Перед вами титульный лист главы «Арифметика» из первопечатной университетской энциклопедии «Margarita philosophica», изданной в 1503 году во Фрайбурге. Эта объемная книга (608 страниц) выдержала семь переизданий за первые пять лет. На гравюре под присмотром музы Арифметики соревнуются два вычислителя. Первый (Боэций) считает используя цифры, второй (Пифагор) — на абаке. XV век — время перехода на цифры в вычислениях.Под гравюрой изображены современные математические объекты. Строки бинарной матрицы кодируют четыре прямые конечной проективной плоскости Фано из семи точек и семи прямых. Строки порождают совершенный четырехмерный бинарный код Хэмминга в семимерном векторном пространстве над полем из двух элементов 0 и 1. С этого объекта можно начинать курс линейной алгебры! Группа симметрий кода Хэмминга (подгруппа перестановок координат, сохраняющих код) есть простая группа из 168 элементов. Она совпадает с группой обратимых бинарных матриц порядка 3 и является группой автоморфизмов проективной комплексной квартики Клейна x3y+y3z+z3x=0, которая изображена справа как гиперболическая симметричная мозаика. Слева дана вещественная поверхность уравнения. Предшествующая по порядку некоммутативная простая группа из 60 элементов есть группа вращений правильного додекаэдра. Она отвечает в теории Галуа за неразрешимость уравнения пятой степени в радикалах.
и автоморфных форм НИУ ВШЭ, профессор Лилльского университета
2020-й — не первый академический год, испорченный пандемией. Историки знают, что в 1830 году из-за эпидемии холеры Московский университет закрылся на семестр, что было «событием неслыханным». Казеннокоштным студентам под угрозой карцера запретили выходить за ограду на Моховой, что не мешало группе учащихся во главе с Виссарионом Белинским чудачествовать и веселиться в очерченном ректоратом пространстве. В 1831 году занятия в полном объеме не возобновились. Годовые экзамены были отменены, все остались на прежних курсах. Отчасти из-за этой истории студент-словесник Михаил Лермонтов оказался в столичной Школе гвардейских подпрапорщиков…
Университеты мира провели сложный год, а впереди третий непредсказуемый ковидный семестр. Три дистанционных полугодия — это три четверти магистратуры. Еще сложнее с бакалаврами! Как продолжить учебу по таким предметам, как математика, когда недопонимание части материала превращает последующие разделы в магическую абракадабру? В академической жизни тоже серьезные проблемы. Как не растерять ту новую научную активность, которая возникла в последние годы?
Старинный вопрос «Что делать?» наполнился паническими интонациями.
Вся научная жизнь ушла из реального мира в цифровое пространство при помощи Zoom’а и других средств. Такого резкого поворота не ждал никто. Могу проиллюстрировать это на примере нашей Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм (МЛЗС) в Высшей школе экономики. Уже почти год мы не собираемся на форумы в обычном пространстве-времени. Последняя нормальная конференция прошла с 23 по 28 февраля прошлого года в математическом центре «Сириус» в Сочи [1].
На этом всё! Были отменены две программные конференции и традиционная школа высшего научного мастерства для молодых ученых в Москве. А ведь каждое такое мероприятие — это минимум год подготовки. Ежегодную школу по алгебраической геометрии в Новосибирске, на которой студенты Сибири и Дальнего Востока встречались с мировыми математическими лидерами, тоже пришлось отменить. К сожалению, пришлось отменить и вторую всероссийскую летнюю математическую школу в Вороново в 2021 году. (См. заметку о первой школе «Алгебра и теория чисел», прошедшей в 2019 году: [2].) Научный руководитель МЛЗС, американский математик Людмил Кацарков организовал в августе совместно с НГУ онлайн-школу «Back to school!» с надеждой на возвращение к нормальной очной работе во второй половине года, однако надежда была напрасной. Людмил трижды прорвался в Москву из США в осеннем семестре, но это редчайший пример, когда зарубежный ученый смог преодолеть пограничные трудности, которые возникли по всему миру. Международное научное сотрудничество приостановлено. Мир встал на паузу.
2020 год переформатировал не только работу каждого научного подразделения. Был отменен восьмой Европейский математический конгресс (ЕМК), проходящий раз в четыре года. Его перенесли на лето 2021 года, однако после третьего локдауна в Великобритании никто не поручится, что конгресс состоится. Несмотря на задержку с проведением, ЕМК объявил в мае о присуждении премий (EMS Prize) десяти выдающимся молодым европейским математикам. Одним из лауреатов стал научный сотрудник МИАН и член МЛЗС Александр Ефимов [3].
Премия Европейского математического общества считается предвестником медали Филдса — в свое время ее получили двенадцать филдсовских лауреатов (среди них Григорий Перельман, Станислав Смирнов, Андрей Окуньков и Максим Концевич). Отмечу, что Александру Ефимову всего 32 года.
