Математика и физика во французской школе. Опыт «каникулярной программы»

Мы бы хотели поделиться опытом общения со школьниками 13–17 лет, обучающимися во французских колледжах и лицеях по стандартной государственной общеобразовательной программе. Мы проводили в июле 2016 и 2017 годов в Ницце летний лагерь по основам 3D-моделирования архитектурных объектов и в качестве «дополнительных глав» один из авторов рассказывал ребятам по вечерам про математику.

Первоначально Сергей планировал рассказать что-то на тему «занимательная математика в физике», однако после первого занятия оказалось, что (а) ребята гуманитарно ориентированные, (б) издержки французского математического образования дают о себе знать. В результате пришлось идти по основному курсу школьной программы, ориентируясь прежде всего на «чувственное восприятие», а не на абстрактное мышление и аксиоматику, как это принято в стандартном учебнике. Надо сказать, что это был первый опыт занятий Сергея с гуманитарно ориентированными детьми, и он оказался полезным, поскольку то, что для физматшкольника представляется очевидным и естественным, здесь вызывает удивление и приходится искать обходные пути.

Основные проблемы

В чем издержки французского физико-математического образования подростков возраста 13–17 лет? Говорить о всех точных науках, взятых вместе, невозможно. Математику нужно отделять от физики, химии и биологии. По большому счету с французской математикой особых проблем нет — она вполне соответствует программе российской школы, которую я считаю тематически достаточно сбалансированной. Именно тематически, потому что многие понятия, которые можно объяснить, апеллируя к сюжетам из повседневной жизни, или которые могли бы быть дополнены хорошими иллюстрациями, изложены так, что требуют просто механического запоминания, что, по-моему, неправильно.

Французской школьной математике не хватает интенсивности: увеличив количество заданий раза в два и, соответственно, удвоив домашние задания, вполне можно ожидать, что средний французский школьник сдаст ЕГЭ по математике. Но где брать время на дополнительные занятия математикой? Убрать всякие «основы жизнеобеспечения» или как они там называются, где школьникам вдалбливается, как вести себя в нештатных ситуациях. На наш взгляд, человек, который понимает, что соленая вода (электролит) проводит электрический ток, не будет пи́сать на силовой кабель в метро, даже если ему это не скажут явно.

Нам кажется, что вместо того, чтобы тратить силы и время на составление кодекса практических рекомендаций о том, как вести себя в нештатной ситуации, нужно предоставлять детям (да и взрослым тоже) свободу самим принимать решения. Для этого следует объяснять принципы, на основе которых можно принять самостоятельное решение, что воспитывается постоянным наблюдением за окружающим миром, — именно к этому мы и пытались подталкивать детей. Например, по дороге на пляж Сергей однажды спросил ребят, почему у пальм листья растут только на макушке. В Интернет они не могли залезть, поэтому пришлось думать (причем сам Сергей ответа наверняка не знал, но у него были правдоподобные физические соображения). Другой вопрос, который возник уже на пляже: почему море, обкатывая камни, не создает их сферически круглыми, похожими на шарики из пластилина, которые мы делаем, перекатывая их в руках? В связи с этим встал вопрос о максимальной упаковке объектов разной формы. Отсюда от математики до физики меньше одного шага…

Ситуация с физикой в стандартном французском школьном курсе совершенно иная и, с нашей точки зрения, катастрофическая. Учебника физики, по сути, нет. Есть комиксы на тему физики и химии в одном флаконе. Пропасть между математикой и физикой огромная, при том, что они должны идти в связке.

Вот для примера оглавление учебников по «физике» 3^eme и 2^de, что примерно соответствует 8-му и 9-му классам российской общеобразовательной школы.

