Сеятель знанья на ниву народную!
Почву ты, что ли, находишь бесплодную,
Худы ль твои семена?
Робок ли сердцем ты? слаб ли ты силами?
Труд награждается всходами хилыми,
Доброго мало зерна!
Н. А. Некрасов
Математика — один из самых объемных школьных предметов (по общему числу часов). Экзамен по математике требуется для самых разных вузов, курсы математики в вузах обязательны для студентов многих специальностей и т. д. Но и преподаватели, и учащиеся жалуются, что большая часть их труда уходит впустую — и это во многих странах. Едва ли не большинство вспоминает об уроках математики как о соединении неприятного с бесполезным. Почему так получается, несмотря на многочисленные попытки улучшить ситуацию (или по крайней мере что-то реформировать)?
Иногда это объясняют «бесплодной почвой» — мол, когда математику изучали избранные, дело шло неплохо, а когда началось всеобщее (и весьма) среднее образование, тут-то всё и рухнуло, потому что способности к изучению математики встречаются редко. Конечно, доля истины в этом есть — способности разных людей могут отличаться очень сильно. Но, скажем, отбор в гимназиях был не только и не столько по математическим способностям, сколько по социальным факторам — и далеко не все выпускники гимназий успешно и с удовольствием изучали математику1.
При этом школьный курс математики, в общем-то, довольно прост. Много лет назад, едучи в метро, я увидел школьника, причем скорее гопника, чем ботаника (как теперь говорят), который вертел в руках модный тогда кубик Рубика — и быстро и ловко его собрал. Между тем алгоритм сборки заведомо сложнее и с точки зрения геометрического воображения, и по объему комбинаторной информации, которую надо запомнить, чем большинство школьных тем2. Почему же в школе математика идет так плохо? Да и не только в школе — придя на случайно выбранное занятие по математике в вузе, легко в этом убедиться. Я попытаюсь указать некоторые возможные причины (по своему личному опыту и впечатлениям3) — не настаивая на них и не претендуя на новизну. При этом я заранее оставляю в стороне общественные проблемы (статус учителей, их подготовку, условия работы и т. п.), а говорю только о внутрипрофеcсиональных ошибках.
• Построение курса. Готовая математическая теория строится (излагается) как здание: каждый следующий результат опирается на предыдущие и служит надежной основой для последующих. Возникает иллюзия, что можно так и преподавать: изложить что-то, проверить, что это усвоено, и затем на это опираться. Хотя на самом деле обучение и изучение скорее напоминает перекрытие реки: первые брошенные камни уходят без следа под воду, а часть из них уносится потоком, но постепенно русло заполняется и наконец возникает (должна возникать) плотина, надежно удерживающая воду.
• Учебные программы. Часто начинают с обсуждения «программы» курса математики4. Это хорошо согласуется с идеей построения математического знания начиная с фундамента. Потом, «утвердив» такую программу, пишут учебники. Потом их «внедряют» — при этом выясняется, что школьники мало что понимают, и начинается процесс упрощения и вырождения учебников при сохранении декларированной программы5. В программах при этом остаются формулировки вроде «Понятие о…», а в учебниках — вроде «Доказательство (не для запоминания)». Что уже совсем нелепо: если и можно строить дом на фундаменте, то на «понятии о фундаменте» точно нельзя.
Составив программу (в школе или вузе), начинают по ней преподавать в соответствии с «учебным планом». При этом преподаватели обнаруживают (или не обнаруживают — так тоже бывает), что школьники или студенты ничего не понимают, отчасти потому, что не разобрались в предыдущих курсах, отчасти потому, что слишком быстро. Но план уже утвержден — и водитель локомотива, под присмотром диспетчера, старается соблюдать расписание, хотя вагоны давно отцепились.
• При составлении программы часто стараются прийти кратчайшим путем к тому, что должно в нее войти. Зачем элементарная геометрия, если (как писал Дьёдонне) можно с помощью нескольких строк векторной алгебры доказать то, для чего раньше нужны были леса из треугольников? Но смысл обучения математике не в том, чтобы проговорить доказательство каких-то признанных необходимыми фактов, а в том, чтобы научить рассуждать (решать задачи — в том числе и сложные для решающего). Поход может быть трудным с непривычки, но какой смысл ехать вместо этого на такси от старта до финиша? Может быть, это имел в виду Евклид (и не понял Дьёдонне), когда (согласно легенде) говорил, что «в математике нет царского пути».
• Для успешного преподавания нужно, чтобы изучаемое было понятным, посильным и интересным. Математические доказательства должны восприниматься как убедительные рассуждения о чем-то реальном, а не как произвольный материал для заучивания. Решение задач — как выяснение истины, а не загадочные действия по образцу. Когда-то, будучи в гостях у своего товарища в Англии, я спросил его сына, что они проходят в школе. «Сложение и вычитание». — «А знаешь, сколько будет 100 минус 1?» Вопрос этот оказался трудным, и я решил спросить иначе: «Сколько будет сдачи, если платить фунт, а товар стоит пенс?» — «99 пенсов, но при чем тут это?» — был немедленный ответ.
И. М. Гельфанд любил рассказывать, как работяги в вечерней школе, не умевшие сравнить 2/3 и 1/2, ни секунды не колебались в ответе на вопрос «Что лучше: две бутылки на троих или одна на двоих?». Впрочем, когда мой коллега по моей просьбе задал подобный вопрос своим детям (видимо, не имевшим достаточного опыта), только один из троих ответил правильно. (Интересно, что одна из ответивших сказала, что «для этого надо сравнить по величине дроби», но не смогла этого правильно сделать.)
Не смог сейчас найти, в какой книге я это читал, но помню примерно такую историю. Рассказчик вспоминает, как в школе учитель добивался ответа от его соученика, задавая всё более простые вопросы, и наконец спросил: куда покатится шар, если положить его на наклонную плоскость — вверх или вниз? Растерянный ученик сказал, что вверх, — и учитель дал волю гневу. Когда всё утихло, рассказчик спросил товарища удивленно: «Зачем ты так, неужели ты не знаешь, куда покатится шар?» — «Настоящий шар, конечно, вниз — но кто его знает, как там у вас…»
Преподаватели возмущаются, когда на вопрос об определении модуля школьники отвечают «число без знака». Но уж лучше пусть они так отвечают, чем заучивают определение из учебника (|a| равно a при a ≥ 0 и –a при a < 0), а потом не могут ответить на вопрос «Чему равно | —a | при a < 0 — числу a или числу —a?».
