, меняют область деятельности. Это случилось с Новиковым, с Мамфордом, Гротендиком и с Воеводским тоже. Одно из возможных объяснений: человек в расцвете лет чувствует, что свои лучшие математические результаты он, вероятно, получил. Свое увлечение популяционной генетикой Володя впоследствии оценил как не принесшее плодов — разве что он немного преуспел в популяризации теории вероятностей среди алгебраистов.

Что же касается унивалентных оснований математики, то это замечательное направление, за которым, по-моему, очень большое будущее.

— А в чем заключалась гуманитарная идея этого проекта? Идея, важная для всего человечества, — создать унивалентные основы математики?

— Эта область как раз касается не только далекого будущего человечества. В ней очень активно сейчас работают люди разных профессий — логики, программисты, в меньшей степени философы. И огромная заслуга Володи заключается в том, что он их собрал вместе, по крайней мере на один год, в Принстоне.

Володя мечтал о более продуктивном, чем сейчас, взаимодействии математика и компьютера. Прежде всего математика, но и вообще человека рассуждающего.

Если сейчас компьютеры за нас проводят совершенно рутинные вычисления, то, по мнению Володи, настало время, когда они должны не только вычислять, но и рассуждать. Строго говоря, эта мысль принадлежит скорее Лейбницу, чем Володе, но она была произнесена в те столетия, когда это была просто сказка; в наше же время она имеет серьезные шансы стать былью. Большие работы по автоматизации математических рассуждений, конечно, велись и до Володи, но он распространил на эту деятельность свою гомотопическую интуицию, лежащую вне обычных понятий прежде всего программистов, но и многих логиков тоже.

— Как изменилась математика после Воеводского?

— Как и в случае с Гротендиком, в его наследии есть более традиционная и менее традиционная части.

К более традиционной части относятся его работы по чистой математике, и за некоторые из них он был удостоен Филдсовской премии. Он внес огромный вклад в теорию мотивов, и некоторые фантастические идеи Гротендика могли бы быть похоронены, если бы Воеводский не понял и не развил их. Он придал теории мотивов такой импульс, что в ней активная работа ведется сейчас, и у этой теории, безусловно, большое будущее (здесь я высказываю свое мнение, а не Воеводского, который вообще скептически относился к будущему чистой математики). К традиционной части относятся и менее известные совместные со мной ранние работы Володи по теории детских рисунков Гротендика — я со своими учениками продолжаю эту деятельность более четверти века, к ней подключились многие математики из разных стран, и я тоже вижу будущее этой теории.

К менее традиционной части относятся работы Воеводского по унивалентным основаниям математики. Эти работы в основном не завершены и выходят за пределы чистой математики. По большому счету они относятся к проблемам мышления вообще — как к вечным аспектам этих проблем, так и к современным, связанным с компьютеризацией интеллектуальных процессов. Дальнейшее развитие проекта Воеводского требует коллективных усилий математиков и людей других профессий, и я надеюсь, что этот проект не будет брошен после Володиного ухода.

Воеводский всей своей жизнью подтвердил, что надо развивать безумные идеи. Лишь бы в них была какая-то божественная искра.

Георгий Шабат
Беседовала Ольга Орлова
Видео интервью — www.youtube.com/watch?v=RRcJCF4AwPU