От нетранзитивности спермы к нетранзитивным композитам

Отношения по принципу известной игры «камень, ножницы, бумага» (когда, казалось бы, вопреки формальной логике, первое бьет второе, второе бьет третье, но третье бьет первое) настойчиво проявляют себя в самых разных областях реальности. Этому феномену нетранзитивности доминирования посвящают целые монографии [1], не говоря уж о статьях. Его исследования проводятся часто параллельно и независимо в различных научных дисциплинах — на их «родном» материале, но результаты могут красиво подтверждать и дополнять друг друга. Ниже я представлю несколько областей, где вплотную походят к изучению его механизмов не в метафорическом смысле (типа «психологических механизмов нетранзитивности предпочтений человека»), а в смысле, близком к буквальному. Это механизмы взаимодействия от биохимического до физического уровня. Рассматриваемые области: нетранзитивность спермы, математика парадоксального отношения «чаще оказываться тверже» и физика простых механизмов. Эти области кажутся малосвязанными — и, может быть, такими навсегда и останутся, но возможно, что их развитие, а также развитие соседних и отдаленных областей позволит ответить на вопрос: каков минимальный уровень сложности материи, на котором уже осуществимы отношения нетранзитивности доминирования «камень, ножницы, бумага»?

Отношения «камень, ножницы, бумага» — от этологии к биохимии

В последние четверть века в биологии активно обсуждается нетранзитивная конкуренция — конкурентные отношения по принципу «камень, ножницы, бумага», формирующиеся между видами, представителями разных морф внутри одного вида, поведенческими стратегиями особей и др. (см., например, [2, 3]). В 2018 году вышел спецвыпуск журнала Journal of Ecology с инициирующей статьей «Всё, что вы хотели узнать о нетранзитивной конкуренции, но боялись спросить» [4]. Нетранзитивная конкуренция считается одним из важных условий биоразнообразия. Огрубленное объяснение таково: если бы в биологическом мире конкурентные отношения не образовывали множественные циклы и там царили бы линейные иерархии, то всё это продолжалось бы очень недолго. По­явившийся сверхдоминант («царь горы») вышиб бы всех остальных, а затем либо помер бы от голода, либо остался бы заниматься в одиночестве медленным фотосинтезом, поскольку кушать больше некого.

Интересны биохимические и физические взаимодействия, обеспечивающие механизмы нетранзитивной конкуренции на микроуровне, например при спаривании особей. Яркий пример — нетранзитивность конкурентоспособности спермы у дрозофил и других живых существ, чьи устойчивые поведенческие стратегии характеризуются тем, что самки спариваются со многими самцами в течение короткого промежутка времени. У таких видов в организме самок начинается конкуренция спермы самцов по принципу «камень, ножницы, бумага», причем вы­игрывает тот, чья сперма имеет большую скорость [5, 6]. Исследования здесь часто строятся так: самок искусственно осеменяют спермой различных самцов (каждую самку — спермой нескольких самцов по сложной схеме) и затем анализируют генотипы образовавшихся эмбрионов. Cам факт нетранзитивности спермы считается установленным, но ее биохимические и физические механизмы, похоже, пока не выяснены. Но, будем надеяться, дело движется к тому.

Параллельные исследования в математике

В статье в ТрВ-Наука [7] я писал, что исследования в биологии шли параллельно исследованиям нетранзитивности в математике. Изначально тему нетранзитивных отношений превосходства (доминирования) поднял польский математик Станислав Трыбула [8]. Он рассмотрел в качестве модельного примера то, что понятно и хорошо формализуемо, — наборы брусков, претендующих на то, чтобы быть одинаковыми (стандартными по прочности), но изготавливаемых на трех разных и не идеальных фабриках. Трыбула доказал, что может быть так: бруски с фабрики А чаще прочнее брусков с фабрики В, бруски с фабрики В чаще прочнее брусков С, а бруски с фабрики С — чаще прочнее брусков с А (причем речь не об ошибках измерения). Тем, кто слышит про такую возможность впервые, она может показаться бессмыслицей — недаром в книгах и статьях описанное явление проходит по разряду «математические парадоксы». Тем не менее, это математическая истина.

Про результаты польского математика знали в основном лишь некоторые математики. Дело пошло веселее, когда Мартин Гарднер в ­1970-х стал публиковать в своих математических колонках в Scientific American заметки о парадоксальных математических объектах. В том числе о нетранзитивных игральных кубиках, которые с тех пор стали неформальным символом всего нетранзитивного в математике (см. его книги «Крестики-нолики» и «Путешествие во времени», из современных научно-популярных текстов нужно упомянуть [9], а из продвинутых книг для старшеклассников — [10]).