В свое время этот вопрос был в заданиях ВЗМШ (Всесоюзной заочной математической школы, организованной по инициативе И. М. Гельфанда), и было много неверных ответов. Там же было замечено, что школьник может более или менее уверенно решать уравнения, но затрудниться в ответе на вопрос о том, какое число заменено звездочкой в уравнении x3 + *|x| — 5 = 0, если x = 1 является его корнем.
Давным-давно, на студенческих каникулах, я разговаривал с какими-то далекими от математики студентами (чуть ли не военного вуза). Они спрашивали, к чему вообще математика — и были озадачены, когда выяснилось, что я могу регулярно у них выигрывать в игру «ним».
Сложный для изучения материал приходится упрощать. Как писал Н. Г. Чернышевский, «Наука сурова и незаманчива в своем настоящем виде; она не привлечет толпы. Наука требует от своих адептов очень много приготовительных познаний и, что еще реже встречается в большинстве — привычки к серьезному мышлению. Поэтому, чтоб проникнуть в массу, наука должна сложить с себя форму науки. Ее крепкое зерно должно быть перемолото в муку и разведено водою для того, чтоб стать пищею вкусною и удобоваримою»6. Но что будет, если приготовленное по рецепту Чернышевского пойло (может, и удобоваримое, но всё же едва ли вкусное) впихивать годами?
• Плохое «локальное качество» учебников. Помню, как в начале перестройки телевидение передавало выступление учителя математики Виктора Фёдоровича Шаталова — при полном восторженном зале. Среди прочего он рассказал придуманное им доказательство теоремы о равенстве сумм противоположных сторон в описанном четырехугольнике. Состояло оно в том, что на рисунке он пометил четыре пары равных отрезков буквами (кажется, они образовывали какое-то слово7) и торжествующе сказал: «Видите, противоположные стороны вместе дают эти четыре буквы!» — сорвав аплодисменты. Я удивился: разве не ровно это написано в учебнике? Оказалось, что нет — там были равенства отрезков, обозначенных своими концами, и чтобы понять, о чем речь, надо было переводить взгляд с рисунка на текст и обратно несколько раз.
Когда я был школьником 7-го класса математической школы (№ 2), на нас решили попробовать (тогда экспериментальный) учебник геометрии Колмогорова с соавторами, и одно обсуждение я запомнил. Там было определение луча AB как множества точек, лежащих по ту же сторону от A, что и B, а после этого давалась задача: сколько лучей возникает, если на прямой есть три точки A, B, С? После этого начался спор с участием школьников и нашей замечательной учительницы, Галины Алексеевны Чувахиной (Биллим). Одни говорили, что лучей шесть — каждая точка дает два луча. Другие возражали: в определении говорится о «луче AB» — но два из шести лучей нельзя так назвать (нет второй точки), остаются только четыре. И все так и остались в некотором замешательстве (едва ли предусмотренном авторами учебника), а через некоторое время эксперимент свернули.
Конечно, хорошо, когда учебники пишут профессиональные математики, там будет меньше ляпов (хотя всякое бывает, особенно когда их начинают дорабатывать «практики»). Но если эти математики не имеют многолетнего опыта преподавания, причем не в специальных математических классах, а в «массовой школе» (а так практически всегда и бывает), то у них могут быть самые неожиданные идеи о том, что и как можно объяснить школьникам (ср. определение вектора по Колмогорову как геометрического преобразования) и какой текст школьники и учителя смогут понять, а какой — нет.
• Наука «педагогика» с разговорами о «навыках» и «компетенциях». Думаю, что каждый, кто заполнял всякие таблицы с указанием, какие компетенции вырабатывает такой-то раздел курса, или какие компетенции проверяет такая-то задача, понимают, о каком бреде идет речь. Циничная поговорка «кто умеет — делает, кто не умеет — учит, как делать» часто дополняется: «…а кто и этого не умеет — идет в методисты и учит, как учить»8. Один из (лучших, на мой взгляд) московских учителей математики рассказывал, как к нему на урок пришел проверяющий «методист» и остался недоволен: дескать, «урок не обучающий» (что бы это ни значило).
• Существующая ситуация часто оказывается плохим для всех, но устойчивым равновесием. Преподаватели заинтересованы, чтобы на их занятия ходили, слушали и это бы помогало сдать экзамен. Студенты заинтересованы, чтобы можно было, проявив некоторую усидчивость, подготовиться к экзамену и получить хорошую оценку. Поэтому на экзамене даются задачи заранее известных типов, а на занятиях разбираются образцы решений задач, похожих на экзаменационные — несмотря на бессмысленность этой ситуации для всех участников, никто не заинтересован от нее отклоняться. Это видно и на уровне ЕГЭ, где каждый год даются задачи одних и тех же пронумерованных типов, и выпускаются пособия, так и называющиеся: «Как решать задачу номер 14».
В свое время аналогичный эффект проявлялся во «вступительной математике» — вспомним все эти «алгебраические, тригонометрические и показательные уравнения и неравенства», которые были на всех вступительных экзаменах и составляли предмет постоянной дрессировки как в школе, так и у репетиторов. При этом наиболее квалифицированные репетиторы могли за сравнительно небольшое время (и за немалые деньги) сильно помочь абитуриенту повысить шансы сдать экзамен в какой-нибудь не очень сложный вуз (сдать, так и не узнав, что означает эта странная буква «x» в «решаемых» им уравнениях). Было даже специальное учение об «ОДЗ», открывавшее ритуал решения уравнения («область допустимых значений»).
Этот эффект не ограничивается школьными задачами и плохими преподавателями. На мехмате упражнения по дифференциальным уравнениям у нас в группе вел замечательный математик, но они, как и во всех других группах, состояли в решении уравнений разных типов: на одном занятии — с разделяющимися переменными, на другом — еще какие-то и т. п. Наконец, пришло время контрольной. Преподаватель сказал, что на ней будут уравнения таких-то и таких-то типов, и я в ужасе спросил: «Но хоть скажут, какого типа какое?» — и только после этого понял, как глупо выгляжу.
• Органы управления образованием. Желая как-то контролировать подведомственные школы, они заинтересованы в показателях успешности преподавания. Часто говорят, что эти показатели (тот же ОГЭ/ЕГЭ) показывают не то, что надо, но проблема более серьезная и редко отмечаемая. Почти любой (минимально разумный) тест (контрольная работа) будет сильно коррелировать с реальными успехами школьников, если вопросы для них неожиданные. Но когда заранее известный тест используют как критерий успешности школы и школьника, оптимальная стратегия подготовки к нему будет далека от осмысленного обучения (см. выше о репетиторах).
