Охотники на спецфункции, или «Сириус» накануне вируса

Справляй же, Сириус, справляй
Свое земное новоселье.

Елена Шварц

В последнюю неделю зимы, перед самым закрытием границ из-за пандемии COVID-19, корреспондент ТрВ-Наука Алексей Огнёв побывал в новой «особой точке» научного мира — на побережье Черного моря, в Сочи, где в начале 2020 года начал работу математический центр «Сириус» [1].

Здесь будут проходить международные конференции, студенческие школы и «мозговые штурмы» небольших исследовательских групп. Амбициозная цель — проводить мероприятия еженедельно и выйти на уровень немецкого Математического института в Обервольфахе (MFO) в горах Шварцвальда и французского Международного центра математических встреч (CIRM) в Люмини на побережье Средиземного моря. На данный момент состоялось уже три конференции, в которых приняли участие 100 ученых.

Как линейный бинарный код Голея, который использовали «Вояджеры» при передаче фотоснимков Сатурна и Юпитера на Землю, недавно помог решить классическую проблему алгебраической геометрии? Каков рекорд многопетлевых вычислений в квантовой теории поля? Зачем специалистам по теории чисел выстраивать «закулисные» алгебраические структуры? И наконец: видны ли предпосылки к созданию Всероссийского математического общества? Всё это пытался выяснить наш корреспондент на конференции «Интегрируемые системы и автоморфные формы» [2], погрузившись в мир специальных функций и в буквальном смысле слова покорив новую вершину карьеры научного журналиста: часть интервью с учеными была записана в свободный от докладов день в фуникулерах по пути на Роза Пик высотой 2300 м и обратно.

‌

Скрытые симметрии задач, объектов и теорий

На конференции «Интегрируемые системы и автоморфные формы», прошедшей в Сочи с 24 по 28 февраля 2020 года, выступили с докладами 37 математиков и физиков-теоретиков из 11 стран (в диапазоне от Ирландии до Японии и от Италии до Норвегии). Наряду с известными профессорами о своей работе рассказали и молодые ученые. Основной организатор — Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм математического факультета Высшей школы экономики (МЛЗС НИУ ВШЭ), созданная в рамках программы мегагрантов в 2017 году [3].

Полноценное научное общение в виртуальном пространстве невозможно, полагает один из организаторов конференции, Валерий Гриценко, заведующий МЛЗС НИУ ВШЭ, профессор Университета Лилля и Вышки.

— Встреча математиков и теорфизиков в Сочи, увы, стала крайним международным мероприятием в «Сириусе» перед всеобщим карантином. Как вы думаете, можно ли вообще обойтись без подобных конференций? Zoom в помощь…

— Очень ясный ответ, на мой взгляд, дан в статье филдсовского лауреата Андрея Окунькова в трехсотом, юбилейном номере ТрВ-Наука: «Во всех организациях „мирового уровня“ знают, что одно дело напечатать или прочитать статью в журнале, а совсем другое — доложить или услышать ту же статью на семинаре или конференции» [4].

Для меня таким результатом стал доклад Риккардо Салвати Манни (Riccardo Salvati Manni) из Римского университета Ла Сапиенца об элегантнейшем решении классической проблемы алгебраической геометрии в пространстве модулей абелевых многообразий размерности 6. (См. врезку: «Пространства модулей абелевых многообразий».) Трансцендентные методы автоморфных форм сочетаются в этом решении с такими арифметическими инструментами, как код Голея и целочисленная унимодулярная решетка Лича. Совершенный бинарный код Голея длины 24 является одним из самых интересных объектов линейной алгебры, дискретной математики и информатики. Именно он использовался космическими аппаратами «Вояджер» для передачи цветных фотоснимков планет. Премьера доказательства (первая международная презентация!) — настоящее событие в науке.

— Что послужило поводом для конференции?

— Новый виток интереса к взаимоотношению теории автоморфных форм, важнейшего инструмента современной теории чисел, и теории интегрируемых систем, связанных с задачами геометрии и математической физики, объясняется тем, что несколько лет назад известнейший специалист в области теории чисел Дон Загир (Don Zagier), директор Математического института общества Макса Планка в Бонне и приглашенный профессор Сколтеха с 2020 года, дал удивительную автоморфную интерпретацию решения одной важной интегрируемой системы, найденного двумя представителями Московской математической школы: Александром Одесским (Университет Брока, Канада) и Евгением Ферапонтовым (Университет Лафборо, Великобритания), который также выступил одним из научных организаторов конференции. Отмечу, что мы уже проводили похожее мероприятие в Лилле в 2019 году [5].

