Математическое созвездие

В начале мая 2020 года стали известны имена десяти новых лауреатов премии Европейского математического общества. Ими стали:

Карим Адипразито (Karim Adiprasito, Еврейский университет в Иерусалиме / Копенгагенский университет)

Ана Караиани (Ana Caraiani, Imperial College London)

Александр Ефимов (МИАН, Москва)

Семён Филип (Simion Filip, Чикагский университет)

Александр Логунов (Принстонский университет)

Кайса Матомяки (Kaisa Matomäki, Университет Турку)

Фан Тан Нам (Phan Thành Nam, Мюнхенский университет имени Людвига и Максимилиана)

Жоаким Серра (Joaquim Serra, Швейцарская высшая техническая школа Цюриха)

Джек Торн (Jack Thorne, Кембриджский университет)

Марина Вязовская (Maryna Viazovska, Федеральная политехническая школа Лозанны)

В этом номере мы расскажем о нескольких лауреатах из разных стран мира — о Семёне Филипе, Марине Вязовской, об Александре Логунове и Александре Ефимове. Возможно, кто-то из них станет лауреатом премии Филдса, вручение которой состоится уже через два года на Международном математическом конгрессе — 2022, который пройдет в Санкт-Петербурге.

Редакция выражает признательность Андрею Окунькову за помощь в подготовке этой подборки.

Виктор Васильев, академик РАН, профессор факультета математики ВШЭ, президент Московского математического общества:

Премия EMS — довольно хорошая молодежная премия, многие ее лауреаты достигают больших высот в математике. Среди лауреатов прошлых лет десятеро стали потом филдсовскими медалистами, в том числе Максим Концевич, Григорий Перельман, Андрей Окуньков и Станислав Смирнов; из математиков, работающих сейчас в Москве, эту премию получали еще Александр Кузнецов и Стефан Немировский. Оба лауреата нынешнего года российского происхождения получали премию Московского математического общества: Александр Ефимов в 2016, а Александр Логунов — в 2017 году. Восторгами по поводу работы еще одного лауреата, Марины Вязовской, я уже делился (см. trv-science.ru/2016/12/20/viktor-vasilev-mathwalks/).

‌

На стыке двух математических цивилизаций

Антон Зорич, сотрудник Центра перспективных исследований Сколтеха, профессор Университета Париж VII:

Семёну Филипу (Simion Filip) 33 года. Родился он в Кишинёве. Кроме родного языка, английского, русского и французского, он знает еще и турецкий: школа, в которой он учился, была необычной. Преподавание таких предметов, как физика и химия, в старших классах велось на английском языке, а как иностранный язык учили турецкий. Семён с большой теплотой рассказывает о своих учителях. Успешное учас­тие в международных олимпиадах позволило ему учиться в Принстонском университете. Во время обучения Семён приезжал на семестр в Москву в Независимый университет по программе Math in Moscow. Его дипломной работой в Принстоне руководила Мариам Мирзахани (Maryam Mirzakhani). После окончания университета Филип провел год в Кембридже, после чего пошел в аспирантуру в Чикагский университет к Саше Эскину (Alex Eskin) — соавтору Мариам.

Мирзахани и Эскин много лет работали вместе над очень трудной задачей и решили ее как раз в те годы, когда Семён Филип учился в аспирантуре у Эскина. За цикл работ, включающий решение этой задачи, Мариам Мирзахани получила в 2014 году Филдсовскую медаль (а Саша Эскин получил в 2019 году Breakthrough Prize); Семён Филип тоже участвовал в этом проекте. В короткой речи на церемонии вручения Мариам Мирзахани Филдсовской медали Курт Макмаллен (Curt McMullen, лауреат Филдсовской премии 1998 года) выделил три фундаментальных результата в этом цикле работ: классификацию инвариантных мер, полученную Мирзахани и Эскиным; топологическую классификацию, полученную Мирзахани, Мохаммади и Эскиным; и алгебраическую структуру, найденную Семёном Филипом.