Показать нетранзитивность превосходства, исследуемую в математике, проще всего на наборах из трех карандашей. Есть три набора из трех карандашей разной длины (рис. 1). Сравниваем по длине каждый карандаш из каждого набора с карандашами из других наборов. Получаем, что красные карандаши оказываются длиннее зеленых 5 раз из 9 их попарных сравнений («схваток»), зеленые длиннее синих — 5 раз из 9 попарных сравнений, а синие длиннее красных 5 раз из 9 попарных сравнений. Отталкиваясь от этого, можно выстроить много всего про нетранзитивность. Самое простое — теперь всё понятнее с нетранзитивными брусками. Представим, что числа, описывающие длину карандашей, теперь показывают прочность того или иного бруска. Получим, что бруски с первой фабрики были чаще прочнее брусков со второй, те — брусков с третьей, а бруски с третьей — чаще прочнее брусков с первой.

За уровнем научной популяризации идет серьезная математика — достаточно сказать, что в 2017 году к разработке темы нетранзитивных игральных кубиков, позволяющей развить понимание теории вероятностей, подключился филдсовский медалист Тимоти Гауэрс [11, 12]. Но всё это — пока игра с кубиками. В свою очередь, Алексей Викторович Лебедев поставил вопрос о возможности нетранзитивности не дискретных (как числа на кубиках), а непрерывных случайных величин и показал, при каких статистических распределениях она невозможна, а при каких возможна [13]. Он подчеркивает, что «игровая» обертка задач про нетранзитивные кубики побуждает воспринимать проблемы нетранзитивности как несерьезные — и напрасно. И в природном мире, и в мире объектов, созданных человеком, нетранзитивность статистических распределений может быть весьма значимым фактором.

Из наиболее интересных выводов, обоснованных практически одновременно и в математике, и в биологии, можно назвать следующее заключение. Чем сложнее система, т. е. чем больше участников входит во взаимодействия (чем больше игральных кубиков в наборах, чем больше биологических видов в рассматриваемой нише) и чем большим числом параметров характеризуются эти участники (растущее число граней нетранзитивных многогранников, растущее число характеристик, описывающих биологические виды), тем вероятнее в такой системе встретить всё более множественные нетранзитивные циклы [14, 15].

Нетранзитивные машины на основе простых механизмов

На недавней конференции «Психология и технологии в математическом образовании» [16, 17] я представил комплекс различных нетранзитивных геометрических и механических объектов на основе простых механизмов (рычагов, шестерен, блоков, клиньев и др.). Они реализуют принцип «камень, ножницы, бумага» и могут быть использованы в обучении физике и математике при объяснении многофакторных взаимодействий.

Предварительно замечу, что после публикации моей статьи в ТрВ-Наука некий специалист по зубчатым передачам разразился гневной тирадой: мол, нетранзитивные шестерни и нетранзитивные блоки невозможны. В худшем случае они нарушают законы сохранения и не могут работать по этой фундаментальной причине, в лучшем случае — не будут работать, потому что их просто заклинит. Вот, скажем, нетранзитивные блоки (рис. 3). Там при попарных соединениях груз А перевешивает груз В, груз В перевешивает С, а С перевешивает А. Правда же, я пытаюсь протащить модель вечного двигателя?

Ответ: законы сохранения выполняются здесь в лучшем виде. Выигрыши в силе в каждой паре сопровождаются соответствующими проигрышами в расстояниях: подъем груза в каждой паре на определенную высоту сопровождается опусканием другого груза на бо́льшую глубину, и потенциальная энергия системы уменьшается. При многократном повторении процедуры последовательно во всех парах все грузы окажутся в нижней точке — скажем, на полу (как гири механических часов) [18]. Такой пример можно разбирать на уроках физики.

Нельзя сказать, что его так уж трудно понять, и со специалистом по зубчатым передачам всерьез поспорили другие участники обсуждения. А также пришла поддержка с неожиданной стороны. Голландский изобретатель головоломок Оскар ван Девентер, сославшись на мою статью в ТрВ-Наука, придумал еще более парадоксальную штуку — игрушку с шестернями, храповыми колесами и рукоятками (рис. 4). Какой бы элемент (шестерню или рукоятку) ни выбрал один участник, второй всегда может выбрать такой элемент из оставшихся, который «победит» элемент, выбранный первым участником, т. е. будет вращаться быстрее него. Абсолютного победителя нет, а есть нетранзитивный цикл. Поэкспериментировав с этой игрушкой, я обнаружил еще одну возможность — нетранзитивной игры не вдвоем, а втроем. А именно, если два первых участника игры выберут каждый по элементу, третий участник всегда может выбрать такой элемент из оставшихся и такое направление его вращения (по часовой стрелке или против), что этот третий элемент «победит» первые два — будет вращаться быстрее них. Более того, в 75% случаев третий игрок, выбирая тот или иной элемент и направление его вращения, может управлять распределением мест между первым и вторым участником — кто из них станет проигравшим (выбранный им элемент будет самым медленным), а кто займет второе место (выбранный им элемент не будет ни самым быстрым, ни самым медленным).