• Идея «математики для пользователей». Большая часть изучающих математику в будущем не будут математиками, и у них нет ни времени, ни желания, ни сил, ни (часто) способностей, чтобы изучать математику долго и тщательно. Поэтому (говорят многие) нужно научить их «применять математику», оставив подробности (точные определения, доказательства и т. п.) для более профессиональной подготовки. Возьмем курс математики для математиков, выбросим из него доказательства и определения и научим оставшимся рецептам. Примерно так и выглядит курс высшей математики «для ВТУЗов» (или undergraduate calculus в английском варианте). Между тем это нелепо как раз с точки зрения будущего использования: трудно себе представить, чтобы будущему программисту или финансовому аналитику пришлось искать предел по правилу Лопиталя (а как раз умение понимать математический язык и проводить рассуждения корректно могло бы и пригодиться).
Александр Шень, математик, ст. науч. сотр. Института проблем передачи
информации РАН (Москва), науч. сотр. LIRMM CNRS (Франция, Монпелье)
1 Лев Толстой вспоминает в автобиографической повести «Юность»: «На экзамен математики я пришел раньше обыкновенного. Я знал предмет порядочно, но было два вопроса из алгебры, которые я как-то утаил от учителя и которые мне были совершенно неизвестны. Это были, как теперь помню: теории сочетаний и бином Ньютона». Дальше он рассказывает, что один из вопросов (бином Ньютона) ему успел рассказать знакомый, который хорошо разбирался в математике, но ему попался второй («О ужас! это была теория сочетаний!»), и он чудом спасся от позора и отлично сдал экзамен, поменявшись билетом с товарищем по несчастью, у которого как раз был бином Ньютона. Остается гадать, что понял Толстой в биноме Ньютона, если сочетания вызывали у него ужас.
2 Ср. высказывание Колмогорова: «Надо думать, что даже у совсем хороших математиков сложность системы знакомого им родного языка превосходит и по сложности строения, и по объему всё, что они усваивают как математики» (письмо В. А. Успенскому, 5 марта 1962 года, приведенное в: Успенский В. А. Колмогоров как центр моего мира. Труды по нематематике, том 5, М., 2018, с. 100. Другое высказывание Колмогорова (доклад «Автоматы и жизнь» // Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. Библиотечка «Квант», вып. 88, с. 52–53): «Слаломист, преодолевая дистанцию, в течение десяти секунд воспринимает и перерабатывает значительно большую информацию, чем при других, казалось бы, более интеллектуальных видах деятельности, во всяком случае больше, чем математик пропускает через свою голову за сорок секунд напряженной работы мысли».
3 Заранее прошу прощения, если я что-то запомнил неправильно: я старался ничего не придумывать, рассказывая разные байки, но мог перепутать.
4 При этом приводятся аргументы «нельзя же не знать, что…». То обстоятельство, что это всё равно мало кто знает, хотя это и есть в программе, деликатно обходится.
5 Учебник геометрии А. В. Погорелова начинался как две небольшие брошюры, в которых автор старался, и довольно остроумно, предложить способ построения геометрии, который мог бы восприниматься и на уровне первого знакомства, и как (почти) строгое изложение для знатоков. В массовом учебнике от этого остались какие-то странные развалины. См. Погорелов А. В. Элементарная геометрия. Планиметрия. М.: Наука, 1969; Стереометрия. М.: Наука, 1970. Учебник геометрии вышел в 1982 году (еще как «учебное пособие») и переиздавался несколько десятилетий, с постоянными изменениями, в том числе и после смерти автора — при этом из выходных данных нельзя понять, кто эти изменения вносил.
6 Чернышевский Н. Г. О поэзии. Сочинение Аристотеля. Перевел, изложил и объяснил Б. Ордынский. Собрание сочинений в 15 томах, том 2. Гослитиздат, 1949, с. 273.
7 Сейчас проверил: в Интернете есть эта передача, youtu.be/aQj4eBlcGtg?t=2451, и образованное четырьмя буквами слово — ВЕРА.
8 Или, хуже того, идет в органы управления образованием и проверяет заполнение всех этих бумаг.
Нематематический какой-то текст…
текст о методологии мышления
Насчёт «две на троих или одна на двоих» — надо просто усложнить задачу, чтобы она стала интуитивно неочевидной, скажем «две на троих или три на пятерых», и дело в шляпе, необходимость математики (и как она работает) станет очевидна даже работягам в вечерней школе.
Ну да, 10/15>9/15 :)
А.С. Кронрод велел / завещал нам всё рисовать!
Нарисуйте отрезок [0,1] и отметьте обе точки.
Л.К.
Если, мощным усилием воображения, пациент таки сможет ответить, где же больше, то есть способ всё-таки посадить его в лужу, спросив, а на сколько именно больше.
Можете «сверхусилием воображения» нарисовать третью точку, а именно, геометрический образ числа 1/3. И ответить, на сколько (больше).
Простите, Вы — из физиков?
Л.К.
Это все банально, известно сто лет. Вопрос — что делать?
https://www.youtube.com/watch?v=mq8Q1T8r1iQ&t=34s
Простите, Вы за деньги дважды (про)пропагандировали этот ролик? Или просто так, ради интереса?
Заранее спасибо.
Л.К.
Нет, бесплатно.
УЧИТЬ ДЕЛАТЬ ОТКРЫТИЯ. Например, построить урок так, чтобы у ученика родилось предположение, что сумма углов треугольника равна 180. И только после этого пытаться вместе с учениками эту гипотезу доказывать. Автор прав — то, что сейчас в школе называется математикой, никакого отношения к математике не имеет.
Ну, положим, говорить,, что это отношения к математике не имеет, некоторый перебор.
Во-вторых, я плохо себе представляю, как можно строить урок для 25-30 самых разнокалиберных учеников так, чтоб у них появлялись предположения и они пытались бы их проверить.
В-третьих. А зачем? Подавляющему большинству людей надо знать основы арифметики в пределах четырех действий и уметь прикинуть, сколько он сэкономит на кетчупе со скидкой в 25% и что стоит за кредитом по ставке 14% годовых.