— Поясните, пожалуйста, нашим читателям ключевые термины.

— Некоторые дифференциальные уравнения обладают явными решениями, которые можно выразить через специальные функции, в то время как другие могут быть решены только численно. Эти исключительные дифференциальные уравнения в частных производных называют интегрируемыми. Теория интегрируемых систем играет сегодня в математике консолидирующую роль, объединяя алгебру, геометрию, анализ, теорию представлений и другие разделы. Примечательно, что интегрируемые уравнения возникают как «приближения» к нелинейным моделям, возникающим в прикладных и физических задачах.

В некотором смысле решения интегрируемых систем можно рассматривать как новые «специальные функции» математической физики. Автоморфные (или модулярные) формы — одни из таких функций. Они помогают увидеть скрытые симметрии различных задач, объектов и теорий, а именно, симметрии между предельными точками параметров математических или физических теорий.

— Вы были научным организатором многих конференций в Европе. На ваш взгляд, ­уместно ли сравнивать европейские математические центры с «Сириусом»?

— Мы постарались предусмотреть важные организационные детали, которые абсолютно ­необходимы для успешного проведения конференции, и подключили к этому штат московской лаборатории. Отдельное спасибо заместителю директора SMC Алексею Щуплеву за всемерную поддержку нашей коллективной творческой работы, которая продолжалась в «Сириусе» с 9 до 23 часов. (Некоторые докладчики продолжали обсуждать формулы у доски до поздней ночи.) Комфорт гостиницы «Омега Сириус Парк», где жили и работали участники, позволил нам создать атмосферу полного погружения в научный предмет, что и отличает известнейшие международные центры от любых компьютерных имитаций.

— Кто курирует подобные международные институты с административной точки зрения?

— Европейские институты подобного типа опекаются национальными математическими обществами. Удивительно, но у нас до сих пор нет Российского математического общества. Убежден, что программа регулярных крупных международных конференций в новом центре, равноудаленном от российских математических столиц, поможет в создании единого российского математического пространства. Сегодня, в период кризиса, говорят о другом, но, надеюсь, скоро коммуникации постепенно восстановятся. И тогда математический центр «Сириус» может стать новым ординаром всей российской математической жизни. (Ординар — это средний многолетний уровень воды в реках. В России он отсчитывается от нуля Кронштадтского футштока. — А. О.)

Устойчивость Вавилонской башни математики

Краткий обзор конференции дал еще один из ее научных организаторов, Виктор ­Бухштабер, член-корр. РАН, гл. науч. сотр. отдела геометрии и топологии МИАН, профессор МГУ им. Ломоносова:

— Поделитесь, пожалуйста, вашими впечатлениями от конференции.

— Безусловно, она удалась. Зачастую одна и та же научная тема формулируется на абсолютно разных языках, и ученые порой не подозревают, что работают над одним и тем же вопросом. Открытие взаимо­связей обеспечивает нам устойчивость всей Вавилонской башни математики.

Здесь собрались ученые, представляющие три направления исследований. Хорошо представлена такая наука, как интегрируемые системы, теория солитонов (уединенных волн в нелинейной среде. — А. О.). Конечно же, не менее хорошо представлено направление, связанное с автоморфными формами. Большое внимание уделено классическим и самым современным результатам, которые опираются на абелевы функции при решении уравнений математической физики. Кроме того, имеются представители, которые работают над решением задач, скажу мягко, пришедших из физики.

Есть еще один аспект, который я хочу отметить. Есть такое понятие, как советская / российская математическая школа. И такие конференции, как эта, вносят большой вклад в укрепление данного понятия. Я здесь встретил коллег, которые уехали из России или еще из СССР 20–30 лет назад. Беседы с ними в точности подтвердили, что они по-прежнему остаются представителями нашей науки. Но они впитали новые идеи, которые развивались в других странах, и тот факт, что они активно с нами сотрудничают и готовы это сотрудничество продолжать, очень важен. В этом большая роль таких конференций. Видна неразрывная связь нашей российской математической школы.

