Эмми Нётер и ее теорема

Термин «теорема» пришел в науку из геометрии эпохи эллинизма. В математике он в основном и пребывает. Однако теоремы есть и в других науках, в частности в физике. Так, в XIX веке в классической статистической механике была сформулирована теорема о равнораспределении кинетической энергии частиц по степеням свободы, а затем Н-теорема Больцмана, согласно которой энтропия неравновесной системы всегда возрастает со временем. В XX веке число физических теорем значительно увеличилось. В качестве примеров можно назвать теорему Фарри, которая утверждает, что в электромагнитных процессах сохраняется четность количества фотонов; теорему Паули о связи спина со статистикой; теорему Вика, исполняющую ключевую роль в квантовой теории поля.

В этом славном ряду совершенно особое место занимает теорема, доказанная внештатной сотрудницей Гёттингенского университета Эмми Нётер в разгар Великой войны — где-то на рубеже 1915–1916 годов. Впервые автор сделала о ней доклад на семинаре Гёттингенского математического общества 23 июля 1918 года, так что столетний юбилей уже не за горами.

33-летняя Эмми Нётер приехала в Гёттинген весной 1915 года по приглашению великих математиков Феликса Клейна и Давида Гильберта. Через несколько месяцев там произошли события, ставшие прелюдией к ее первой великой работе. Летом Альберт Эйнштейн ознакомил гёттингенских коллег с основными идеями своей уже близкой к завершению теории гравитации, более известной как общая теория относительности. Среди слушателей был и Гильберт, который заинтересовался эйнштейновскими идеями. В ноябре Эйнштейн написал окончательную версию уравнений ОТО, которую немедля представил Прусской академии наук. Чуть позже Гильберт по-новому вывел эти же уравнения, о чем и сообщил в статье, опубликованной в конце марта 1916 года.

В ходе этой работы Гильберт понял, что новая теория гравитации ставит под сомнение закон сохранения энергии. Уравнения ОТО могут быть записаны в произвольных системах пространственно-временных координат, между которыми возможны гладкие преобразования. С их помощью можно занулить величину поля тяготения в любой произвольно выбранной точке и ее бесконечно малой окрестности. Физически это означает, что воображаемый наблюдатель не сможет зарегистрировать в этой точке силу тяготения (в этом и состоит эйнштейновский принцип эквивалентности). Отсюда следует, что в ОТО однозначная локализация энергии в принципе невозможна. Вопрос, как быть с ее сохранением, сильно обеспокоил Гильберта, и он попросил Эмми Нётер с этим разобраться.

Эта просьба была исполнена с лихвой. Нётер получила исключительно сильные результаты, область применения которых оказалась много шире рамок задачи, изначально поставленной Гильбертом. Сегодня мы знаем, что она охватывает не только ОТО и другие полевые теории классической физики, но и теории квантованных полей, развитые во второй половине двадцатого века.

В самой общей форме суть теоремы Нётер можно изложить буквально в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые ищут такие характеристики физических систем, которые остаются неизменными в ходе любых превращений. Из теоремы Нётер следует, что существование подобных сохраняющихся свойств непосредственно связано с симметриями так называемого действия, фундаментальной физической величины, которая определяет динамику системы. Иными словами, законы сохранения есть прямое следствие наличия тех или иных симметрий действия. Этот вывод стал универсальным инструментом выявления таких законов в различных областях физики — от ньютоновской механики до Стандартной модели элементарных частиц. Помимо этого его можно считать одним из наиболее красивых теоретических прозрений во всей истории науки.

Гильберт вывел уравнения ОТО на основе принципа, согласно которому в реальных физических процессах действие принимает экстремальное значение — как правило, достигает минимума. В те времена уже знали, что этот принцип позволяет получить уравнения и классической механики, и максвелловской электродинамики — да и многое другое. Поэтому его рассматривали как мощнейший инструмент конструирования уравнений, определяющих динамику различных физических систем. С ним работала и Эмми Нётер. Ее интересовали операции, которые преобразуют математические объекты, участвующие в вычислении действия, однако оставляют неизменной его численное значение — или, в более общем случае, изменяют это значение не слишком сильно (естественно, для этого «не слишком» имеется точное математическое определение). Это означает, что подобные операции оставляют действие инвариантным.

Инвариантность по отношению к определенному преобразованию или к целому классу преобразований называется симметрией. Эмми Нётер в своей работе задалась вопросом, к каким последствиям приводит наличие у действия тех или иных симметрий.

Эту задачу она решила в очень общей форме, но только для непрерывных симметрий: дискретные она не рассматривала. Математика уже располагала эффективным инструментом исследования таких симметрий в лице групп Ли. Их теория была хорошо разработана, и Нётер в ней отлично разбиралась.

Эмми Нётер исследовала преобразования симметрии, в которых работают группы Ли двух типов. В одном случае каждое преобразование (то есть каждый элемент группы Ли) определяется конечным набором численных параметров. Элементы групп Ли второго типа, напротив, зависят от того или иного числа произвольных функций. Например, плоские вращения задаются одним параметром (углом поворота), а вращения в трехмерном пространстве — тремя (каждое из них можно представить как последовательность вращений вокруг трех координатных осей). Эйнштейновская же ОТО основана на возможности произвольно выбирать локальную систему отсчета в любой точке пространства-времени. Это тоже разновидность симметрии, причем именно той, которую Эмми Нётер отнесла ко второму типу.

