Летняя математическая школа в Вороново — 2019

Новая Всероссийская летняя математическая школа «Алгебра и теория чисел» прошла с 31 июля по 7 августа в учебном центре «Вороново» Высшей школы экономики. Интеллектуальное силовое поле целой констелляции научных звезд позволило невероятно спрессовать пространственно-временной континуум: более 70 cлушателей из 16 вузов получили возможность за неделю прослушать четыре насыщенных курса математиков мирового уровня из Франции, Голландии, США и России, поработать на трех ежедневных семинарах и посетить шесть обзорных лекций особых гостей школы. Три курса были так или иначе посвящены дзета-функциям, еще один курс — простым алгебрам. Специальный корреспондент газеты «Троицкий вариант — Наука» побывал на месте событий, заглянул в трансцендентные сферы и выяснил немало интересного о царице всех наук и ее приближенных.

Село Вороново расположено на территории Новой Москвы в 40 километрах от МКАД, неподалеку от наукограда Троицка. Учебный центр Вышки окружен густым лесом, но для прогулок и сбора грибов у студентов и преподавателей практически не оставалось времени: завтрак, две лекции, кофе-брейк, еще одна лекция, обед, снова лекция, полдник, затем семинары, ужин и обзорная лекция поздним вечером — в пределе около семи часов насыщенных занятий ежедневно. Естественно, сухими формулами дело не ограничивалось: футбольная площадка, настольный теннис и даже пианино позволяли отдохнуть душой и телом, а в промежутках междузанятиями все живо обсуждали всё на свете — и зримое, и умопостигаемое.

Четыре курса — четыре стиля

Жозеф Остерле (Joseph Oesterlé) — соавтор так называемой abc-гипотезы, одной из важнейших нерешенных проблем в теории чисел. По словам экспертов, исходя из этой гипотезы можно в несколько строк доказать справедливость великой теоремы Ферма. Остерле — первый директор и создатель Института Анри Пуанкаре в Париже и, по мнению коллег, не просто яркий ученый, но и блестящий лектор, его методика — одна из лучших иллюстраций педагогического стиля знаменитой École normale в Париже. Он часто выступает на семинаре «Бурбаки», где кристально ясно объясняет выдающиеся и довольно запутанные математические результаты.

Курс Остерле на летней школе был посвящен обобщениям дзета-функции Римана от нескольких переменных. В данном случае речь шла о совсем новых научных результатах, опубликованных в этом году, причем они были изложены в элементарной для прилежного третьекурсника форме.

Голландец Герард ван дер Гир (Gerard van der Geer) — специалист в области алгебраической геометрии, один из авторов оригинальнейшего учебника «Модулярные формы 1–2–3». Он посвятил свой курс кривым над конечными полями. По словам участников, этот курс был самым сложным. На первой лекции потребовалось ввести новый аппарат, выплеснуть новую терминологию и сформулировать один из самых фундаментальных результатов, без которого невозможно понять этот предмет: теорему Римана — Роха об эффективных дивизорах. Дальше материал накручивался и возвращался к исходной точке. Понимание наслаивалось через примеры, новые конструкции, различные точки зрения.

Семинары по данному курсу вел Сергей Рыбаков, канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. Института проблем передачи информации РАН и лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений НИУ ВШЭ. По его словам, занятия проходили в свободном духе «караван-сарая»: студенты разбивались на группы и обсуждали возникающие сложности, при желании консультировались с профессором, а иногда выходили к доске и делились решением со всеми присутствующими.

Александр Меркурьев — один из ярчайших представителей ленинградской алгебраической школы. В настоящее время он работает в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Его курс «Простые алгебры», содержащий и классические, и новые результаты, по словам участников, шел в безупречном университетском темпе, но вывел студентов на одну из вершин современной алгебры.

Семинары вел молодой талантливый петербургский математик Алексей Ананьевский, ст. науч. сотр. Исследовательской лаборатории имени Чебышёва СПбГУ и Петербургского отделения Математического института РАН. Здесь всё было сдержанно и строго, в рафинированном стиле северной столицы: студенты решали задачи в полной тишине, поднимали руку и обсуждали полученные результаты с преподавателями.

И наконец, в качестве пролегомены к курсу ­Жозефа Остерле вед. науч. сотр. Математического института имени Стеклова РАН Максим ­Королёв прочел вводный курс в теорию дзета-функции Римана. Этот лектор принадлежит к новому поколению ученых: ему около сорока лет, другие лекторы старше шестидесяти.