То, что Семёну удалось получить очень глубокие результаты уже в аспирантуре, не случайность. Семён Филип — универсал. Специалистов, которые так же глубоко, как он, разбираются и в теории динамических систем, и в алгебраической геометрии, в мире почти нет. Семён работает на стыке этих двух областей. Он изучает динамические системы на пространствах модулей комплексных кривых (то есть то, как накручиваются на себя римановы поверхности под действием специального класса деформаций) и на пространствах модулей поверхностей Калаби — Яу (за такую динамику отвечают композиции многих-многих отображений специальных четырехмерных симплектических многообразий).

За серию блистательных результатов в этой очень активно развивающейся области современной математики Филип получил одну из десяти премий Европейского математического общества 2020 года. Эти премии присуждаются раз в четыре года молодым математикам; они приурочены к Европейскому математическому конгрессу.

После защиты диссертации в 2016 году престижная стипендия Клея позволила Семёну провести три года в Гарварде, где у него был особый статус junior fellow. С осени 2019 года Семён Филип работает в Чикагском университете. Его чудесная обаятельная жена Талия пишет диссертацию о взаимодействии искусства, науки и технологии во второй половине XX века.

Семён совершенно не вписывается в образ «чокнутого гения не от мира сего». Он универсал и в обычной жизни. Ума не приложу, когда и как он успевает прочесть массу книг, посмотреть море фильмов, провести время с племянниками в Бухаресте и друзьями в Кишинёве. Я его знаю уже десять лет и ни разу за это время не видел в нем признаков стресса, спортивного азарта соперничества или нервозной лихорадки от ощущения близости решения. Но при всей внешней мягкости и расслабленности, когда он начинает говорить о математике, диву даешься, насколько точны и ясны его формулировки, сколько он всего знает и насколько разными техниками свободно владеет.

Я должен пояснить, чем, собственно, удивительна разносторонность Семёна. Дело в том, что до недавнего времени теория динамических систем и алгебраическая геометрия казались бесконечно удаленными друг от друга — и по тому, какие объекты они изучают, и по технике исследования, и даже по эстетическим критериям. При изучении динамических систем вы изучаете только асимптотическое поведение сложной системы: условно говоря, вас интересует то, что произойдет через сто, тысячу или миллион лет, а не детали текущего момента; кроме того, почти всегда вы рано или поздно с фатальной неизбежностью наталкиваетесь на объекты причудливой фрактальной природы. Для изучения динамических систем часто используют численные методы и моделирование на компьютере.

Алгебраическая геометрия — прямая противоположность этому. Для нее характерна изысканность формы и кристальная отточенность алгебраической структуры. Красивая теорема в алгебраической геометрии как хорошее стихотворение, в котором ни одно слово нельзя заменить. До недавнего времени большинство алгебраических геометров относились к самой идее компьютерного эксперимента в математике как к чему-то постыдному: доказательство должно быть получено силой разума, а не унизительным компьютерным перебором.

Когда «динамистам» удается строго доказать, что размерность объекта, с которым он или она работают, не 1 (как у линии) и не 2 (как у поверхности), а некое неизвестное число, зажатое в интервале между 1,6 и 1,8, — они счастливы: им это кажется красотой необыкновенной. Для большинства алгебраических геометров такой объект выглядит по меньшей мере отталкивающим, если не омерзительным. Специалистам по динамике, в свою очередь, многие результаты алгебраической геометрии со стороны кажутся слишком абстрактными. Большая часть «динамистов» считает, что они исследуют уже существующие явления из «реальной жизни», в то время как многие алгебраические гео­метры уверены, что они единоличные творцы своей вселенной.

Еще десять лет назад многим профессиональным алгебраическим геометрам высокого класса ни разу в жизни не доводилось слышать об эргодической теореме (которую знает любой студент, интересующийся динамикой), а многим специалистам по динамике высокого класса было неведомо понятие степени расслоения (которое знает любой студент, интересующийся алгебраической геометрией). Упрощая, можно сказать, что до недавнего времени теория динамических систем и алгебраическая геометрия сосуществовали как две цивилизации, не подозревающие друг о друге. Можете себе представить, сколько новых и красивых результатов (включающих результаты Мирзахани, Мохаммади, Филипа и Эскина, упомянутые выше) удалось получить, когда эти две развитые и мощные цивилизации начали взаимодействовать!

↑

«Я изучаю динамические системы»

Семён Филип, исследователь на факультете математики Чикагского университета, ответил на несколько вопросов нашей газеты.