Учебник 3^eme (Химия — Механика — Электричество)

Химия: Наука о преобразовании материи
Глава I. Металлы каждый день
Глава II. Электрический ток в металлах
Глава III. Проводимость электрических водных растворов
Глава IV. Ионы и рН
Глава V. Реакция между соляной кислотой и железом
Глава VI. Батареи
Глава VII. Синтез химических соединений

Механика: От гравитации к механической энергии
Глава I. Сила тяжести и вес
Глава II. Кинетическая энергия

Электричество: Электрическая энергия и электрические схемы
Глава I. Производство электрической энергии
Глава II. Переменное напряжение
Глава III. Мощность и электрическая энергия

Учебник 2^de (Здоровье — Спорт — Вселенная)
Ниже темы, представленные в учебнике, скомпонованы по разделам физики

Волны и периодические явления
— Определение периодического явления и примеры
— Звуковые и электромагнитные волны

Свет
— Распространение света
— Отражение света
— Законы преломления
— Спектры и свет
— Спектры излучения и поглощения
Механика
— Структура Вселенной
— Движение и силы
— Принцип инерции
— Закон гравитации
— Вес и сила тяжести
— Скалярные и векторные поля
— Электрическое поле
— Поля тяготения и гравитации
— Кинетическая энергия и потенциальная энергия гравитационного поля
— Механическая энергия
— Различные источники энергии
— Производство электрической энергии

Термодинамика
— Давление
— Законы идеальных газов

Сравнив темы учебников 3^eme и 2^de, нетрудно заметить не только существенные в них пересечения, но и исключительную поверхностность: фактически два года подряд ученики ходят по кругу, получая одни и те же несистематизированные представления о физических явлениях. Мы уж не говорим о том, что никакой связи с математикой нет и в помине — математика изучается по программе, никак не согласованной с физикой.

Во французской образовательной системе зачастую используется методический прием, при котором одни и те же темы, факты и явления обсуждаются «по спирали»: сначала дается общее представление об изучаемом предмете, затем через год тот же предмет обсуждается с большей подробностью и с несколько других позиций и т. д.

Нам трудно сказать, насколько подобный методический прием пригоден в гуманитарных областях, таких как история, литература, обществоведение, но изучать физику таким образом никак нельзя. Одна из основных проблем заключается в том, что такое «спиральное» изучение негуманитарных предметов нарушает естественный синергизм разных областей знания, в частности физики и математики: «спираль» физики и «спираль» математики имеют разные периоды и не накладываются друг на друга.

Как объяснить физику и математику «нефизматшкольникам»?

Во Франции существуют заочные физматшколы, рассчитанные на детей, которые интересуются естественными науками, в первую очередь математикой и физикой. Для детей, углубленно занимающихся физикой, стандартный школьный учебник физики нужен лишь в качестве «реперной точки» для того, чтобы знать, какие именно темы могут войти в экзаменационную программу. В качестве учебного пособия он пригоден не более, чем меню в китайском ресторане для изучения китайского языка.

В то же время «нефизматшкольники» во Франции оказались в сложной «периферийной» ситуации: ими никто специально не занимается, хотя их большинство. То, что для «физматшкольника» представляется очевидным и естественным, у «нефизматшкольника» вызывает удивление, и тогда преподавателю надо искать обходные пути, не полагаясь на учебник. Иногда достаточно просто отойти немного в сторону от традиционного изложения, принятого в школьной программе, и ориентироваться не на абстрактное мышление и аксиоматику, а на чувственное восприятие и повседневный жизненный опыт.

Приведем несколько конкретных примеров (с иллюстрациями) того, как мы пытались объединить физику и математику, геометрию, оптику и механическое движение, апеллируя к простым наглядным построениям.

1. Мы начали с такой простой задачи. На вершине дерева высоты h₁ сидит ленивая ворона и хочет перелететь на вершину другого дерева высоты h₂, стоящего на расстоянии d от первого. Между деревьями разбросан сыр, и ленивая ворона хочет схватить такой (один) кусочек сыра, чтобы расстояние, которое она пролетела с одного дерева на другое, было бы минимальным.

Вопрос заключается в том, чтобы указать, какой именно кусочек сыра схватит ворона — см. рис. 1а. Ответ: кратчайшее расстояние между деревьями — прямая, поэтому одно из деревьев нужно зеркально отразить относительно земли и провести прямую от вершины одного дерева до образа другого, как схематично показано на рис. 1б.

Давайте теперь определим положение кусочка сыра, если прожорливая ворона хочет минимизировать время общего полета, при этом она летит до кусочка сыра со скоростью v₁, а схватив его, становится тяжелее и от кусочка до своей цели (другого дерева) летит со скоростью v₂ (v₂ < v₁) — см. рис. 2а.