Наша лаборатория отметила регулярное итоговое мероприятие в декабре, но в Zoom-формате прошла однодневная конференция по некоммутативной алгебраической геометрии, посвященная присуждению премии Александру Ефимову. Всем (не только математикам и физикам) рекомендую посмотреть доклад российского и французского математика, академика французской Академии наук и лауреата престижнейших премий по математике и физике Максима Концевича [4]. В самом начале своего выступления он демонстрирует вид газона перед Институтом высших научных исследований (IHES) под Парижем. Большие ухоженные лужайки повадились посещать дикие кабаны. Вот так мировой локдаун в буквальном смысле меняет экологическую картину научного мира.
Университеты (это чудо Средневековья) существуют уже 800 лет. Они переживали и более трудные времена. Лекции профессоров и групповое сотворчество учащихся разных уровней всегда составляли суть университетского образования. Можно сделать вид, что ничего в 2020 году не произошло, что студенты всё выучили, что ученые встречаются, пусть даже в Zoom’е, что работа идет… Педагоги со стажем помнят советские заочные отделения. Сейчас все мы стали заочниками. Если какой-то университет удовлетворен тем старым заочным уровнем, то за него можно уже не переживать. Но большинство преподавателей потрясено коренным стихийным сломом традиций высшей школы в прошедшем году. Пора осознать глобальный учебный локдаун 2020 года. Что это — конец света или открытие нового мира?
На мой взгляд, мы работаем в удивительный период, сравнимый только с революцией Иоганна Гутенберга, когда учебники стали доступны многим и знания вышли за пределы узкого круга посвященных. Чтобы понять масштаб первых 50 лет книгопечатания (1450–1500), отмечу, что до наших дней дошло более 360 различных изданий-инкунабул античного учебника латинского языка (так называемый «Донат»), как минимум шесть авторских учебников по математике и первая энциклопедия «Margarita philosophica», детально раскрывающая программу средневекового высшего образования (тривиум + квадриум). Всё это привело к масштабной университетской реформе XVI века.
Для нынешних студентов экран смартфона или планшета с детства привычней, чем страница книги. Но не это главное. Учебник перестал быть основным инструментом, главным авторитетом. Представление, обработка и классификация информации тотально изменились в процессе цифровизации — сегодня учатся, отчитываются и совершенствуются совсем не так, как 30 лет назад. Ничто не может быть лучше авторского курса известного специалиста в аудитории, если в нем достигается гармония науки и преподавания, — с этим согласны все. А если гармонии нет? И это одно из самых легких противоречий, которые неизбежно возникают в учебной работе. Современные коммуникации дают возможность предложить несколько авторских курсов и вывести их далеко за пределы конкретного университета, города или страны. В математическом образовании, на мой взгляд, это единственный путь развития.
Уже в ХV веке студенты свободно перемещались между Болоньей, Пизой, Парижем, Оксфордом… В Базеле в 1490-x годах читалось до пяти альтернативных курсов астрономии — самого сложного университетского предмета того времени, который раскрывал божественные замыслы творца Вселенной. (Это объясняет, почему труды Николая Коперника, каноника католической церкви, положили начало первой научной революции.) В XXI веке место фундаментального предмета, объединяющего и формализующего все специальности цифровой эпохи, заняла математика. Математика — это не только язык и форма, но и сама суть цифровизации и алгоритмизации большинства современных научных предметов; даже симбиоз вирусов и человечества имеет информационную природу. Именно поэтому успешная реформа высшего образования невозможна без реструктуризации математического преподавания.
Необходимость преподавания математики огромному числу студентов стала неизбежным следствием современной цифровизации. Ключевое противоречие текущего преподавания математики состоит в том, что подавляющее большинство современных студентов объективно не владеет числовой культурой и геометрической интуицией, на базе которых формировались все стандартные курсы математики ХХ века, ориентированные на подготовку аналоговых инженеров и их преподавателей математики. Именно этот факт объясняет труднодоступность современного общематематического образования даже для способных студентов. Большинство инженерных специальностей заменены сегодня IT-специальностями, математические потребности которых совершенно другие. Сама математика быстро меняется и обретает новый масштаб приложений благодаря компьютерной среде.
На мой взгляд, жизненно необходимо сформировать новый тренд в преподавании математики, используя бинарно-компьютерную интуицию. Такая интуиция (выбор между вариантами, поиск по дереву и так далее) совершенно естественна для студентов, с детства пользующихся тактильными экранами, и может на первом этапе заменить аналитическую и геометрическую культуру прошлой эпохи. Тогда математика как учебный предмет из способа проведения и анализа вычислений превратится в инструмент обработки информации. Формально-вычислительная практика может быть заменена на логическо-информационную, с сохранением и развитием всего содержания классического математического образования, совершенно обязательного сегодня. Новая практика позволит иначе излагать материал, разрушить стену непонимания между студентом и преподавателем и задать новые темы для учебно-исследовательского общения студентов-математиков с теми, кто изучает компьютерные науки. Создание новых базисных курсов — принципиальная, революционная задача, решение которой нельзя откладывать, особенно после уникального опыта 2020 года. Подобная работа уже началась в разных странах, в ближайшее время она превратится в один из основных мировых трендов. Мы уже предложили концепцию первых курсов, но ее надо реализовать и отработать.
