Член-корреспондент РАН, докт. физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. отдела теории чисел МИАН Илья Шкредов открывает серию публикаций в ТрВ-Наука о лауреатах высших математических наград 2018 года.
Акшай Венкатеш (1981 г. р.) — австралийский математик индийского происхождения, профессор Стэндфордского университета, лауреат многих престижных международных премий (таких как премии Салема, Рамануджана, Островского и др.) был награжден Филдсовской медалью 2018 года за «его синтез аналитической теории чисел, однородной динамики, топологии и теории представлений, позволивший разрешить старые проблемы из этих областей, связанных с равномерным распределением арифметических объектов».
В цикле работ Венкатеш открыл несколько новых взаимосвязей между данными областями математики и взаимно обогатил их, создав новые математические инструменты. Одним из первых он стал систематически использовать разнообразные теоремы о равномерном распределении вместо обычных теоретико-числовых результатов о среднем значении. Венкатеш в одиночку и с соавторами получил важные результаты о равномерном распределении собственных функций Гекке — Маасса, оценил коэффициенты автоморфных форм, доказал эффективные версии теорем Фюрстенберга и Рудольфа-Джонсона.
Акшай Венкатеш, единственный австралиец, который выиграл медали на международных олимпиадах одновременно и по физике, и по математике, причем сделал это он в возрасте 11–12 лет. Научным руководителем Венкатеша был другой знаменитый теоретико-числовик, лауреат многих международных премий, в частности премии Вольфа, профессор Принстонского университета Питер Сарнак.
Фото с сайта mathematics.stanford.edu
Он нашел новый метод в теории выпуклости L-функций, с помощью методов эргодической теории продвинулся в локально-глобальном принципе для представлений квадратичных форм (это первое применение динамических систем в нахождении целочисленных решений подобного рода уравнений), решил кубическую проблему Линника о равномерном распределении периодических торических орбит и др.
Нет никакой возможности рассказать о всей глубокой математике, которой занимается Венкатеш, в том числе и из-за того, что часто она лежит несколько в стороне от моих собственных интересов, поэтому я остановлюсь лишь на двух сюжетах, особенно близких мне.
В первой работе (совм. с Бурганом, Линденштрауссом и Мишелем) изучается классическая задача Фюрстенберга. Рассмотрим простейшую динамическую систему на отрезке [0,1]. Возьмем точку и будем умножать ее на два. Если результат умножения превосходит 1, то мы вычитаем из него 1. Заданное таким образом умножение на два всегда оставляет результат умножения внутри отрезка, а значит, наша динамическая система полностью описана. Что можно сказать о траектории любой (скажем, иррациональной) точки под действием этой динамической системы?
Будет ли, как говорят, эта траектория всюду плотной, то есть посещающей любой сколь угодно маленький подотрезок нашего отрезка? Оказывается, что, хотя траектория взятой наугад точки и будет всюду плотной, тем не менее найдутся и точки, у которых траектория может, например, быть периодической.
Конечно, умножать можно не только на два, но и, скажем, на три. Классический результат Фюрстенберга гласит, что если в нашей системе разрешается умножать и на два, и на три, то уже у любой иррациональной точки траектория будет всюду плотной. Теорема Фюрстенберга представляет собой качественный результат, — а количественный, то есть сколько именно умножений на два или на три нужно сделать, чтобы попасть в данный отрезок, и был получен Венкатешем с соавторами.
Замечательно, что в доказательстве авторы применили не только методы динамических систем, что естественно, но также и теорию сумм произведений из, казалось бы, совсем другой дискретной науки, смежной с теорией чисел, — аддитивной комбинаторики. Работа Венкатеша открывает новую взаимосвязь между этими двумя областями и привносит в каждую из них новые методы и теоремы.
Вторая рассматриваемая нами работа (совм. с Айнзидлером, Линденштрауссом и Мишелем) касается знаменитой задачи нашего соотечественника, ленинградского математика Юрия Владимировича Линника.
Как известно, по теореме Лагранжа каждое натуральное число есть сумма четырех квадратов. Например, 7=22 + 12+ 12 + 12. Что можно сказать про сумму трех квадратов? Хорошо известно (Лежандр), что суммой трех квадратов представляются не все натуральные числа, а только такие, которые нельзя записать в виде 4n (8m+7). Например, число 7 нельзя представить в виде суммы трех квадратов и оно как раз имеет данный вид (n=m=0).
Теорема Лагранжа и результат Лежандра — это частные примеры более широкой проблемы Варинга о представимости натуральных чисел в виде суммы нескольких степеней, например, в виде суммы семи кубов, шестнадцати четвертых степеней и т. п. В этой области были созданы мощные аналитические методы, такие как круговой метод Харди — Литтлвуда и метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова.
Особенностью этих методов является не явное представление числа в виде суммы степеней, а лишь доказательство того, что такие представления или решения существуют. Ю. В. Линник (1968) поставил вопрос о том, как ведут себя эти решения в случае суммы трех квадратов (поскольку по некоторым простым причинам этот случай является самым интересным), и получил здесь первые важные результаты. Он предположил и частично доказал, что если отобразить решения на обычную сферу, то они будут образовывать равномерно распределенное на этой сфере множество. В процессе доказательства Линник создал оригинальный эргодический метод в теории чисел.
Фото с сайта mathunion.org
Тем не менее полностью задача Линника была решена лишь через 20 лет Дюком с использованием классической аналитической техники. Поэтому, хотя эргодический подход Линника позволил продвинуться и в других задачах о распределении решений (упомянем, например, работу Скубенко о целых точках на однополостном гиперболоиде, а также другие результаты санкт-петербургской школы теории чисел), его замечательный метод был на время несколько оттеснен в сторону.
В своей работе (2012) Венкатеш и его соавторы воскрешают эргодический подход Линника, соединяя его с современной энтропийной техникой и, разумеется, добавляя в него много нового. При этом они доказывают гораздо более сильные и общие результаты, чем у Дюка. В целом можно сказать, что эргодический импульс, идущий от Линника, проходит красной нитью через творчество Венкатеша.
Систематическое использование динамических идей (равномерное распределение, перемешивание, спектр и спектральный зазор, энтропия, теоремы Ратнер и др.) в теории чисел — это одна из черт математического стиля Акшая Венкатеша. Сильно упрощая, можно сказать, что вместо классических «аффинных» теоретико-числовых подходов с тривиальной вложимостью и действующей группой, таких как метод Харди — Литллвуда, Венкатеш предложил изучать свойства арифметических объектов, рассматривая действия более сложных групп в более сложных пространствах. Особенно приятно, что отечественные математики, такие как Линник, оказали бесспорное влияние на эту новую концепцию.
Илья Шкредов
Подробнее о лауреатах премии Филдса 2018 года см. mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2018.