Геометрия Ларри Гута

Национальная академия наук США вручила математическую премию имени Мариам Мирзахани за 2020 год Ларри Гуту (Larry Guth), молодому профессору Массачусетского технологического института [1]. Его исследования разбирает по просьбе редакции ТрВ- Наука Михаил Белолипецкий, сотрудник Института чистой и прикладной математики (Рио-де-Жанейро, Бразилия), приглашенный ученый Математического института имени Макса Планка (Бонн, Германия).

Ранее премия по математике Национальной академии наук США присуждалась выдающимся ученым каждые четыре года. После решения назвать премию именем Мариам Мирзахани¹ и присуждать раз в два года эта награда получила новый импульс. Первым лауреатом новой премии стал Ларри Гут «за развитие удивительных, новых и глубоких связей между геометрией, анализом, топологией и комбинаторикой, которые привели к решению или существенному продвижению в решении многих открытых проблем в этих областях».

Что это за проблемы и как их решать?

Вначале я немного расскажу о кандидатской диссертации Ларри, которую он защитил в 2005 году. Честность изложения и глубина, присущие этой работе, впоследствии отличали многие статьи Ларри Гута. Диссертация называется «Площадь-сжимающие отображения между прямоугольниками» [5]. Точнее, речь идет об n-мерных прямоугольных параллелепипедах. Назовем k-дилатацией отображения число C, такое что любое k-мерное подпространство объема V отображается на образ объема не больше чем CV. Отображение называется k-сжимающим, если его k-дилатация меньше либо равна 1. Одномерная дилатация — это не что иное как константа Липшица отображения. Нетрудно понять, что минимальное значение одномерной и n-мерной дилатаций между n-мерными прямоугольниками достигается на линейных отображениях. Удивительным образом в промежуточных размерностях 1<k<n ситуация совершенно меняется, и экстремальные площадь-сжимающие отображения очень далеки от линейных. Это один из первых результатов диссертации Ларри.

В тексте работы он отмечает, что первый интересный пример площадь-сжимающего отображения принадлежит советскому физику Якову Зельдовичу, который построил пример 2-сжимающего отображения открытого подмножества U сколь угодно маленького шарика B в трехмерном пространстве на D2(1) × S1(δ) (замкнутую толстую трубку с очень маленьким радиусом δ). Такие трубки не существуют в трехмерном пространстве, но легко реализуются в больших размерностях. Пример Зельдовича состоит в следующем. Рассмотрим в шарике B большое количество тонких трубок маленького радиуса ε, которые занимают почти весь объем. Возьмем кривую c, которая проходит через каждую тонкую трубку один раз, как нитка, на которую нанизываются трубки-бисеринки. Открытое подмножество U — это шар B, из которого удалена маленькая окрестность кривой c. Теперь отобразим каждую тонкую трубку в D2(1) × S1(ε). Наш выбор окрестности позволяет продолжить это отображение на все U. Наконец, продеформируем (с сохранением объема) образы тонких трубок в толстые очень короткие трубки в D2(1) × S1(δ). В результате получается площадь-сжимающее отображение. Я. Зельдович обнаружил эту конструкцию во время своей совместной работы с Андреем Сахаровым, в которой они изучали магнитные поля нейтронных звезд. Ларри Гут разобрался в этой истории в деталях и в большей общности. Впоследствии он вернется к примеру Зельдовича в работе [6].

Близкое знакомство и свободное владение литературой по физике, видимо, передались Ларри от его отца, знаменитого астрофизика Алана Гута (Alan Guth)².

Мое первое знакомство с математикой Ларри Гута началось с его совместной статьи с Михаилом Громовым об обобщении оценок А. Колмогорова и Я. Барздиня о вложении графов в R³ (трехмерное действительное пространство), опубликованной в 2011 году [8]. Я и сейчас продолжаю перечитывать эту статью и находить для себя что-то новое. Основными персонажами здесь являются многомерные экспандеры, обобщающие конструкцию сильносвязных разреженных графов Колмогорова — Барздиня. Интересно отметить, что обсуждение этой незаслуженно забытой работы 1967 года ранее появилось в диссертации Ларри. На первый взгляд, существование графов-экспандеров (т. е. сильносвязных разреженных графов) совсем не очевидно. ­Андрей Колмогоров и Ян Барздинь показали, что таковыми с большой вероятностью являются случайные графы. М. Громов и Л. Гут обобщили эту конструкцию на многомерные симплициальные комплексы и инициировали изучение их свойств. Эти комплексы удивительным образом связаны с геометрией гиперболических многообразий. Интересный класс гиперболических многообразий строится с помощью теории чисел, такие многообразия называются арифметическими. В работе Громова — Гута показано, что скелеты триангуляций арифметических многообразий являются многомерными экспандерами. Мой интерес к этому вопросу связан с возможным обобщением этой конструкции на многообразия с особенностями — так называемые орбифолды.

В какой-то момент, в ходе длительной переписки, Ларри предложил мне написать его ученице Ханне Альперт (Hannah Alpert). Вместе с Ханной нам удалось существенно продвинуться в решении проблемы. Мы написали совместную статью со странным названием «Толщина скелетов арифметических гиперболических орбифолдов» [9]. Ларри был участником проекта, но скромно отказался быть соавтором статьи.

Далее у Ларри Гута была замечательная работа с Нетсем Хоуком Катцем (Nets Hawk Katz) по решению проблемы Эрдеша о числе различных расстояний с помощью полиномиального метода [10], книжка об этом методе [11], выдающаяся работа с Жаном Бургейном (Jean Bourgain) и Киприаном Деметром (Ciprian Demeter), в которой доказана основная гипотеза в теореме о среднем значении Виноградова [12], и другие замечательные работы. Геометрическая интуиция, техническое мастерство и широта кругозора Ларри Гута присутствуют в каждой из них.

Михаил Белолипецкий

1. nasonline.org/news-and-multimedia/news/2020-Mirzakhani-Prize.html
2. quantamagazine.org/maryam-mirzakhani-is-first-woman-fields-medalist-20140812/
3. nytimes.com/interactive/2017/12/28/magazine/the-lives-they-lived-maryam-mirzakhani.html
4. Зорич А. Премия за математическую «волшебную палочку» // ТрВ-Наука. № 288 от 24.09.2019.
   
5. dspace.mit.edu/handle/1721.1/31158
6. arXiv:1211.1057 [math.DG]
7. Штерн Б. Откуда взялась Вселенная // ТрВ-Наука. № 156 от 17.06.2014.
   
8. arXiv:1103.3423 [math.GT]
9. arXiv:1811.05280 [math.DG]
10. arXiv:1011.4105 [math.CO]
11. Guth L., Polynomial Methods in Combinatorics. University Lecture Series. American Mathematical Society. 2016. ISBN978-1-4704-2890-7
12. arXiv:1512.01565 [math.NT]

¹ Мариам Мирзахани (Maryam Mirzakhani) — лауреат премии Филдса родом из Ирана, профессор Стэнфордского университета США, скончалась от рака груди в 2017 году в возрасте 40 лет, см. заметки о ней в англоязычной прессе [2, 3] и ТрВ-Наука [4]. — Ред.

² См. фрагмент книги Бориса Штерна «Прорыв за край мира» об Алане Гуте и его сценарии космологической инфляции [7]. — Ред.