Семинары по этому курсу вел Александр Калмынин, подающий большие надежды аспирант Вышки, энтузиаст и победитель международных олимпиад, сочиняющий и решающий сложнейшие задачи со скоростью пулемета. Он проводил занятия в сольном режиме: вызывал студентов к доске и сам охотно брал в руки мел, если возникали затруднения.

Дивный новый мир

«Студентам школы в среднем около 20 лет, то есть они прожили на свете около семи тысяч дней. Но за эти семь дней, одну тысячную их жизни, у них появился шанс узнать нечто совершенно необычное. В каждом курсе можно было выйти в абсолютно неведомый мир, — отмечает один из организаторов школы профессор Валерий Гриценко, заведующий Международной лабораторией зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ. — Скажу откровенно: из всех школ, в которых я участвовал и которые проводил, эта, на мой взгляд, удалась лучше всех. Во-первых, в программу были включены учебные семинары, что радикально изменило формат проводившихся ранее школ. Это изменило всю атмосферу школы и было с энтузиазмом встречено студентами. Вo-вторых, все четыре курса были выстроены идеально и доступно для студентов. Участникам была предоставлена полная свобода. Они отнюдь не обязаны посещать все занятия. Три семинара по трем различным направлениям идут параллельно, поэтому посетить все занятия невозможно даже теоретически. Это подталкивало каждого студента к личному выбору в соответствии с его интересами. Задача студента — найти себя в непривычной математической среде. Не все студенты, особенно из региональных вузов, раньше работали вместе с выдающимися математиками, и я рад, что мы предоставили им подобную возможность».

По словам профессора Гриценко, целью школы было подвести студентов к пониманию некоторых проблем современной математики, которые определяют ее развитие на протяжении последнего столетия. Одна из таких проблем — гипотеза Римана.

Гипотеза Римана: текущие перспективы

Гипотеза Римана — одна из самых знаменитых открытых проблем в современной математике. Она была сформулирована в 1859 году и до сих пор не доказана и не опровергнута. Это одна из семи «задач тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя предлагает миллион долларов. В настоящее время из них доказана лишь гипотеза Пуанкаре, одна из самых известных проблем в области топологии. Эту вершину покорил Григорий Перельман.

Формулировка гипотезы Римана достаточно лаконична: «Все комплексные нули дзета-функции Римана имеют вещественную часть, равную ½». Конечно, эти термины требуют развернутых пояснений; для непосвященных можно порекомендовать научно-популярную книгу «Простая одержимость» (“Prime obsession”) Джона Дербишира (John Derbyshire).

Корреспондент ТрВ-Наука выяснил мнение лекторов летней школы: насколько велики перспективы математического сообщества в этой области?

— У нас есть огромное количество свидетельств в пользу истинности гипотезы Римана, гораздо больше, чем, скажем, в пользу истинности гипотезы Ходжа, — утверждает Герард ван дер Гир. — Мы знаем, как доказать аналог гипотезы Римана для дзета-функции Хассе — Вейля для кривых над конечными полями. Если мы сможем увидеть всю картину целиком и перейти от кривых над конечными полями к числовым полям, тогда, я полностью уверен, мы будем в силах найти доказательство гипотезы Римана. Но я вижу, что эта аналогия на самом деле очень глубока и сложна. Нам необходимо лучше понимать ее. Математики используют различные подходы, но пока что безуспешно. На мой взгляд, абсолютно невозможно предсказать, когда в этой области произойдет чудо.

— Гипотеза Римана возникла в теории чисел, но имеет отношение к самым разным областям математики: функциональному анализу, теории вероятностей и математической статистике, математической физике, криптографии и теоретической физике… Это невероятно сложная структура, которая носит общематематический характер, ее нельзя отнести к одной узкой области математики. Но я не знаю ни одного работающего математика, который обещает решить эту проблему в ближайшее время, — рассказывает Валерий Гриценко.

По словам Максима Королёва, машинным образом набрана колоссальная статистика, свидетельствующая в пользу истинности гипотезы Римана. Суперкомпьютеры уже вычислили комплексные нули дзета-функции Римана с мнимой частью вплоть до 10¹³, а также «островками» до 10²⁴, и все они без исключения лежат на критической прямой с вещественной частью 1/2. Но есть и другие косвенные доводы.