А делать маленькие открытия в 12-13-15 лет — удел крайне немногих. Вот как этих немногих разглядеть и как их учить — вопрос.
А сами-то Вы их, открытия, много их «наделали»?
Или только этому учите в соответствии с известной байкой?
Л.К.
Не понимаю, почему автор против разделения математики на отрасли. Во многих областях (и математике тоже) есть разделение на «академиков» и «ремесленников». Академики исследуют и развивают предмет, а ремесленники применяют его на практике. И эти две ипостаси не нужно смешивать в одном человеке, а значит, и подготовка должна быть разной.
И про ОДЗ. Недавно наблюдал спор, в котором один участник доказывал, что если разделить яблоко поровну на ноль человек, то получится одно яблоко. Аргументы, что он пытается применить операцию деления там, где она не определена, на него не действовали. Математика для «ремесленника» — инструмент, и применять его нужно к соответствующим задачам. Так что определение ОДЗ – необходимое условие решения задачи. Даже если этот этап не проговаривается, он есть. И мне непонятно «прохладное» отношение автора к этой теме. Нужно, и очень важно учитывать область применимости.
А так, статья – бальзам для души. Образование – это то, что определяет всю жизнь человека. И неравнодушие автора очевидно.
Кстати, интересный вопрос. Одно яблоко получается, если разделить одно яблоко на одного человека. Но ведь если совсем не делить яблоко между людьми (что и подразумевалось, вероятно. под делением на ноль человек), всё равно остаётся одно яблоко, хоть никому и не принадлежащее.
Пожалуйста, скажите, что Вы пошутили. Я старый человек, и не выдержу еще одного спора об этом. Ну хорошо, для ясности: какую долю яблока получит каждый из ноля человек? Вряд ли одно, правда? А это и есть деление в «практическом» смысле.
Вспомнил, что в нашем классе споры вызывали даже отрицательные числа: «Отрежьте мне минус один сантиметр от линейки, и я соглашусь, что отрицательные числа есть». Понятие о числе, как о векторе, снимает эту проблему. И по-моему, школьная программа математики скорее недогружена, чем перегружена. Просто необходимо давать еще классе в 5-м комплексные числа: это избавит от недоразумений с корнем четной степени из отрицательного числа, да и вообще многое расскажет о числах. Давать числовую прямую, и не давать комплексной плоскости – преступление против образования. Это мое мнение.
Почему именно в 5-м? Опоздать не боитесь типа?
Л.К.
Ориентировался на свой опыт, и ту программу, которая была. Нам, уже прошедшим этот путь, трудно понять тех, у кого он еще впереди. Мы быстро забываем, как «были глупыми».
В 9-м я остался на второй год. Меня вызвали к доске — решать что-то с функциями. Я «не приходя в сознание» вывел на доске решение, и жду когда меня отпустят за парту. И тут учительница с улыбкой спрашивает: «А что это у тебя за значок такой использован?». Я недоуменно: «Производная… А что тут не так?». «Да нет, ничего, — говорит. — Только мы их еще не проходили.» А я напрочь успел забыть, как такие задачи без производной решались, в чём и признался. Вот такой забавный случай: я не помнил, каким был год назад. Тем более, люди все разные, а образование — общее среднее. И там дети. Так что прибавлять нагрузку надо, но без фанатизма, понемногу. Нам трудно судить, что нынешним детям будет «впору». На то и существуют специалисты.
Но понятие комплексных важно, и по-хорошему, без них — вообще никуда. Как в том случае с производной, я уже забыл, каким был мой мир до комплексных, до матриц, и до кватернионов. Уж больно они естественны и удобны. Я просто не вспомню теперь, как можно обходиться без них. Тогда как числовая прямая сама по себе лишена смысла, не добавляет ничего нового, и только раздражает. Вот, собственно, что я имел в виду.
Виктор, большое спасибо. Имхо, замечательный фрагмент детско-юношеских воспоминаний.
Укажу, что, скорее всего по возрасту я — не моложе Вас.
Но — заковыка имеется: Ян Амос Каменский учил о посильности детского восприятия, в том числе и трудных математических понятий.
Что касаемо комплексных чисел и гиперкомплексных, в частности — кватернионов, то необходимость их достаточно детальной штудии есть, имхо, отдельная узко специальная тема (обсуждения).
По поводу «боязни» числовой оси — см. выше у господина Алекса, кажется.
Ваш Л.К.
Кем довелось трудиться, если не секрет? Мне — так всю жизнь математиком (преподавателем оного предмета).
К.
Вы правы, Леонид (простите, не имею чести знать Вашего отчества), мне не стоило вмешиваться в беседу умных людей. Простите.
Все мои учителя математики были особыми, исключительными людьми. Уверен, и Ваши ученики/студенты вспоминают Вас так же. Своим учителям я стеснялся сказать спасибо. Но всегда знал, чем обязан им.
Каждого из нуля человек не существует.
Естественно, я пошутил.
Шютки у Вас, как у батьки Ангела из сериала об ад’ютанте то ли Деникина, то ли, (прости меня, Господи, за писание всуе!), то ли Юденича.
Л.К.
Кстати, натуральных чисел также не существует, поскольку не бывает идентичных предметов.
Ага. Вам лишь бы старика довести: теперь, вот, и натуральных не существует.
Развитость Вашего воображения очевидна, и говорит о математических способностях. Но только в математике к воображению нужно еще и строгость рассуждений прилагать. Вы извините, если мой тон кажется назидательным, или насмешливым — это я просто выражать мысль не умею. Числа — абстрактны, ими можно и разные предметы посчитать — спросите кого угодно, если мне не верите.
Спасибо на добром слове, но проблема известна по меньшей мере со времён Платона.
Если вдуматься, то подсчёт разнообразных предметов при помощи одинаковых чисел — процедура не менее (а то и более) загадочная, чем деление на дробь (откуда и следует невозможность делить на ноль) или вычитание отрицательных чисел. Счёт не вызывает вопросов только потому, что к нему все привыкли с детства. Таким образом, недоумение учеников вполне законно и должно быть учтено. Например: можно предложить ученикам в качестве задачи самим предложить определение, что означает «поделить на одну вторую» и «вычесть минус один».
Характерно, что как пример «загадочных операций» Вы привели вычитание и деление. Деление — особенно. Ведь разделить a на b, значит найти такое число c, которое при умножении на b даст a. Другого определения я не знаю. То есть, деление тем и загадочно, что не определяется прямо — подобно сложению или умножению.