Конечно, здесь есть и крупные иностранные ученые, которые сюда приехали ввиду того, что российские участники имеют выдающиеся результаты и авторитет, и они к нам приезжают как коллеги. Здесь никто никого не учит. Идет обмен идеями, синтез идей, причем из областей исследований, которые априори кажутся очень далекими. Здесь есть ученые высокого мирового уровня, представляющие и Московскую, и Петербургскую математические школы, и ведущие научные школы на Западе.

— В чем вы видите принципиальные отличия между Московской и Петербургской математической школой?

— Тенденция была заложена еще в XIX веке: и в Российской империи, и в Советском Союзе между ними была четкая грань. Так сложилось. По некоторым данным, были даже моменты, когда эти школы находились в конфронтации. Те задачи, которые считались актуальными в одной школе, другой школой не признавались, и наоборот. Сейчас такого нет. Во многом благодаря выдающемуся математику и физику Людвигу Дмитриевичу Фадееву, который был тесно связан с Московской математической школой. Тем не менее он яркий представитель Петербургской (Ленинградской) школы. Валерий Алексеевич Гриценко, выступивший инициатором данной конференции, работает в Лилле и в Москве, но по воспитанию, по духу представляет Ленинградскую математическую школу. И такие конференции способствуют сближению различных школ.

— Как вы оцениваете перспективы математического центра «Сириус»?

— Первое впечатление очень хорошее. Есть все условия для плодотворной работы. В мире достаточно много авторитетных центров, специально созданных для регулярного проведения математических конференций самого высокого уровня. Совершенно ясно, что подобные математические центры необходимы в России. Научный авторитет и научные связи наших ученых дают хорошую основу для их работы в нашей стране. В связи с этим хочу обратить внимание на The Tsinghua Sanya International Mathematics Forum (TSIMF), который был создан относительно недавно и расположен в красивом курортном городе Санья провинции Хайнань на юге Китая. В декабре 2017 года я был участником очень представительной конференции в TSIMF и вижу много общего в специфике и возможностях центров TSIMF и «Сириус».

Надеюсь, что руководящие органы страны оценят необходимость поддержки центра «Сириус» в рамках общенациональной проблемы развития математики и ее приложений. Учитывая возможности центра, хотелось бы, чтобы его деятельность была направлена в том числе на поддержку выдающихся достижений отечественных математиков и на консолидацию российских научных школ, представители которых в настоящее время работают не только в различных научных центрах России, но и практически во всех ведущих ­математических ­центрах мира. Считаю, что наша конференция явилась важным шагом в этом направлении.

Кипящая пустота

Одним из самых неординарных участников конференции был Вернер Нам (Werner Nahm), лауреат медали Макса Планка. В настоящий момент он возглавляет Школу теоретической физики Института перспективных исследований в Дублине (Ирландия). Кроме физики, он занимается, например, расшифровкой письменности майя и ради этого даже читал в оригинале труды Юрия Кнорозова. А во время кофе-брейка он декламировал мне стихи Анны Ахматовой по-русски, довольно символичные с точки зрения суперсимметрии.

И время прочь, и пространство прочь,
Я всё разглядела сквозь белую ночь:
И нарцисс в хрустале у тебя на столе,
И сигары синий дымок,
И то зеркало, где, как в чистой воде,
Ты сейчас отразиться мог.
И время прочь, и пространство прочь…
Но и ты мне не можешь помочь.

Анна Ахматова. Наяву (1946)

Доклад Вернера Нама был посвящен связи автоморфных форм и квантовой теории поля. Она исходит из того, что элементарные частицы представляют собой не точечные объекты материи, а своего рода всплески, или возмущения, тех или иных полей, которые разлиты по всему пространственно-временному континууму. Этих полей-частиц превеликое множество: электроны, фотоны, разного рода кварки и так далее. Так, по сути дела, заново оправдывается аристотелевский тезис «природа не терпит пустоты» (Natura abhorret vacuum): Вселенная насквозь пронизана кипящими полями; вакуум бурлит.