Пределы нетранзитивности — оценка снизу

Нетранзитивность доминирования — свойство сложных, многофакторных систем [19]. В простых системах ее нет. Не надо опасаться, что при измерении просто трех карандашей обнаружится их нетранзитивность по длине. А вот в трех наборах по три карандаша она уже обнаруживается. Здесь возникает вопрос: какова минимальная сложность физической (механической) системы, в которой нетранзитивность уже возможна?

Вернемся к прочности физических материалов. Вопрос специалистам по материалам: возможны ли искусственные композитные сплошные блоки или слои, пленки, нетранзитивные по истираемости (изностойкости, прочности), проявляющие это свое свойство при попарных непосредственных физических взаимодействиях в силу самого дизайна композитной конструкции (а не в силу неидеальности изготовления)? Практической нужды в них сейчас никакой не просматривается, но сама возможность любопытна — в плане определения границ. Паллиативные забавные решения возможны — например, нетранзитивные по истираемости щетки с «композитной щетиной» (вспомним то, что мы иногда видим в фильмах: мальчишки — уличные чистильщики обуви — залихватски и многократно проходятся щетиной одной щетки по щетине другой). Предположительно, могли бы дать искомый нетранзитивный результат наборы щетинок по истираемости, тщательно собранные по шаблонам магических квадратов Мартина Гарднера. (Так были собраны наборы карандашей, нетранзитивные по длине — тоже вещь, если и очевидная, то лишь задним числом.) И мы бы имели три нетранзитивные щетки. Как минимум, это материал к какой-нибудь первоапрельской задаче для учеников физического или математического класса.

Александр Поддьяков, 
докт. психол. наук, проф. НИУ ВШЭ, гл. науч. сотр. ИП РАН

1. Fisher L. Rock, Paper, Scissors: Game Theory in Everyday Life. New York: Basic books, 2008
2. Гиляров А. Виды могут конкурировать по принципу «камень–ножницы–бумага» // Элементы.ру, 11.09.2007.
3. Резник Н. Камень, ножницы, бумага // ТрВ–Наука № 162 от 09 сентября 2014.
4. Soliveres S., Allan E. Everything you always wanted to know about intransitive competition but were afraid to ask. Journal of Ecology branding banner, Volume 106, Issue 3, pp. 807–1321.
5. Zhang R. et al. Natural genetic variation in male reproductive genes contributes to nontransitivity of sperm competitive ability in Drosophila melanogaster // Molecular Ecology, Volume 22, Issue 5, pp. 1400–1415.
6. Jonathan P. Evans et al. Delineating the roles of males and females in sperm competition // Proc Biol Sci., 280, pp. 2013–2047.
   
7. Поддьяков А. Нетранзитивность — кладезь для изобретателей // ТрВ-Наука № 242 от 21 ноября 2017.
   
8. Trybuła S. On the paradox of three random variables // Applicationes Mathematicae, 1961, Volume 5, Issue 4, pp. 321–332.
   
9. Шейнерман Э. Путеводитель для влюбленных в математику. Глава 19. Нетранзитивные игральные кости. — М.: Альпина нон-фикшн, 2018
10. Богданов И. И. Нетранзитивные рулетки. — М.: Изд-во МЦНМО, 2010.
    
11. gowers.wordpress.com/2017/04/28/a-potential-new-polymath-project-intransitive-dice
12. gowers.files.wordpress.com/2017/07/polymath131.pdf
13. Лебедев А. В. Нетранзитивные триплеты непрерывных случайных величин // Большой семинар кафедры теории вероятностей МГУ, 3 октября 2018 года.
    
14. Conrey B. et al. Intransitive Dice // Mathematics Magazine, 2016, 89:2, pp. 133–143.
    
15. Allesina S., Levine J. M. A competitive network theory of species diversity PNAS April 5, 2011, 108 (14), pp. 5638–5642.
    
16. researchgate.net/publication/331865943
    education.yandex.ru/pme/
17. Михайлова С. Мозг любит трудные задачи! // ТрВ-Наука № 275 от 26 марта 2019 года.
18. Poddiakov A. Intransitive Machines.
    
19. Поддьяков А.  Непереходность (нетранзитивность) отношений превосходства и принятие решений // Психология. Журнал Высшей школы экономики. 2006. Т. 3, № 3. С. 88–111.