Вычитание — сложение с противоположным. Тут попроще, но всё равно определяется через другую операцию — сложение.
Что же касается счета, то для меня достаточным является значок «=» — эквивалентность. И мне не так уж важно, какие атрибуты остались вне, если эквивалентность установлена. Поэтому, определив, что предметы пригодны для счета, я не вижу необходимости сомневаться в результате. То есть, Ваше возражение против натуральных парируется областью их применения.
Вообще, математика построена на аксиомах и вытекающих из них следствиях. Примите это, и Вам будет легче жить.
Хотя, кажется, Вы не такой человек, который с этим согласится. Вы напоминаете мне одного моего хорошего знакомого: мы долго не могли найти с ним общего языка. Но когда это удалось, наше сотрудничество было весьма плодотворным: я не давал ему особенно далеко улетать в облака, а он помогал мне видеть больше — под разными углами. Он словно тренировал мою способность отвечать на самые неудобные вопросы. Если я с Вами и спорю, то не потому, что пытаюсь «исправить», а чтобы Вы не теряли связи с землей: нестандартное и широкое мышление — это прекрасно, но не забывайте о критике.
На эту тему в исходной статье есть отдельный пункт.
Наверное, Вы правы, но, я думаю, и эти определения можно подать так, что они будут понятны ученикам, а можно подать и так, что будут непонятны. Если же не ставить перед собой задачу, чтобы ученики поняли, о чём идёт речь вообще, тогда, конечно, и проблемы нет.
Так и есть – мы говорим на разных языках. Надеюсь, что расстанемся без антипатии (у меня к Вам ее нет).
Всё же не могу промолчать: Вы напрасно недооцениваете силу определений. Не примите на свой счет, но когда я был молодым, мне многое казалось ненужным и тяжелым. А потом я понял красоту математической логики, и красоту определения. Без определения нет доказательства, нет рассуждения, как такового. И все, кто пытается Вас призвать к строгости, говорят лишь об этом: нужен строгий язык, не допускающий многозначности и люфта. Математика точна. Вы сказали, что детям будет непонятно определение того же деления, но ведь другого нет. Несвобода логических рассуждений, на самом деле, не враг, а друг. Ограничения, которые мы сами на себя налагаем, не мешают, а помогают. Мне кажется, что важнее всего научить детей этому.
Свет луны ночью едва заметен, хоть и позволяет видеть далеко, но неясно. А свет свечи, хоть и освещает один лишь стол, позволяет ясно видеть предметы на нем. Я предпочитаю свет свечи. А луну оставляю поэтам и гениям.
Ну так. Простите, если что не так. В конце концов, старика-то можно простить?
А у меня к Вам претензий нет. Спасибо за беседу.
«Без определения нет доказательства, нет рассуждения, как такового. И все, кто пытается Вас призвать к строгости, говорят лишь об этом: нужен строгий язык, не допускающий многозначности и люфта.»
А это В.И. Арнольд, самый цитируемый математик (Теория катастроф, 94 стр. издание 1990 г):К сожалению, бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для математиков, воспитанных на теории множеств. Пуанкаре сказал бы: «прямая делит плоскость на две полуплоскости» там, где современные математики пишут просто: «множество классов эквивалентности дополнения R2 \ R1 к прямой R1 на плоскости R2, определяемых следующим отношением эквивалентности: две точки А, В (извините, не могу вставить символ принадлежности множества) R2 \ R1 считаются эквивалентными, если соединяющий их отрезок АВ не пересекает прямую R1, состоит из двух элементов»
Там очень интересное продолжение на 95 стр., советую заглянуть.
Сомневаюсь, что здесь подходящее место для обсуждения написанного В.И.Арнольдом в конце жизни. Смею Вас заверить, что математики воспитанные на теории множеств точно также скажут «прямая делит плоскость на две полуплоскости». Более того, в подобных терминах, рисуя странные каракули на доске, они объясняют друг другу вещи, только для определения которых нужно прослушать семестровый спецкурс.
Математики достаточно обжигались на использовании не вполне формализованных понятий. Это легко приводит к неверным выводам, если выводы пытаются делать не гении уровня Эйлера, Римана или Пуанкаре. Достаточно вспомнить итальянскую школу алгебраической геометрии. История учит, что сначала нужно создать крепкий фундамент, а потом возводить на нём замки.
Вероятно, именно поэтому этих крепких фундаментов аж четыре штуки.
И из одного шара по-прежнему можно сделать два равных ему.
Мне кажется Вы не совсем правильно трактуете смысл парадокса Банаха-Тарского.
Всем людям понятно что такое площадь прямоугольника. Если подумать, то как считать площадь многоугольника тоже понятно. А что-такое площадь более сложной фигуры? Конечно мы хотим, чтобы свойство аддитивности площади сохранялось. Ну можно определить площадь как меру Жордана. В физическом смысле этого достаточно. Но математики могут придумать всякие корявые множества. Фракталы Мандельброта например. У некоторых из них меры Жордана нет. Однако можно ввести более сложное понятие — меру Лебега. И мы снова можем говорить об их площади. А если разрешить для определения фигур использовать аксиому выбора? Тогда появятся неизмеримые по Лебегу множества. Но оказывается понятие площади и на них можно распространить. А может и понятие объёма можно также расширить? А вот и не выйдет, поскольку есть пример Банаха-Тарского.
То есть этот парадокс ценен указанием границ применимости понятия объёма. Кроме того, ценен демонстрацией «небезобидности» добавления в аксиоматику аксиомы выбора. Ну и для того чтобы люди зря не ломали голову над доказательством неверной теоремы.
Тема более, чем подходящая, чтобы вспомнить именно Арнольда.
Замечу, что постановка вопроса «Был Арнольд прав или нет» вполне характерна именно для математического мышления, и полностью соответствует подходу самого Арнольда, который абсолютизировал вполне здравые в своей основе идеи и вывел их очень далеко из области применимости.
Извините, но в момент выхода «Теории катастроф» (1990г) Арнольд был в возрасте акме. И за плечами у него был огромный и сверхуспешный опыт преподавания детям.
Господин В.И. Арнольд преподавал «детям» исключительно в старших классах знаменитого уже тогда 18 интерната (ныне СУНЦ им. Колмогорова при МГУ им. Ломоносова). И оченнно непродолжительное время.
Давайте, А.И.(выпускник химфака упомянутого МГУ), будем точными, ладно?
Л.К.