В ближайшее время мы планируем публикацию развернутого интервью с ученым, а сейчас приводим его краткие комментарии о встрече.

— Поделитесь, пожалуйста, вашими впечатлениями от конференции.

— Я неизменно рад, когда математики и физики дискутируют вместе, потому что со временем это становится всё сложнее. Даже сегодня на докладах о диаграммах Фейнмана и квантовой теории поля у меня было ощущение, что многим математикам достаточно сложно слушать. Тем не менее с годами ситуация улучшается. Естественно, я всегда поддерживал контакты с математиками…

— В 1970-е вы доказали, что максимальное число измерений в теориях суперсимметрии равно 11, и это была чистая математика…

— Совершенно верно. Диалог всё еще сложен, но мы добились большого прогресса. В августе в Математическом институте в Обервольфахе тоже будет конференция подобного рода. С одной стороны, доклады здесь длятся всего полчаса, поэтому некоторым слушателям нелегко понять те вещи, с которыми они еще не знакомы. С другой стороны, участников много, и у всех есть возможность высказаться. В общем, это отличная конференция.

— Каковы ваши впечатления от Сочи?

— В свободный день мы с супругой сели на велосипеды и отправились осматривать дачу Сталина. Однако оказалось, что добраться до нее не так-то просто. В итоге неожиданно мы оказались на границе с Абхазией.

— Что вы думаете о перспективах математического центра «Сириус»?

— Насколько я знаю, реформа РАН была ужасна. С программой «Сириус» всё ровно наоборот. На мой взгляд, ответственные за нее люди глубоко заинтересованы в науке и ­образовании. Россия — огромная страна с очень сильными традициями в математике и других науках. Я поддерживаю связь в том числе с российскими лингвистами. Я многое знаю о хороших возможностях в России.

Идея математического центра «Сириус» может сработать, но для этого нужна определенная стабильность. «Сириус» должен иметь долгосрочную поддержку со стороны правительства. Я всегда несколько скептически настроен, когда всё сосредоточено в руках одного человека. Институт, где я работаю сейчас, был основан в 1940 году Имоном де Валера, премьер-министром Ирландии. Он имел сильную поддержку со стороны де Валера, пока тот был жив. Сразу после его смерти в 1975 году его политические враги попытались уничтожить институт. Он еле удержался на плаву.

Сейчас организаторы «Сириуса» ориентируются на институт в Обервольфахе. Он был основан в 1944 в горах Шварцвальда. Ну что ж, если получилось там, то может получиться и в Сочи. Естественно, я желаю «Сириусу» больших успехов!

Плененные кварки

В России квантовую теорию поля развивают, в частности, в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований (ЛТФ ОИЯИ) в Дубне, которая поддерживает контакты с ведущими научными командами из разных стран.

Конференция в математическом центре «Сириус» стала логическим продолжением масштабной международной зимней школы в Дубне «Статистические суммы и автоморфные формы» [7, 8] в начале 2018 года, организованной ЛТФ ОИЯИ и МЛЗС НИУ ВШЭ.

Один из организаторов школы в Дубне и докладчиков на конференции, Вячеслав Спиридонов, докт. физ.-мат. наук, сотрудник ЛТФ ОИЯИ и МЛЗС НИУ ВШЭ, рассказал, как чисто математические результаты могут пригодиться для понимания явлений микромира:

«В аспирантуре я занимался квантовой теорией поля, вычислял фейнмановские интегралы, но по ряду причин ушел в теорию специальных функций гипергеометрического типа. Однако оказалось, что чем глубже я влезал в теорию спецфункций, тем выше и выше забирался к современной квантовой теории поля.

В 2000 году я построил бета-интеграл нового типа, который абсолютно точно вычисляется. Это чисто математический результат. Через восемь лет два физика из Великобритании, Долан и Осборн, выяснили, что результат точного вычисления этого интеграла описывает явление конфайнмента в суперсимметричной квантовой теории поля. Мое интегральное соотношение, как выяснилось, частично доказывает дуальность двух квантовых теорий поля. Левая часть, которая определяет сам интеграл, описывает физику высоких энергий, а правая часть, явная мероморфная функция, описывает физику низких энергий, где имеет место конфайнмент. Это доказательство так называемой гипотезы дуальности Зай­берга [9] в секторе BPS-состояний.