Мы думали, что после того, как ребята решат задачу про прожорливую ленивую ворону, Сергей им расскажет, что именно так устроено преломление лучей в геометрической оптике при прохождении света из менее оптически плотной в более плотную среду, и вообще вся физика основана на принципе минимума действия, которое в данном случае есть время перелета с дерева на дерево… Но не получилось.

Оказалось, что использовать для решения задачи производную (чтобы определить минимум некоторой функции) им не пришло в голову, потому что производная живет в курсе математики, а мы пытались решать физическую задачу. В результате пришлось рассказывать о том, что такое функция и экстремальные значения — первая и вторая производные — и что это то же самое, что скорость и ускорение для механического движения…

Мы воспользуемся случаем и все-таки расскажем про то, что случилось с ленивой прожорливой вороной, поскольку, несмотря на простоту, эта задача отражает фундаментальный физический принцип — так называемый принцип минимума действия, лежащий в основе как классической, так и квантовой физики. В геометрической оптике этот принцип известен как принцип Ферма, в соответствии с которым лучи распространяются так, что время, пройденное светом от начальной до конечной точки, должно быть минимальным.

В частности, задача о ленивой вороне позволяет в деталях понять хорошо известный «опыт о невидимой монете» (см. рис. 2б). Монета лежит на дне чашки, и если смотреть под некоторым углом, то края чашки закрывают монету, и она не видна. Однако, если в чашку налить воду, то мы увидим монету. Происходит это именно из-за того, что лучи преломляются при прохождении света из менее оптически плотной в более плотную среду. По этой же причине призма раскладывает свет на составляющие (см. рис. 2в). Каждый цвет отвечает определенной частоте и имеет свою «групповую скорость» распространения в среде. Чем меньше скорость, тем сильнее отклонения луча в призме.

2. Продолжением этой истории стала задача о ленивой корове на поле. Пусть есть квадратное поле размера d × d, разделенное на n горизонтальных грядок, на которых растет сочная трава (а между ними ничего не растет). В углу A (см. рис. 3) стоит ленивая корова, которая хочет пройти по полю в точку B, съедая по дороге траву с грядок. Начальная скорость коровы v₁.

Каждый раз, когда корова съедает траву с грядки, ей становится труднее идти и ее скорость уменьшается на величину δ. Таким образом, после первой грядки скорость коровы v₂ = v₁– δ, после второй грядки v₃ = v₂ – δ = v₁ – 2δ и т. д., до тех пор, пока корова не достигнет точки B, где остановится, т. е. ее скорость станет равной нулю: v_n+1 = 0 (для этого должно быть δ = v₁/n).

Нужно определить форму пути, по которому шла корова, если грядок очень много (n >> 1) и если бы корова хотела минимизировать время своей прогулки. Ответ довольно забавный: корова должна идти не по прямой, а по дуге окружности. Это наводит на размышления о том, что, в зависимости от свойств пространства (т. е. в зависимости от того, по какому правилу идет корова по грядкам), самый короткий путь (прямая) не всегда самый быстрый. Данную задачу можно использовать в качестве наивной иллюстрации того, как метрика пространства искривляет лучи света.

3. Одно занятие во время летней школы мы посвятили обсуждению возможности создания простых устройств, которые могут направленно перемещаться из-за наличия внутренних колебаний и трения. Сергей собирался купить в магазине игрушек «тараканов» hexbug-nano (продаются также в Amazon.com). План был следующий:

• во-первых, он хотел предложить обсудить, как именно они движутся, и рассказать о том, что подобным образом устроены простейшие молекулярные машины в биологии;
• во‑вторых, предполагалось связать двух, а затем трех тараканов нитью и исследовать характер их движения. Гипотеза заключалась в том, что два связанных между собой таракана будут вращаться вокруг общего центра, который будет двигаться поступательно, а движение трех связанных тараканов уже нельзя будет разложить на поступательное и вращательное движения и будет непредсказуемым.