Мне оба определения кажутся одинаково понятными. Хотя, разрешите вопрос: если множество R1 вычитается из R2, то как, в таком случае, можно говорить о пересечении прямой отрезком, если условие пересечения – наличие общей точки? Впрочем, это детский вопрос, и наверняка на него есть ответ в литературе. Если не сочтете нужным, можете не отвечать.
И, признаться, не понял: Вы со мной соприте, или согласны? Ну, не суть.
Просто речь не о Вас, а о несчастных детях.
« Ведь разделить a на b, значит найти такое число c, которое при умножении на b даст a.» — и Вы, как и многие математики, не понимаете, что это приговор.
Здесь я — на стороне господина Викт Семёнова: как Вы, А.И., определите арифметический квадратный корень из строго положительного действительного числа? Как? Геометрически? Как тогда с этим определением будете работать, сравнивать величины и т.п.?(ритор вопр).
Не следует увлекаться (Арнольдом В.И., Зельдовичем Я.Б. и вообще, кем бы то ни было из личностей)! Одна умная женщина, дважды нобелиат, кстати, учила, что факты — неизмеримо важней. (резонёрство и скукота! — но мы потерпим)
Л.К.
Да-да! Вы правы! В случае квадратного корня определение вполне удовлетворительное. Но не нужно стричь все под одну гребенку! Не нужно вносить ненужную сложность, тем более, что никакой ясности это не прибавляет, скорее наоборот — см. ту же 95 стр. из Теории катастроф. И не нужно говорить об Арнольде — «в конце жизни». Про него и в середине жизни так говорили. И где говорившие?
А о теории множеств повторяю — не может множество порождать единство. Её как начали латать с Б. Рассела, так до сих пор и латают. И ничего её не поможет.
Увы, Вы правы: я совершенно не понимаю, в чём трагедия взаимно однозначного преобразования трех чисел: если a / b = c, то cb = a. Тем более, что это определение пережило уже и комплексные числа, и матрицы, и даст Бог, переживет и все новые, еще не открытые типы чисел. Но не волнуйтесь за меня, когда предсказанный Вами рок меня настигнет, я умру достойно.
Трагедия в том, что это определение отключает мозги первоклассника, которому Вы предлагаете такое определение.
Так не хочется переходить на личности. Ну хорошо, у Вас что-то болит, и это как-то связано с классическим образованием. Это не осуждаемо. Но если уж Вы причисляете себя к думающим, то потратьте пожалуйста немного усилий, чтобы предложить лучший метод. Поверьте, Вас охотно выслушают, если Вы будете говорить.
А пока я отношусь к Вам и Вашим высказываниям с настороженностью: от них веет сектантством, что совершенно недопустимо при воспитании детей. Пусть Вы сто раз правы, но если Вы воспитаете из ребенка такого же сектанта-нигилиста, то каково ему будет жить? Я уверен, что Вам это не безразлично, потому и ставлю этот вопрос прямо: Вы возьмете на себя ответственность за ваше экспериментальное воспитание? Если нет, тогда о чём Вы вообще говорите?
Ну причем здесь «личности»? Ничего у меня не болит, для диссидента с молодых лет (в 24 года бросил свой комсомольский билет в партийные рожи) вполне нормальная судьба, да и дети и внучки на жизнь не жалуются (одна в США университет закончила, другая в позапрошлом году с отличием закончила лечебное отделение МГУ).
Дело не в «болит». Дело в том, что я вижу, что основания многих «естественных» наук построено на песке. И чтобы превзойти эти науки, нужно вывернуть мозги наизнанку. А очень хочется, чтобы основание было каменным.
Спасибо. Вот теперь, когда Вы высказались развернуто, Вас стало легче понять.
Пожалуй, я был резковат – каюсь. Теперь мне трудно будет убедить Вас, что я не злопыхатель, а в самом деле не согласен с Вами именно в самой сути.
Видите ли, я в молодости очень протестовал против слабости человеческого ума. Я воевал против эклектики, и даже геометрию считал «костылями для слабого разума». Но когда мне пришлось самому решать практические задачи, моя гордыня поубавилась. Я увидел, что геометрические формулировки, подчас, намного удобнее и нагляднее чистой алгебры, а диалектика, конечно, единственно верный путь познания, но как метод добывания знаний ее использовать нельзя.
К частностям. Вы говорите, что вместе с определением операции (пусть, операции деления) необходимо давать ученику и метод ее выполнения; я верно Вас понял? Но послушайте, определение одно, а методов может быть много. Да, конечно, один из них (взрослые должны решить, какой) нужно показать ребенку, чтобы математика, в самом деле, не была для него магией или алхимией. Но только показать – не требовать запоминания, а тем более, чтобы ученики сами этот метод выводили (как предлагают некоторые). Ведь в дальнейшем, ни мы, ни школьники не повторяем метод, а пользуемся операцией. Ваша мысль о фундаменте внешне хороша, но она тормозит развитие.
Пойдемте, я Вам кое-что покажу. На дворе – каменный век, и есть два племени: одно идет путем диалектики, и исследует камни, из которых сделаны топоры, во всей совокупности их взаимосвязей; другое племя пошло путем эклектики, и случайно открыло выплавку металлов. Второе племя не разбиралось ни в легировании, ни в структурной обработке своих металлов, но получило преимущество над первым в силу преимущества материала. Поэтому мы уже никогда не узнаем всей глубины мысли первого племени. Это к вопросу о том, что лучше.
Позвольте человеку (а тем более – ребенку) иметь свои слабости. Не нужно создавать сверхчеловека. Потому что «сверх» — это «вне», это уже не человек. Совершенствуя разум, не гипертрофируйте его: он должен быть в гармонии с любовью, с природой. Иначе Вы уничтожаете те самые взаимосвязи, и в корне меняете вообще всё, а не только разум человека, как хотелось.
Боюсь, Вы не согласны. К таким выводам человек может прийти только сам – убеждение бесполезно. Но я Вас прошу: дети пусть будут детьми, не надо с ними по-сверхчеловечески.
Если я неверно Вас понял и на этот раз, то просто черкните мне в ответе, что я – бестолочь, и притом неисправимая. С этим я не стану спорить.
Никакой трагедии, разумеется, нет, более того, необходимо, чтобы люди по мере сил осваивали такой подход, но ничто не мешает подводить детей к этому так, чтобы они поняли и оценили.
Если спросить у К. Поппера. то он, скорее, присоединится к Вашему оппоненту.