В своем докладе я как раз представил еще один новый бета-интеграл, связанный с трехмерными теориями поля на общем линзовом пространстве и дающий крайне необычный взгляд на автоморфные преобразования».

‌Клубок петель

Другая тема, затронутая на конференции, — так называемые многопетлевые вычисления в квантовой теории поля, приводящие к интересным математическим функциям. С докладами выступили известные специалисты в этой области — Роман Ли из Института ядерной физики имени Будкера Сибирского отделения РАН в Новосибирске, Пьер Ванхов (Pierre Vanhove) из Института теоретической физики (L’Institut de physique théorique, IPhT) к юго-западу от Парижа, ассоциированный член МЛЗС НИУ ВШЭ, и Федерико Зербини (Federico Zerbini) из Университета Страсбурга.

В ответ на просьбу корреспондента ТрВ-Наука пояснить, о каких петлях идет речь, Вячеслав Спиридонов увлеченно стал чертить в блокноте фейнмановские диаграммы:

«Видите, вот это однопетлевая диаграмма. А вот здесь уже две петли. Частица вылетает отсюда, летит сюда. А здесь три частицы родились, полетели в разных направлениях и слились. Это называется „радиационная поправка“. А что за частицы? Какие угодно. Пусть будет глюон! Летит глюон, испускает еще два глюона, потом все три сливаются в один. Это виртуальные процессы в вакууме. Вот он испустил один, два глюона… миллион… бесконечное число! И всё это описывают фейнмановские интегралы! Переменная интегрирования бежит по ребрам графа…

Эти интегралы вычисляют не вручную, а с помощью компьютера, но в аналитическом виде, не численно. Программа оперирует символами и совершает математические выкладки, которые можно алгоритмизировать. В конце вы получаете не число, а формулу. И не нужно никаких суперкомпьютеров. Обыкновенный PC умеет очень много чего делать. Постепенно расчеты выходят на новый уровень. Рекордсмены сейчас в Германии. Они уже проводят семипетлевые вычисления. Потрясающие результаты!»

Закулисные алгебраические структуры

Несколько докладов было посвящено теории чисел. Александр ­Калмынин, аспирант МЛЗС, рассказал о распределении промежутков между суммами двух квадратов целых чисел. Эта проблема, как и теорема Ферма или вопрос распределения простых чисел, формулируется достаточно просто, однако на пути к решению необходимо освоить немало изощренных методов, связанных в том числе и с автоморфными формами.

(Подробнее еще об одной «задаче тысячелетия», гипотезе Римана, можно прочесть в репортаже о летней школе МЛЗС в Вороново [12], где Александр вел семинар по аналитической теории чисел, а лекции по теории дзета-функции Римана от нескольких переменных читал Жозеф Остерле (Joseph Oesterlé), основатель и первый директор Института Пуанкаре в Париже.)

На конференции родину Ферма и Пуанкаре представлял ­Эммануэль Руайе (Emmanuel Royer), профессор Университета Клермон-Ферран, директор Национального института математических наук (Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions), который осуществляет координацию всей научной деятельности в области математики во Франции. Я задал ему несколько вопросов.

— Поделитесь, пожалуйста, вашими впечатлениями от конференции.

— Впечатления прекрасные. Эта конференция интересна тем, что собрала представителей разных ветвей математики. К тому же в таком замечательном месте. Мы пытаемся дискутировать и размышлять о тех разделах математики, которые обычно не занимают наши мысли.

— Что заинтересовало вас больше всего?

— Меня привлекает взаимосвязь между теорией чисел, геометрией и математической физикой. Я специализируюсь в области теории чисел и не так часто общаюсь с коллегами из этих двух областей. И вот представилась хорошая возможность.

— Над чем вы работаете?

— Я занимаюсь особым видом функций — модулярными формами, довольно таинственными объектами в теории чисел.

— В чем же их таинственность?

— Вначале кажется, что они не имеют ничего общего с теорией чисел. Они родом из других областей математики. Тем не менее у них хорошие приложения в моей сфере. В теории чисел цель интереснее средств. Например, сначала я занимался аналитической теорией чисел, то есть использовал методы анализа. Сейчас использую методы алгебры.

— Чему посвящен ваш доклад?