Разрешить методологическое противоречие между исходным аналоговым подходом и информационно-цифровыми проблемами в рамках сложившейся за последние 70 лет университетской математической программы невозможно.
Новые курсы потребуют радикальной смены семинарского материала, который должен превратиться в важнейшую часть предмета. Отмечу, что преподавание базисной математики на лучших факультетах страдает сегодня комплексом «плохого родителя»: профессора стремятся к тому, чтобы студенты решили и все те стандартные задачи, которые уже проработали до них несколько поколений, и то, что они на обязательных занятиях освоить не успели.
Единственный выход — дистанционные, или, лучше сказать, внеаудиторные методы, которые достаточно привычны для российской науки. (Например, летние и зимние студенческие школы стали массовым явлением.) Средний возраст слушателей математических курсов международной платформы Coursera равен 27 годам — убедительное доказательство того, что мировые университеты не до конца удовлетворяют потребности специалистов. У меня есть практический опыт проведения постоянного научно-исследовательского курса (уровень дипломников и аспирантов) на этой платформе. Тематика чисто теоретическая и сложная (арифметика и специальные аналитические функции), но за четыре года курс освоили 1983 слушателя. Добавлю, что в Москве, одной из математических столиц мира, подобный спецкурс может посещать 20–30 студентов, а в других университетских столицах Европы можно рассчитывать на 10–15 слушателей.
Предвижу возражение коллег о роли классического, очного обучения. Индивидуальная совместная работа мастера и ученика была, есть и будет основой подготовки специалистов высшего уровня. Но начинающий еще должен доказать, что он интересен как серьезный кандидат для диалога. Внеаудиторная, дистанционная работа позволит искать и готовить талантливых студентов, не ограничиваясь никакими географическими или административными рамками. Добавлю, что не следует и переоценивать подготовленность студентов к чисто компьютерной жизни. Невозможность собраться на факультете математики НИУ ВШЭ в декабре 2020 года заставила нас провести отчетную молодежную конференцию десяти стажеров-исследователей МЛЗС в форме индивидуальных коротких докладов в профессиональной студии [5]. Стоять одному, без слушателей, перед объективом камеры — «черным квадратом» Интернета, сохраняя концентрацию и атмосферу научного доклада, для многих студентов и аспирантов оказалось совсем не просто. Такой навык не требовался поколениям XX века — а тем, кто родился в ХХI веке, он уже совершенно необходим. И это еще один предмет обучения.
Закончу двумя важными вопросами к профессорскому сообществу и структурам, отвечающим за развитие страны.
- Как перевести на профессиональную основу создание принципиально новых базисных математических курсов, не вписывающихся и даже противоречащих логике сложившейся программы?
Университетам это не очень интересно по разным причинам, хотя подобная научная деятельность сложнее и масштабнее, чем публикация исследовательских статей в журналах первого квартиля. Возможная аудитория «выстрелившего» математического курса может составить десятки и даже сотни тысяч мотивированных слушателей по всему миру, но его создание — серьезнейшая творческая задача для небольших высококлассных коллективов. Остается надеяться на помощь крупных компаний, например в рамках опекунских программ ведущих университетов страны.
- Как сформировать административно-правовые условия к тому, чтобы мотивированные российские студенты могли набирать обязательные учебные кредиты своих университетов, используя всё новое, что может появиться в ближайшее время в мировом образовательном пространстве?
Математическое образование неизбежно выходит за пределы отдельно взятого университета. Отмечу, что дистанционный контроль за освоением учебного материала по математике уже не представляет принципиальной методологической проблемы. Математика — один из немногих предметов, который требует для успеха только доступа к правильно организованной информации и непреодолимого желания ее осознать.
2020-й год отворил для всех дверь в онлайн-пространство, и никто не сможет затворить ее.
- Огнёв А. Охотники на спецфункции, или «Сириус» накануне вируса // ТрВ-Наука. № 301 от 7 апреля 2020 года.
- Огнёв А. Летняя математическая школа в Вороново — 2019 // ТрВ-Наука. № 285 от 13 августа 2019 года.
- «Александр — яркая суперзвезда в современной алгебраической геометрии» // ТрВ-Наука. № 310 от 11 августа 2020 года.
- ms.hse.ru/en/Noncomgeometry
- ms.hse.ru/youth2021
«Такая интуиция (выбор между вариантами, поиск по дереву и так далее) совершенно естественна для студентов, с детства пользующихся тактильными экранами, и может на первом этапе заменить аналитическую и геометрическую культуру прошлой эпохи. Тогда математика как учебный предмет из способа проведения и анализа вычислений превратится в инструмент обработки информации. Формально-вычислительная практика может быть заменена на логическо-информационную»
Возможно, какие-нибудь примеры помогли бы прояснить, о чём вообще идёт речь.