…Аргументы, что он пытается применить операцию деления там, где она не определена, на него не действовали.
Вы имели в виду математическую операцию, а он — реальный процесс деления яблока на части. Вы просто неправильно построили математическую модель процесса. Его деление и ваше — это не одно и то же…
Имхо, бессмысленный, «безымянный» (отсутствие имён кроме Колмогорова), абсолютно постный текст.
Потряс меня «описанный четырёхугольник» (четырёхзвенная замкнутая ломаная, все звенья которой касательны к общей окружности, так или нет?).
Имеется в виду четырёхкратное — для каждого из углов — применение факта равенства (длин) отрезков касательных от общей точки до соответственных точек касания. Плюс банальная алгебра.
Простите, уважаемый Александр Ханиевич, но чем, позвольте спросить, Вы в данном конкретном случае — лучше «популиста» Шаталина?! Вы же всё-таки, как никак, профи, а не, простите, по Константинову, — шкраб!
Жуткий текст в духе поздних текстов «по педагогике» покойного В.И. Арнольда.
Л.К.
Возможны две причины, по которым этот текст кажется Вам бессмысленным:
Вот, кстати, «аффторская об’ектиффка» типа:
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Шень,_Александр_Ханиевич
Л.К.
Полагаю, что основная проблема не в содержании курса математики, а в системе образования в целом. Обучение человека, не желающего учиться, невозможно. Возможна дрессировка или как теперь выражаются по отношению к детям «натаскивание».
Это две проблемы, и обе существуют.
О том, как распоясались члены организованной математической преступной группировки в школе, и о том, какой вред наносит эта группировка, смотрите тут:
https://www.youtube.com/watch?v=mq8Q1T8r1iQ&t=34s
Да, Колмогоров настолько ужасен, что преступен. Сравним два определения отрезка.
В учебнике, по которому училась моя мама (1940 г р)
Отрезок — это кусок прямой, отсеченной с двух сторон.
В учебнике Колмогорова, по которому учился я (1967 г р)
Отрезок — это точки А и B, лежащие на одной прямой и множество точек, лежащих между ними на этой же прямой.
Простите, но как после этого разумно ввести понятие проективной прямой (изолированной или погруженной в проективную плоскость), как? (ритор вопр)
Л.К.
Будущие учителя штудируют или же по мере сил пытаются штудировать эти важные понятия.
К.
« как после этого разумно ввести понятие проективной прямой (изолированной или погруженной в проективную плоскость), как?» А на фига?
Да вы сударь, заблуждаетесь, именно множества и матрицы сегодня правят балом. Я не знаю НИ ОДНОЙ области деятельности человека, где они не применяются!!! Дворник с метлой исчезающая профессия, даже в доме, где я живу начали применять механизированных уборщиков на базе минитрактора.
> Я не знаю ни одной области деятельности человека…
Простите, но с серьёзным посылом пишете, имхо, благоглупость. Ибо есть тьма достойных профессий, где не нужны даже зачатки математического знания, не то, что указанные Вами весьма сложные математические понятия.
Уж поверьте, ассенизаторы в больших городах совершенно не лишни, как и (просто) так наз «мусорщики» (без электронных и прочих типа искусств. интеллектоффских прибамбасов). Но вполне себе обходятся даже без знания школьной алгебры, не то, что матриц «из божественной головы (Сэра) Артура Кэли» и его приятеля Джеймса Джозефа Сильвестра, добавлю к Клейну (Феликсу). О матрицах и множествах надо поменьше болтать и поточнее их разумно применять.
Л.К.
Тогда все будут довольны, даже ассенизаторы (и водовозы).
К.
Книга ЯБЗ с Ягломом как и последующие с Мышкисом предназначены для физиков. Весьма ИМХО практически полезны.
Что касается школьной математики, то на меня в свое время сильное впечатление произвела книга Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей».
Покойный Исаак Моисеевич Яглом поправлял заголовок — «Элем матем — с высшей точки зрения», именно так, ибо таков смысл по-немецки.
Что касаемо «предварительно аналитической» книжки Зельдовича (с тем же из бр. Ягломов, Исааком и Анат Дм Мышкисом), то простите, чем же по-Вашему она так полезна? Ну оченно хотелось бы знать!
Л.К.
Когда долго не решаешь задачи по анализу или дифурам, то полезно сначала заглянуть туда, освежить память. А потом уже идешь дальше, хотя сейчас столько справочников, что ответ сразу находишь без необходимости решения. ))
Хоть вопрос и не ко мне, разрешите, я отвечу. Книжка ЯБ полезна тем, кто хочет сам по себе понять, что такое интегрирование и дифференцирование и научиться решать дифференциальные уравнения. Уровень строгости там вполне достаточный для человека, использующего математику в своих исследованиях, а не пытающегося определить границы (часто, весьма отдаленные) применимости полученных умений. То есть для использующих эти навыки там, где они заведомо применимы или где применимость определяется нематематически. Я понимаю, что слова «физический смысл» вызывают скрежет зубовный у математиков, но именно он определяет применимость используемых математических методов и моделей. Во избежание кривотолков, я должен написать, что мысли эти (не про книжку Зельдовича, а про все остальное) не мои. Я просто вольно пересказал Ландау.
«Я не знаю НИ ОДНОЙ области деятельности человека, где они (множества и матрицы) не применяются!!!» А я знаю:
Это я знаю точно, что не применяются, потому что все перечисленное я сам делал.
А как Вы думаете при проектировании, создании самолета, автомобиля, дома, компьютера тоже не нужно? Нужно. Стране нужны современная техника, современное оружие и т.д. Для создания всего этого нужна сложная математика и люди, которые ею владеют. А учить таких людей надо со школы, постепенно, пусть даже это будет один человек на класс, а остальные ничего не поймут или им это никогда в жизни не пригодится. То, что кому-то пригодится, покроет бесполезность остального.
Вы заблуждаетесь. Как заблуждался мольеровский персонаж, считавший, что он не говорит прозой.
Виталий, автопилот, как ты думаешь, что в основе его лежит, искусственный интеллект для управления автомобилем, самолетом без участия человека. Самолетом с обратной стреловидностью крыла человек вообще без ИИ управлять не в состоянии. Сложные вопросы обработки графики опять линейная алгебра, можно провести аналогию работы дворника с метлой и подобных работ, их можно не рассматривать, я же писал об этом. В строительстве давно используются расчеты с матрицами, но если вы копаетесь в детской песочнице, то там применение матриц не наблюдается. Почитайте про стадион к Олимпиаде 2008 года в Пекине, его приводят авторы по матричной алгебре в качестве классического примера. ЧИТАЙТЕ больше!!! Вы вообще читаете научную литературу, хотя бы научно-популярную, ее ведь для людей пишут.
