Сеятель знанья на ниву народную!
Почву ты, что ли, находишь бесплодную,
Худы ль твои семена?
Робок ли сердцем ты? слаб ли ты силами?
Труд награждается всходами хилыми,
Доброго мало зерна!
Н. А. Некрасов
Математика — один из самых объемных школьных предметов (по общему числу часов). Экзамен по математике требуется для самых разных вузов, курсы математики в вузах обязательны для студентов многих специальностей и т. д. Но и преподаватели, и учащиеся жалуются, что большая часть их труда уходит впустую — и это во многих странах. Едва ли не большинство вспоминает об уроках математики как о соединении неприятного с бесполезным. Почему так получается, несмотря на многочисленные попытки улучшить ситуацию (или по крайней мере что-то реформировать)?
Иногда это объясняют «бесплодной почвой» — мол, когда математику изучали избранные, дело шло неплохо, а когда началось всеобщее (и весьма) среднее образование, тут-то всё и рухнуло, потому что способности к изучению математики встречаются редко. Конечно, доля истины в этом есть — способности разных людей могут отличаться очень сильно. Но, скажем, отбор в гимназиях был не только и не столько по математическим способностям, сколько по социальным факторам — и далеко не все выпускники гимназий успешно и с удовольствием изучали математику1.
При этом школьный курс математики, в общем-то, довольно прост. Много лет назад, едучи в метро, я увидел школьника, причем скорее гопника, чем ботаника (как теперь говорят), который вертел в руках модный тогда кубик Рубика — и быстро и ловко его собрал. Между тем алгоритм сборки заведомо сложнее и с точки зрения геометрического воображения, и по объему комбинаторной информации, которую надо запомнить, чем большинство школьных тем2. Почему же в школе математика идет так плохо? Да и не только в школе — придя на случайно выбранное занятие по математике в вузе, легко в этом убедиться. Я попытаюсь указать некоторые возможные причины (по своему личному опыту и впечатлениям3) — не настаивая на них и не претендуя на новизну. При этом я заранее оставляю в стороне общественные проблемы (статус учителей, их подготовку, условия работы и т. п.), а говорю только о внутрипрофеcсиональных ошибках.
• Построение курса. Готовая математическая теория строится (излагается) как здание: каждый следующий результат опирается на предыдущие и служит надежной основой для последующих. Возникает иллюзия, что можно так и преподавать: изложить что-то, проверить, что это усвоено, и затем на это опираться. Хотя на самом деле обучение и изучение скорее напоминает перекрытие реки: первые брошенные камни уходят без следа под воду, а часть из них уносится потоком, но постепенно русло заполняется и наконец возникает (должна возникать) плотина, надежно удерживающая воду.
• Учебные программы. Часто начинают с обсуждения «программы» курса математики4. Это хорошо согласуется с идеей построения математического знания начиная с фундамента. Потом, «утвердив» такую программу, пишут учебники. Потом их «внедряют» — при этом выясняется, что школьники мало что понимают, и начинается процесс упрощения и вырождения учебников при сохранении декларированной программы5. В программах при этом остаются формулировки вроде «Понятие о…», а в учебниках — вроде «Доказательство (не для запоминания)». Что уже совсем нелепо: если и можно строить дом на фундаменте, то на «понятии о фундаменте» точно нельзя.
Составив программу (в школе или вузе), начинают по ней преподавать в соответствии с «учебным планом». При этом преподаватели обнаруживают (или не обнаруживают — так тоже бывает), что школьники или студенты ничего не понимают, отчасти потому, что не разобрались в предыдущих курсах, отчасти потому, что слишком быстро. Но план уже утвержден — и водитель локомотива, под присмотром диспетчера, старается соблюдать расписание, хотя вагоны давно отцепились.