Теорема Нётер состоит из двух частей. Сначала она рассматривала следствия инвариантности действия относительно симметрий, которым отвечают групповые преобразования первого типа. Оказалось, что подобная инвариантность позволяет записать математические соотношения, которые можно интерпретировать как законы сохранения физических величин, удовлетворяющих этим симметриям. А если проще, то эти законы есть прямые следствия тех или иных симметрий.

Вот несколько примеров. В изолированной системе частиц, которые подчиняются ньютоновской механике и ньютоновской теории тяготения, действие инвариантно относительно сдвигов времени. Из теоремы Нётер следует, что полная энергия частиц не зависит от времени, то есть сохраняется. Точно так же инвариантность относительно произвольных сдвигов в пространстве означает сохранение полного импульса, а инвариантность относительно вращений — сохранение момента количества движения.

Конечно, эти законы были известны и раньше, но природа их оставалась загадочной; если угодно, таинственной. Теорема Нётер раз и навсегда сняла покров с этой тайны, связав законы сохранения с симметриями пространства и времени.

Вот еще один пример, который был осознан уже после появления квантовой электродинамики. До сих пор речь шла о внешних симметриях, связанных не непосредственно с физической системой, а с ее отношениями с временем и пространством. Однако теорема Нётер позволяет учесть и внутренние симметрии, иначе говоря, симметрии физических полей, чью динамику определяет то или иное действие (формально это симметрии математических конструкций, представляющих данные поля). Это тоже ведет к открытию различных законов сохранения.

Ограничусь одним примером. Действие для свободного релятивистского электрона, на основе которого можно вывести уравнение Дирака, не изменяется при преобразовании волновой функции, которое сводится к ее умножению на комплексное число с единичным модулем. Физически это означает изменение фазы волновой функции на постоянную величину, не зависящую от пространственно-временных координат (такая симметрия называется глобальной). Геометрически это преобразование эквивалентно плоскому повороту на произвольный, но фиксированный угол и потому описывается весьма простой однопараметрической группой Ли. Из теоремы Нётер вытекает, что вследствие такой симметрии сохраняется электрический заряд. Не слабый результат и уж отнюдь не тривиальный!

Вторая теорема Нётер описывает ситуации, когда преобразования симметрии, оставляющие действие инвариантным, зависят не от численных параметров, а от каких-то произвольных функций. В общем случае такая инвариантность не дает возможности формулировать законы сохранения физически измеримых величин. В частности, из второй теоремы Нётер следует, что в ОТО не существует универсальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые имели бы однозначный смысл в физически реальных (то есть не бесконечно малых) областях пространства-времени. Правда, есть частные случаи, когда в рамках ОТО можно корректно поставить вопрос о сохранении энергии. Однако в целом решение этой задачи зависит от того, что именно считать энергией поля тяготения и в каком смысле говорить о ее сохранении. Более того, не сохраняется и полная энергия частиц, которые движутся в пространстве с динамическим полем тяготения (другими словами, в пространстве с изменяющейся метрикой). Так, в нашей расширяющейся Вселенной фотоны реликтового излучения постоянно теряют энергию — это всем известный феномен космологического красного смещения.

Симметрии второй теоремы Нётер постоянно применяются в фундаментальной физике. Они позволяют устанавливать соответствия между свойствами частиц и полей, с которыми эти частицы могут взаимодействовать. Опять-таки — куда как не слабо! Не случайно известный американский физик-теоретик профессор Калифорнийского университета Энтони Зи в вышедшей в 2016 году монографии “Group Theory in a Nutshell for Physicists” назвал Эмми Нётер arguably the deepest woman physicist who ever lived. Столь высокая оценка — и всего лишь из-за единственной статьи!

Эмми Нётер заслуженно считается великим математиком — и не только из-за своей теоремы. С 1920 года она занялась абстрактной алгеброй и алгебраической геометрией, где получила множество основополагающих результатов. В 1933 году ее как еврейку изгнали из Гёттингена, и она перебралась в США, где получила должность в женском колледже Брин-Мар в штате Пенсильвания. Но жить ей оставалось недолго. 14 апреля 1935 года Эмми Нётер скончалась из-за осложнений после хирургической операции — скорее всего, от тяжелой инфекции.

С биографией Эмми Нётер легко ознакомиться, и не стоит ее пересказывать. Но есть интересная деталь, которая мало кому известна. В Брин-Мар Нётер пригласила декан математического факультета Анна Пелл Уилер. Ее наставником в науке и первым мужем был профессор математики университета Южной Дакоты Александр Пелл, к тому времени уже покойный. Однако Пелл не всегда был Пеллом. Он родился в 1857 году в Москве, и звали его тогда Сергеем Петровичем Дегаевым. Он вошел в историю русского революционного подполья как величайший предатель и провокатор, сдавший охранке Веру Фигнер и других членов «Народной воли». Позднее, чтобы избежать смерти от рук бывших товарищей, он помог им в убийстве своего куратора — жандармского подполковника Георгия Порфирьевича Судейкина (эта история подробно описана в романе Юрия Давыдова «Глухая пора листопада»). Оставшиеся на свободе народовольцы позволили Дегаеву уехать в Америку, где он изменил имя и превратился в Пелла. В Штатах он получил математическое образование, потом окончил аспирантуру в балтиморском Университете имени Джонса Хопкинса и в конце концов стал весьма почтенным консервативным джентльменом и отличным преподавателем. Выходит, что для устройства Эмми Нётер в США было нужно, чтобы злой гений «Народной воли» превратился в уважаемого американского профессора, который заметил и продвинул одаренную студентку из глубокой провинции. Прекрасный пример того, что называют иронией истории.

Алексей Левин