— По сути дела, в теории чисел мы можем доказать, что некоторые объекты подобны или эквивалентны друг другу, и увидеть соответствия между ними, которые вначале выглядят довольно загадочно. Мы устанавливаем равенство двух модулярных форм, связанных с данными объектами, и можем расширить его с помощью других функций с большим числом параметров, например, форм Якоби. Тот факт, что два математических объекта эквивалентны, тоже может представлять собой загадку. Ну да, вы можете доказать равенство путем вычислений, но прямые вычисления не позволят вам понять, почему они тождественны, это еще предстоит объяснить. Поэтому мы пытаемся построить некие «закулисные» концептуальные алгебраические структуры. На этой конференции мы обсуждали, например, одну из таких структур: «скобки Ранкина — Коэна».

— В чем вы видите основные сложности развития нового математического центра в Сочи?

— У меня сложилось ощущение, что математический центр «Сириус» может стать аналогом Международного центра математических встреч (Centre International de Rencontres Mathématiques, CIRM) в Люмини. Мы организуем там одну-две конференции каждую неделю, чтобы дать возможность математикам со всего мира обсудить ту или иную тему. Его посещает до 2500 ученых в год. Сложность состоит в том, чтобы создать такое пространство, где можно жить и заниматься математикой круглые сутки напролет. Что, собственно, вам нужно, если вы располагаете бюджетом? Обустроить комнаты для работы с грифельными досками и мелом, не правда ли? Вероятно, также нужна библиотека, открытая днем и ночью.

— Вы сами «сова» или «жаворонок»?

— В молодости я был «совой». Но когда обзаводишься семьей, существенно сложнее работать по ночам, потому что днем свои заботы. Когда я абсолютно свободен и могу посвящать время исключительно математике (не преподавать и не уделять внимание семье), я предпочитаю работать ночью. Проще совершать открытия, когда слегка устал.

— А что вам приносит вдохновение, если вы чувствуете, что идеи исчерпаны?

— Если слишком долго и ревностно работаю над вычислениями за письменным столом, то я прерываюсь, выхожу подышать свежим воздухом, продолжаю размышлять над вопросом, который меня волнует, и спустя несколько часов возвращаюсь за письменный стол. И это восхитительное чувство.

— Искусство помогает вам в работе?

— Я люблю музыку, классическую и народную. Моя супруга музыкант, поэтому у нас дома постоянно звучит музыка. Изобразительное искусство кажется мне более рациональным. Оно интересно мне, но не вдохновляет. Музыка дарит мне мир и покой. А изобразительное искусство я чувствую не сердцем, а умом. Кстати, в области музыки у России и Франции много общего. Мне нравятся русские оперы.

— Какой ваш результат важнее всего для вас? Или он еще впереди?

— Обычно я предпочитаю работать не в одиночку, а с соавторами. Мои результаты родились в ходе обсуждений с коллегами. В некотором роде они случайны: если бы я повстречал других людей, то работал бы над чем-то еще. В принципе мне интересно всё новое. Однако я стараюсь не зацикливаться на одном вопросе. Не горю желанием сойти с ума.

P.S. Редакция верит в победу над пандемией, открытие границ и возоб­новление международных встреч ученых, потому что личное общение все-таки незаменимо.

↑

Пространства модулей абелевых многообразий

В 2019 году Моритц Дитман, Рикардо Сальвати Манни и Нильс Шайтхауер решили одну из классических проблем алгебраической геометрии: вопрос о рациональности пространства модулей абелевых многообразий размерности 6 (см. подробное доказательство в препринте [13]). Этот вопрос оставался открытым на протяжении более 35 лет. По сути дела, на конференции «Интегрируемые системы и автоморфные формы» состоялась первая международная презентация этого результата. Комментирует Валерий Гриценко.

Алгебраическая геометрия изучает геометрию и арифметику множеств решений систем алгебраических уравнений. Такие объекты называются алгебраическими многообразиями.