— Как вы решили прийти в математику? Были ли сомнения в выборе?

— Когда я учился во втором классе, наша учительница записала всех желающих на математический конкурс для младшеклассников, под названием «Кенгуру». Мне это занятие — обдумывать математические головоломки — очень понравилось, и к тому же я выступил приличнее, чем ожидал. В школе участие в математических олимпиадах позволило мне лучше познакомиться с предметом, и так я понял, что заниматься математикой мне интересно. Куда важнее было то, что меня окружали друзья, которые тоже интересовались математикой, информатикой или физикой; также нами руководил отличный учитель — Марчел Викторович Телеукэ.

В университете я быстро понял, что математика обширна и необъятна и сильно отличается от моих школьных представлений. Тем не менее мне было интересно учиться дальше, и опять мне повезло с хорошими руководителями. Я ходил на курсы и семинары, которые организовывал Яков Григорьевич Синай, а на последнем курсе, под руководством Марьям Мирзахани, познакомился с исследовательской работой. Тогда я решил поступить в аспирантуру. У своего научного руководителя Алекса Эскина я очень многому научился — и математике, и тому, как подходить к исследовательским задачам.

Были ли сомнения? Конечно. Например, в школьные годы мне была очень интересна информатика, и какое-то время в университете я рассматривал ее как возможное направление работы. Мне кажется, что на разных этапах наличие активной группы людей, которые интересовались математикой и с которыми мне было интересно проводить время, сыграло важную роль в том, что я продолжал заниматься математикой. Конечно, работать приходится очень долго одному, но потом всегда хочется с кем-то поделиться мыслями, и приятно, когда кому-то другому это тоже интересно.

— Как бы вы описали область ваших математических интересов?

— Я изучаю динамические системы. Общая цель работ в этой области — понять, как себя ведут системы, которые, следуя некоторому закону, меняются со временем. Сами системы и законы могут прийти откуда угодно, например из физики, биологии или экономики. Круг вопросов, которые можно изучать строгими математическими методами, очень ограничен. Например, мы не можем сделать прогноз погоды на 20 дней вперед и, наверное, никогда не сможем, вне зависимости от прогресса в компьютерах.

Замечу, что само понимание того, почему такие предсказания невозможны, есть результат математических исследований, которые, в свою очередь, указали на более осмысленные вопросы и методы изучения динамических систем. Оказалось, что многие динамические системы связаны неожиданным образом с другими разделами математики, такими как алгебраическая геометрия и теория чисел. Пример динамической системы, которая моделирует элементарные физические явления и очень интересна математикам, — это движение бильярдного шара на столе необычной формы — как, например, пятиугольник или многоугольник в форме латинской буквы L.

Некоторые мои работы связаны с изучением таких систем или, точнее, пространства всех систем такого типа.

— Не могли бы вы в научно-популярном формате (нас читают не только физики, но и филологи) описать тот результат, который был отмечен премией Европейского математического общества?

— Рискуя расстроить математиков и запутать всех остальных читателей, я попробую. Вспомните об окружностях на плоскости, которые проходили в школе. Точки на окружности можно описать через угол, а можно — спроектировав окружность на прямую. Это принципиально разные описания одного и того же объекта. Обобщение этих двух методов на более сложные фигуры и в более высоких размерностях породило два разных подхода к геометрии, которые называются алгебраической и аналитической геометрией. Некоторые задачи легче решить с помощью одного подхода, некоторые — с помощью другого, а иногда между этими подходами есть интересная связь. Например, если вы разделите окружность на 17 равных кусков, как торт, то это легко описать углами, но, оказывается, очень интересно описать это через проекцию на прямую. (Почему 17? Надеюсь, что ваши читатели найдут в Интернете ответ на этот вопрос.)

Как я говорил выше, моя работа связана с динамическими системами на поверхностях. Гео­метрия поверхности, а также геометрия пространства всех поверхностей заданного типа могут быть описаны весьма разными способами, похожими на то, как я описал окружность выше. Суть моей работы была в доказательстве связи между двумя способами описания поверхности, а также в исследовании того, как это описание влияет на динамические системы на этой поверхности.

Подробнее см. math.uchicago.edu/~sfilip/