• При составлении программы часто стараются прийти кратчайшим путем к тому, что должно в нее войти. Зачем элементарная геометрия, если (как писал Дьёдонне) можно с помощью нескольких строк векторной алгебры доказать то, для чего раньше нужны были леса из треугольников? Но смысл обучения математике не в том, чтобы проговорить доказательство каких-то признанных необходимыми фактов, а в том, чтобы научить рассуждать (решать задачи — в том числе и сложные для решающего). Поход может быть трудным с непривычки, но какой смысл ехать вместо этого на такси от старта до финиша? Может быть, это имел в виду Евклид (и не понял Дьёдонне), когда (согласно легенде) говорил, что «в математике нет царского пути».
• Для успешного преподавания нужно, чтобы изучаемое было понятным, посильным и интересным. Математические доказательства должны восприниматься как убедительные рассуждения о чем-то реальном, а не как произвольный материал для заучивания. Решение задач — как выяснение истины, а не загадочные действия по образцу. Когда-то, будучи в гостях у своего товарища в Англии, я спросил его сына, что они проходят в школе. «Сложение и вычитание». — «А знаешь, сколько будет 100 минус 1?» Вопрос этот оказался трудным, и я решил спросить иначе: «Сколько будет сдачи, если платить фунт, а товар стоит пенс?» — «99 пенсов, но при чем тут это?» — был немедленный ответ.
И. М. Гельфанд любил рассказывать, как работяги в вечерней школе, не умевшие сравнить 2/3 и 1/2, ни секунды не колебались в ответе на вопрос «Что лучше: две бутылки на троих или одна на двоих?». Впрочем, когда мой коллега по моей просьбе задал подобный вопрос своим детям (видимо, не имевшим достаточного опыта), только один из троих ответил правильно. (Интересно, что одна из ответивших сказала, что «для этого надо сравнить по величине дроби», но не смогла этого правильно сделать.)
Не смог сейчас найти, в какой книге я это читал, но помню примерно такую историю. Рассказчик вспоминает, как в школе учитель добивался ответа от его соученика, задавая всё более простые вопросы, и наконец спросил: куда покатится шар, если положить его на наклонную плоскость — вверх или вниз? Растерянный ученик сказал, что вверх, — и учитель дал волю гневу. Когда всё утихло, рассказчик спросил товарища удивленно: «Зачем ты так, неужели ты не знаешь, куда покатится шар?» — «Настоящий шар, конечно, вниз — но кто его знает, как там у вас…»
Преподаватели возмущаются, когда на вопрос об определении модуля школьники отвечают «число без знака». Но уж лучше пусть они так отвечают, чем заучивают определение из учебника (|a| равно a при a ≥ 0 и –a при a < 0), а потом не могут ответить на вопрос «Чему равно | —a | при a < 0 — числу a или числу —a?».
В свое время этот вопрос был в заданиях ВЗМШ (Всесоюзной заочной математической школы, организованной по инициативе И. М. Гельфанда), и было много неверных ответов. Там же было замечено, что школьник может более или менее уверенно решать уравнения, но затрудниться в ответе на вопрос о том, какое число заменено звездочкой в уравнении x3 + *|x| — 5 = 0, если x = 1 является его корнем.
Давным-давно, на студенческих каникулах, я разговаривал с какими-то далекими от математики студентами (чуть ли не военного вуза). Они спрашивали, к чему вообще математика — и были озадачены, когда выяснилось, что я могу регулярно у них выигрывать в игру «ним».
Сложный для изучения материал приходится упрощать. Как писал Н. Г. Чернышевский, «Наука сурова и незаманчива в своем настоящем виде; она не привлечет толпы. Наука требует от своих адептов очень много приготовительных познаний и, что еще реже встречается в большинстве — привычки к серьезному мышлению. Поэтому, чтоб проникнуть в массу, наука должна сложить с себя форму науки. Ее крепкое зерно должно быть перемолото в муку и разведено водою для того, чтоб стать пищею вкусною и удобоваримою»6. Но что будет, если приготовленное по рецепту Чернышевского пойло (может, и удобоваримое, но всё же едва ли вкусное) впихивать годами?