Древняя задача о нахождении пифагоровых троек, то есть таких целых чисел x, y, z, что x²+y²=z², вероятно, памятна читателю со школы¹. Делением на z² можно свести задачу к вопросу о нахождении всех рациональных точек (x/z, y/z) на единичной окружности x²+y²=1. Для решения этой проблемы используют рациональную параметризацию окружности x=2t/(t²+1) и y= (t²–1)/(t²+1), которая показывает, что прямая и окружность очень похожи, если допускать рациональные замены переменных. (Рациональной называют функцию, являющуюся отношением двух многочленов. Предлагаем читателю проверить, что x и y принадлежат окружности для любого t, лежащего на вещественной прямой.)

Алгебраическое многообразие называется унирациональным, если оно допускает рациональную параметризацию. Если к тому же параметризация взаимно-однозначна на некотором «плотном» множестве, то многообразие называется рациональным. Пример задачи о евклидовых тройках показывает, что рациональность — очень полезное свойство, дающее конструктивное описание почти всех точек (точнее, плотного открытого множества точек) алгебраического многообразия. Если удается показать, что многообразие некоторого типа (т.е. множество решений некоторой системы алгебраических уравнений) является рациональным, то это позволяет успешно решить целый класс геометрических и арифметических задач. Поэтому рациональные многообразия — самые простые среди всех алгебраических многообразий, хотя доказательство (или опровержение) рациональности того или иного многообразия может оказаться очень трудной задачей. Самая известная из нерешенных проблем в этой области — доказать, что общая четырехмерная кубика нерациональна.

Следующие по сложности после рациональных кривых — одномерные кубики y²=x³+ax²+bx+c. Такая кривая рациональна, если кубическое уравнение x³+ax²+bx+c=0 имеет кратный корень, и нерациональна в противном случае. Нерациональные одномерные кубики называются эллиптическими кривыми. Это очень важный класс комплексных кривых, обогативший математику многими открытиями и красивыми результатами. С эллиптических кривых начинается теория комплексных кривых, построенная в середине XIX века выдающимся немецким математиком Бернхардом Риманом (1826–1866). Сам термин «эллиптические» связан с понятием эллиптических интегралов. Изначально они появились в процессе вычисления длины дуги эллипса в XVIII веке, а затем их изучали Гаусс, Абель, Якоби и другие известные математики.

С топологической точки зрения (т.е. с точки зрения непрерывных деформаций), комплексная эллиптическая кривая устроена очень просто: она гомеоморфна тору (поверхности бублика), полученному из прямоугольника склейкой противоположных сторон. Однако арифметика эллиптических кривых чрезвычайно сложна и составляет один из важнейших и актуальнейших разделов современной теории чисел. Например, эллиптические кривые были использованы в решении Великой теоремы Ферма. Они также находят применение в криптографии, а именно, в реализации цифровой подписи. Для этого используется тот факт, что точки на эллиптической кривой можно складывать.

Многомерное обобщение эллиптической кривой — комплексное алгебраическое многообразие, являющееся многомерным тором, — называется абелевым многообразием в честь гениального норвежского математика Нильса Абеля (1802–1829), исследовавшего эллиптические функции и абелевы поверхности, т.е. абелевы многообразия размерности 2. Теория абелевых многообразий имеет огромное число приложений в теории чисел, арифметической алгебраической геометрии и теории автоморфных функций. Комплексный тор размерности n задается дискретной решеткой в n-мерном комплексном пространстве. Топологически все абелевы многообразия одной размерности изоморфны, но алгебраические и арифметические свойства существенно меняются при деформации решетки. Это приводит к теории модулей абелевых многообразий, которая дает описание всех абелевых многообразий с точностью до изоморфизма. Термин «модули», предложенный Риманом, аналогичен термину «параметры». Используя теорию эллиптических (или дважды периодических) функций, можно показать, что комплексные эллиптические кривые соответствуют вложениям тора в комплексную проективную плоскость (т.е. плоскость с добавленной бесконечностью), которые определяются модулем кривой, а именно отношением (как комплексных чисел) сторон параллелограмма решетки, задающей тор. Две эллиптические кривые изоморфны (устроены одинаково как алгебраические многообразия), если один модуль получается из другого при помощи некоторого целочисленного дробно-линейного преобразования. Из этого следует, что все классы изоморфных эллиптических кривых (пространство модулей эллиптических кривых) образуют гиперболический треугольник, изоморфный (после отождествления на границе) простейшему рациональному комплексному многообразию размерности 1 — комплексной плоскости. Многообразие модулей абелевых поверхностей уже трехмерно, и доказательство его рациональности гораздо сложнее. Оно было впервые получено Коррадо Сегре (1863–1924), представителем итальянской школы классической алгебраической геометрии. В начале 1960-х годов этот результат также получил японский математик Игуза, используя теорию модулярных форм Зигеля.