— Я придерживаюсь точки зрения английского математика Эдварда Титчмарша (Edward Titchmarsh). Он говорил: «На основе этой гипотезы может быть построена весьма стройная теория, и это лишний раз подтверждает ее справедливость». На мой взгляд, это сильный аргумент. Если гипотеза Римана неверна, то вся красота исчезает, в формулах появляются громоздкие добавки, — отмечает Максим Королёв. — В науке красота имеет очень большое значение. На мой взгляд (могу ошибаться, это мое субъективное, личное мнение), красота Вселенной, в том числе математическая, свидетельствует о том, что Творец нашего мира благ и премудр, и Ему одному было под силу создать мир видимый и мир невидимый «добра зело», если пользоваться словами из Книги Бытия, то есть «весьма красиво».

Математики неравнодушны к мировой культуре

Спектр интересов ученых, прибывших на летнюю школу, поражает воображение.

Герард ван дер Гир рассказал ТрВ-Наука, что его привлекает астрономия и сравнительная лингвистика, а также, разумеется, искусство:

— Каждый вечер я читаю перед сном. Это помогает успокоиться, прийти в себя. Я взял с собой в Россию шведский роман «Прибой и берега» (“Strändernas svall”) нобелевского лауреата Эйвинда Юнсона, где заново пересказана «Одиссея» Гомера. В самолете по пути сюда я читал путевые дневники своего соотечественника Сейса Нотебоома о путешествии в Японию. Я люблю эту страну, я бывал там по работе около тридцати раз. Мне нравятся черно-белые японские фильмы 1960-х годов: Акира Куросава, Ясудзиро Одзу… Это просто фантастика. Мы с супругой каждые две недели навещаем музей кино в Амстердаме. И, конечно, мне нравится русская литература. Я люблю роман «Обломов», рассказы Чехова, «Мастера и Маргариту». Еще я часто слушаю симфонии Брукнера и Малера, произведения Стравинского. Они совершенно не кажутся мне сложными. Я не учился в музыкальной школе, но моя супруга играет на фортепиано. И я очень люблю изобразительное искусство. У меня дома есть коллекция современной голландской живописи.

Валерий Гриценко рассказал, что в отрочестве и юности, когда учился в математической школе-интернате № 45 при Ленинградском университете, проводил по многу часов в Эрмитаже, отдыхая по выходным от многолюдности школьного пространства, а позже, во время рабочих путешествий по миру, пользовался любой возможностью посетить художественные музеи. В рамках вечерней научно-культурной программы Валерий Алексеевич прочел лекцию «Альбрехт Дюрер — прародитель современной цифровой цивилизации» и дал новую интерпретацию творчества этого мастера, раскрыв алгебраические тайны гравюры «Меланхолия», созданной в 1514 году.

Максим Королёв отметил, что у него почти нет досуга, но для него бесконечно много значит семья. Сложился целый ритуал чтения вслух на ночь и обсуждения прочитанного с сыном и дочерью: Туве Янссон, Астрид Линдгрен и исторические романы иеромонаха Варнавы (Санина).

Александр Меркурьев любит «Собачье сердце» Булгакова и фильм по этой повести. Иногда он слушает «Болеро» Равеля: по его словам, оно оказывает сильное эмоциональное воздействие. Однако больше всего отвлечься от математики ему помогает физический труд:

— Когда я читаю книжку или смотрю телевизор, мне кажется, что я нечестно отношусь к математике, и это меня угнетает. Однако в конце года голова уже обычно переполнена. Даже если я буду стараться не думать про математику, она всё равно будет проникать в сознание, от этого не уйти. Поэтому каждый год я приезжаю в Россию на два месяца и занимаюсь грубой работой. Дело в том, что вся моя семья — строители. Я собственноручно построил больше четырех домов, в том числе дачу для родителей.

***

Конспекты лекций, семинарские задачи и их решения, предложенные студентами, будут постепенно выкладываться на сайт летней школы, а в дальнейшем предполагается собрать их под одной обложкой и опубликовать на английском языке в издательстве Springer.

Участники, с которыми удалось пообщаться нашему корреспонденту, отзывались о школе в самых восторженных тонах и говорили, что материал, при всей его насыщенности, был полностью доступен для восприятия.

Кто знает, возможно, этим летом в Вороново ­учился будущий лауреат премии Филдса?

Полная информация о школе на сайте: ms.hse.ru/voronovo2019

P. S. В ближайших номерах нашей газеты будут опубликованы развернутые интервью с лекторами школы в Вороново. Продолжение следует…

Алексей Огнёв
Фото В. Гриценко, О. Козинец