• Плохое «локальное качество» учебников. Помню, как в начале перестройки телевидение передавало выступление учителя математики Виктора Фёдоровича Шаталова — при полном восторженном зале. Среди прочего он рассказал придуманное им доказательство теоремы о равенстве сумм противоположных сторон в описанном четырехугольнике. Состояло оно в том, что на рисунке он пометил четыре пары равных отрезков буквами (кажется, они образовывали какое-то слово7) и торжествующе сказал: «Видите, противоположные стороны вместе дают эти четыре буквы!» — сорвав аплодисменты. Я удивился: разве не ровно это написано в учебнике? Оказалось, что нет — там были равенства отрезков, обозначенных своими концами, и чтобы понять, о чем речь, надо было переводить взгляд с рисунка на текст и обратно несколько раз.
Когда я был школьником 7-го класса математической школы (№ 2), на нас решили попробовать (тогда экспериментальный) учебник геометрии Колмогорова с соавторами, и одно обсуждение я запомнил. Там было определение луча AB как множества точек, лежащих по ту же сторону от A, что и B, а после этого давалась задача: сколько лучей возникает, если на прямой есть три точки A, B, С? После этого начался спор с участием школьников и нашей замечательной учительницы, Галины Алексеевны Чувахиной (Биллим). Одни говорили, что лучей шесть — каждая точка дает два луча. Другие возражали: в определении говорится о «луче AB» — но два из шести лучей нельзя так назвать (нет второй точки), остаются только четыре. И все так и остались в некотором замешательстве (едва ли предусмотренном авторами учебника), а через некоторое время эксперимент свернули.
Конечно, хорошо, когда учебники пишут профессиональные математики, там будет меньше ляпов (хотя всякое бывает, особенно когда их начинают дорабатывать «практики»). Но если эти математики не имеют многолетнего опыта преподавания, причем не в специальных математических классах, а в «массовой школе» (а так практически всегда и бывает), то у них могут быть самые неожиданные идеи о том, что и как можно объяснить школьникам (ср. определение вектора по Колмогорову как геометрического преобразования) и какой текст школьники и учителя смогут понять, а какой — нет.
• Наука «педагогика» с разговорами о «навыках» и «компетенциях». Думаю, что каждый, кто заполнял всякие таблицы с указанием, какие компетенции вырабатывает такой-то раздел курса, или какие компетенции проверяет такая-то задача, понимают, о каком бреде идет речь. Циничная поговорка «кто умеет — делает, кто не умеет — учит, как делать» часто дополняется: «…а кто и этого не умеет — идет в методисты и учит, как учить»8. Один из (лучших, на мой взгляд) московских учителей математики рассказывал, как к нему на урок пришел проверяющий «методист» и остался недоволен: дескать, «урок не обучающий» (что бы это ни значило).
• Существующая ситуация часто оказывается плохим для всех, но устойчивым равновесием. Преподаватели заинтересованы, чтобы на их занятия ходили, слушали и это бы помогало сдать экзамен. Студенты заинтересованы, чтобы можно было, проявив некоторую усидчивость, подготовиться к экзамену и получить хорошую оценку. Поэтому на экзамене даются задачи заранее известных типов, а на занятиях разбираются образцы решений задач, похожих на экзаменационные — несмотря на бессмысленность этой ситуации для всех участников, никто не заинтересован от нее отклоняться. Это видно и на уровне ЕГЭ, где каждый год даются задачи одних и тех же пронумерованных типов, и выпускаются пособия, так и называющиеся: «Как решать задачу номер 14».