К сожалению, в магазине тараканов не оказалось, и пришлось делать насекомое из подсобных материалов: две батарейки AA, скрепка, карманный вентилятор за 2 евро, из которого был вынут мотор, пробка от Côte du Rhône, аптечная резинка, клей super glue и четыре зубочистки. В результате получилось насекомое на фото слева. Кусочек пробки был надет асимметрично на ротор мотора, поэтому при вращении вся конструкция сильно вибрировала, а согнутые под углом ноги создавали направленную силу из-за асимметрии трения. Наших усилий хватило только на одну такую машину, поэтому вопрос о коллективном движении насекомых пока остался открытым. Но наше насекомое вполне уверенно ползало по гладкому столу. Попытка запустить его за ужином в приличном ресторане Ниццы была пресечена организаторами школы. Надеюсь, в дальнейшем мы сможем освободиться от навязчивых административных регламентаций для наших научных экспериментов.

Как помочь школьникам?

…“And one more thing”, как говорил Стив Джобс. Общение с детьми и их родителями во время летней школы подтолкнуло нас к идее запустить «скорую помощь онлайн» (“soutien”) по математике и физике для школьников collège-lycée, обучающихся по французской программе. Мы увидели острую необходимость в создании «почтового ящика», куда ученики могли бы присылать на любом удобном для них языке текущие вопросы по французской школьной программе по физике и математике и получать квалифицированные расширенные ответы, которые могли бы способствовать пониманию сюжета, а не механическому воспроизведению вычислений.

Если говорить более предметно, то для того, чтобы помочь подросткам свободно ориентироваться в школьной программе по естественно-научным дисциплинам, было бы правильно запустить онлайн-программу поддержки обязательного курса французской средней школы по физике и математике с условным названием «Домашний доктор» по принципу math overflow.

Такой «Домашний доктор» помог бы усвоить «нефизмат-ориентированным» школьникам французского колледжа и лицея материал обязательной программы, вызывающий индивидуальные трудности. Нам кажется, что не нужно пытаться превращать «Домашнего доктора» в «онлайн-репетитора» и тем более решать задачи за детей и присылать готовые ответы.

Нужно помогать подросткам самим находить решения задач, с которыми они обратились к нам, предлагая решить еще несколько похожих задач. Часто можно легко решить задачу, обратившись к опыту из повседневной жизни; порой достаточно нарисовать хорошую картинку, но почти всегда можно избежать механического запоминания формул и зубрежки. А иногда для решения задачи надо прибегнуть к аналогиям или просто посмотреть на математику и физику более широко, чем это написано в учебниках.

Школьники могли бы задавать нам вопросы по электронной почте и получать ответы на свой электронный адрес. Возможно общение по скайпу. Получая от детей задачи, которые вызвали наибольшие трудности, через некоторое время можно было бы систематизировать наиболее сложные для понимания темы и выпустить соответствующие методические пособия. Система должна быть трехязычной.

P. S. Несколько знакомых, которые прочитали написанное выше, спросили авторов: «А для кого вы это, собственно, написали? Мы ничего не поняли — вы обсуждаете какие-то задачи из высшей математики…» Этот текст предназначен для родителей, дети которых сталкиваются с разобщенностью физики и математики в школьном курсе и которые не привыкли (а) находить в математических задачах физическую подоплеку и (б) пытаться четко сформулировать физические проблемы на математическом языке.

Кроме того, никакой высшей математики и в помине не было — всё, что обсуждалось, входит в стандартный школьный учебник. К сожалению, многие люди почти перестали читать и воспринимать тексты, выходящие за рамки нашего повседневного жизненного опыта и требующие определенных усилий для прочтения. Когда-то журналистка, беседуя с выдающимся боксером Мухамедом Али, спросила его: «Что нужно сделать, чтобы стать таким великим боксером, как вы?» На что получила ответ: «Нужно делать хоть что-нибудь…» Нужно постоянно задавать себе вопросы, постоянно заставлять голову работать. Обычно это помогает…

Сергей Нечаев,
директор российско-французского Междисциплинарного научного центра Понселе

Ольга Ярцева,
канд. экон. наук, PhD по социологии (EHESS, Paris, France), организатор летнего лагеря «Интерград» (Франция)