Очевидно, что второй вариант понятнее. Первый вызывает множество вопросов. Кем отсечен, чем отсечен, одновременно или нет отсечен. Что остается от бывшей прямой и т.д.
Математика, как наука, разделилась на классическую и прикладную. Ярким примером явилась «Высшая математика для начинающих физиков и инженеров», написанная Я.Б. Зельдовичем и И.М.Ягломом 1982г. Прикладную математику можно изучать, а классическая — это удел избранных. Для ее изучения надо родиться математиком.
Простите, Вы всерьёз думаете, что можно чему-либо путному научиться по обработанной И.М. Ягломом совершенно дикой первоначально книге Якова Бор Зельдовича?
Вы книгу КР — Куранта и Роббинса «Что такое математика» держали в руках? Книгу Зельдовича — сравнивали с КР по качеству изложения и подаче материала?
Книга Зельдовича хороша для одного-единственного читателя, а именно — для самого, увы, покойного Я.Б. Зельдовича, замечательного в основном технического, а не теоретического, как его представляет упорная пропаганда, физика. И никакого напрочь математика (ни одной важной теоремы! — Л.К.).
Л.К.
Для 99% математика как наука не нужна вообще. Ни классическая, ни прикладная. Точно так же, как не нужна лингвистика. А нужны только наборы достаточно простых правил. Как писать, говорить, как считать.
Математика, прежде всего, воспитывает логику, привычку к аналитическому анализу и количественным оценкам. Математика — основной язык физики и всего естествознания. В этом качестве она нужна всем, желающим не быть дикарями.
Это обычные физмат фанаберии. Извините, уже лет 30 не обсуждаю подобные темы.
Примерно лет 30 и идёт ползучая кастрация физмат как из среднего, так и высшего образования. Так что значительная часть электората ни дробей сложить, ни процента сосчитать не может. Таких, естественно, дурачить проще. Однако все это до поры и времени. Потом будет бунт, а у дикарей он всегда бессмысленный и беспощадный.
Ответ, достойный заместителя директора по науке и члена корреспондента.
Однако среди математиков встречаются дикари. совершенно не знающие и не понимающие физики. Сам встречал таких. Поэтому можно быть и совершенно диким математиком :)
Физика — это следующий уровень: математика в действии и дальнейшее развитие. Физика и Математика — две стороны одной медали — Истина.
Н.Ф.! Насколько мне помнится, на 3 Конгрессе (какой нам предстоит по счёту? — Л.К. — хотелось бы уточнить!), так вот, там Гильберт писал / говорил об игре между мышлением и опытом в самой математике (простите, для меня — обычная, хоть временами и достаточно творческая, но — работа! — Л.К.). Я не касаюсь гносеологических вопросов и мыслю чисто утилитарно. Но Гильберт, вне «гипноза имён» и прочей дешёвой аффторитарности, всё же, имхо, был чуть более точен. Цитировал / пересказывал его — по памяти очень рано утром, Марина спала, не хотел брать второй коричневый том (прошу прощения за подробности, это — просьба к уточнению! — Л.К.).
Л.К.
Так математика и есть набор правил. Правил обращения с выдуманными объектами.
Зельдович написал и выпустил эту книжку гораздо раньше, один, сам по себе. Я ее читал взахлеб году этак в 1966, когда учился в школе. Называлась она Высшая математика для начинающих. Начинающим был я. Потом, уже в Москве, я узнал, что Я Б написал эту книгу для своего сына.
Вы задели меня за живое. Я филолог, гуманитарий по типу мышления и никогда не любила и не знала математику. Но, как человек старательный и добросовестный, очень переживала из-за того, что оценки мне ставят, закрыв глаза, оправдывая это успехами по остальным предметам. Я сразу Вам скажу, что просто никогда не учила ничего, не знала ни одной формулы, писала наудачу, чтобы сразу забыть. Почему? Во-первых, у нас в 70-х были ужасные учебники, написанные таким языком, который требовал перевода на обычный русский. Это говорила не только я, наша учительница подняла вопрос в классе о качестве учебника, и выяснилось, что никто им не пользуется, учили только по её лекциям.Кроме того, одних детей, которые уже имели репутацию математиков, тянули отдельно, оставляли после уроков. Нужны общедоступные, легко написанные учебники.
Да, Колмогоров настолько ужасен, что преступен. Сравним два определения отрезка.
В учебнике, по которому училась моя мама (1940 г р)
Отрезок — это кусок прямой, отсеченной с двух сторон.
В учебнике Колмогорова, по которому учился я (1967 г р)
Отрезок — это точки А и B, лежащие на одной прямой и множество точек, лежащих между ними на этой же прямой.
Про возможность общепонятного изложения арифметики и евклидовой геометрии мне трудно судить, поскольку я этого никогда не преподавал. Другое дело математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисление), который является языком классической физики и основой для создания разнообразной техники. Математический анализ был в основном создан Ньютоном, Лейбницем и другими математиками XVII-XVIII веков (впоследствии, благодаря обнаружению новых древних текстов стало известно, что в общих чертах матанализ понимал уже Архимед). До начала технической революции отсутствие общепонятных способов изложения матанализа не было проблемой. Но с конца XIX века стало необходимо обучать матанализу тысячи (а теперь миллионы) инженеров. За последние сто лет написаны тысячи учебников, использующие самые разные подходы к изложению предмета. Но до сих пор не существует «общепонятного» учебника, который можно без напряжения читать и понимать при первом знакомстве с этим предметом. Увы. Более того, даже «общепонятного» математического определения вещественного числа до сих пор не придумали. Так обычно и говорят студентам: что такое вещественные числа вы со школы как-то понимаете, вот и хорошо, перейдём к пределам.
P.S. Не бывает нормальных людей неспособных изучить математику как минимум в рамках минимального институтского курса. Просто некоторым нужно больше желания и больше усилий. Я после школы знал штук 50 английских слов, а теперь приходится писать в основном на этом языке и не оправдаешься отсутствием «гуманитарного типа мышления».
Сочувствую. У меня тоже были проблемы с Историей КПСС и с Научным коммунизмом.