Изучение модулей абелевых многообразий размерности больше двух стимулировало развитие теории модулей алгебраических многообразий в 1970-e годы ХХ века. Сенсационным для своего времени стал факт, доказанный в 1975 году немецким математиком Эберхардом Фрайтагом, что пространство модулей абелевых многообразий размерности 24 не только не рационально, но даже не унирационально. В 1982 ученик Дэвида Мамфорда, американский математик Юнг Шенг Тай доказал, что пространство модулей абелевых многообразий размерности большей 8 имеет общий тип, т.е. самую сложную геометрическую структуру, поэтому оно неунирационально.  Этот результат был расширен в 1983 году Э. Фрайтагом  и Д. Мамфордом на случаи размерностей 8 и 7. В 1983–84 годах усилиями известнейших математиков С. Мори, C. Мукаи, Р. Донаги и А. Верра была доказана унирациональность пространства модулей абелевых многообразий размерностей 3, 4 и 5. (Отметим, что входящий в эту плеяду Рон Донаги был научным руководителем диссертации Людмила Кацаркова, научного лидера Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ, принявшей активное участие в организации данной конференции.)

После решения проблемы в размерности 5 вопрос о рациональности или унирациональности пространства модулей абелевых многообразий размерности 6 оставался открытым на протяжении более 35 лет.

В 2019 году Моритц Дитман, Рикардо Сальвати Манни и Нильс Шайтхауер установили, что многообразие модулей абелевых многообразий размерности 6 неунирационально.  Доказательство этого алгебро-геометрического результата использует методы, тесно связанные с темой конференции «Интегрируемые системы и автоморфные формы», где он был представлен одним из авторов.

Главный момент решения — построение одной дифференциальной формы, которой не может существовать на унирациональном многообразии. Для этого достаточно установить, что образ некоторой автоморфной формы (тета-ряда Зигеля) под действием специального дифференциального оператора не равен нулю. Этот факт совершенно нетривиален и его невозможно доказать никакими аналитическими методами. Для этого были использованы свойства уникальных арифметических объектов: квадратичной унимодулярной решетки Лича, задающей самую плотную упаковку шарами 24-х мерного евклидова пространства, кода Голея и спорадических конечных групп, связанных с этими дискретными объектами. Совершенный бинарный код Голея длины 24 является одним из самых интересных объектов линейной алгебры, дискретной математики и информатики. Именно он использовался космическими аппаратами «Вояджер» для передачи на Землю цветных снимков Юпитера и Сатурна. (Отмечу, что мы изучали его в 2019 году на научно-исследовательском семинаре по алгебре со студентами второго курса факультета математики НИУ ВШЭ.)

Таким образом, удачный синтез трансцендентных и арифметических методов теории автоморфных форм позволил решить классическую проблему бирациональной алгебраической геометрии.

Фото предоставлены
пресс-службой «Сириуса»

1. sochisirius.ru/smc-ru
2. ms.hse.ru/siriusfeb2020
3. ms.hse.ru
4. trv-science.ru/mirovoj-uroven-okeana-matematika/
5. math.univ-lille1.fr/~markushe/lille-ISAF-2019/
6. projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183533964
7. indico.jinr.ru/event/304/
8. ria.ru/20180225/1515163705.html
9. trv-science.ru/2016/08/23/igra-v-pryatki-v-11-mernom-prostranstve/
10. elementy.ru/LHC/HEP/experiments/hadronization
11. lenta.ru/articles/2012/06/27/plasma/
12. trv-science.ru/2019/08/13/letnyaya-matematicheskaya-shkola-v-voronovo-2019/
13. Moritz Dittmann, Riccardo Salvati Manni, Nils R. Scheithauer. Harmonic theta series and the Kodaira dimension of A6
    
14. Надежда Рудик. Математика в Месопотамии // ТрВ–Наука № 281 от 18.06.2019.

¹