В свое время аналогичный эффект проявлялся во «вступительной математике» — вспомним все эти «алгебраические, тригонометрические и показательные уравнения и неравенства», которые были на всех вступительных экзаменах и составляли предмет постоянной дрессировки как в школе, так и у репетиторов. При этом наиболее квалифицированные репетиторы могли за сравнительно небольшое время (и за немалые деньги) сильно помочь абитуриенту повысить шансы сдать экзамен в какой-нибудь не очень сложный вуз (сдать, так и не узнав, что означает эта странная буква «x» в «решаемых» им уравнениях). Было даже специальное учение об «ОДЗ», открывавшее ритуал решения уравнения («область допустимых значений»).
Этот эффект не ограничивается школьными задачами и плохими преподавателями. На мехмате упражнения по дифференциальным уравнениям у нас в группе вел замечательный математик, но они, как и во всех других группах, состояли в решении уравнений разных типов: на одном занятии — с разделяющимися переменными, на другом — еще какие-то и т. п. Наконец, пришло время контрольной. Преподаватель сказал, что на ней будут уравнения таких-то и таких-то типов, и я в ужасе спросил: «Но хоть скажут, какого типа какое?» — и только после этого понял, как глупо выгляжу.
• Органы управления образованием. Желая как-то контролировать подведомственные школы, они заинтересованы в показателях успешности преподавания. Часто говорят, что эти показатели (тот же ОГЭ/ЕГЭ) показывают не то, что надо, но проблема более серьезная и редко отмечаемая. Почти любой (минимально разумный) тест (контрольная работа) будет сильно коррелировать с реальными успехами школьников, если вопросы для них неожиданные. Но когда заранее известный тест используют как критерий успешности школы и школьника, оптимальная стратегия подготовки к нему будет далека от осмысленного обучения (см. выше о репетиторах).
• Идея «математики для пользователей». Большая часть изучающих математику в будущем не будут математиками, и у них нет ни времени, ни желания, ни сил, ни (часто) способностей, чтобы изучать математику долго и тщательно. Поэтому (говорят многие) нужно научить их «применять математику», оставив подробности (точные определения, доказательства и т. п.) для более профессиональной подготовки. Возьмем курс математики для математиков, выбросим из него доказательства и определения и научим оставшимся рецептам. Примерно так и выглядит курс высшей математики «для ВТУЗов» (или undergraduate calculus в английском варианте). Между тем это нелепо как раз с точки зрения будущего использования: трудно себе представить, чтобы будущему программисту или финансовому аналитику пришлось искать предел по правилу Лопиталя (а как раз умение понимать математический язык и проводить рассуждения корректно могло бы и пригодиться).
Александр Шень, математик, ст. науч. сотр. Института проблем передачи
информации РАН (Москва), науч. сотр. LIRMM CNRS (Франция, Монпелье)
1 Лев Толстой вспоминает в автобиографической повести «Юность»: «На экзамен математики я пришел раньше обыкновенного. Я знал предмет порядочно, но было два вопроса из алгебры, которые я как-то утаил от учителя и которые мне были совершенно неизвестны. Это были, как теперь помню: теории сочетаний и бином Ньютона». Дальше он рассказывает, что один из вопросов (бином Ньютона) ему успел рассказать знакомый, который хорошо разбирался в математике, но ему попался второй («О ужас! это была теория сочетаний!»), и он чудом спасся от позора и отлично сдал экзамен, поменявшись билетом с товарищем по несчастью, у которого как раз был бином Ньютона. Остается гадать, что понял Толстой в биноме Ньютона, если сочетания вызывали у него ужас.
2 Ср. высказывание Колмогорова: «Надо думать, что даже у совсем хороших математиков сложность системы знакомого им родного языка превосходит и по сложности строения, и по объему всё, что они усваивают как математики» (письмо В. А. Успенскому, 5 марта 1962 года, приведенное в: Успенский В. А. Колмогоров как центр моего мира. Труды по нематематике, том 5, М., 2018, с. 100. Другое высказывание Колмогорова (доклад «Автоматы и жизнь» // Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. Библиотечка «Квант», вып. 88, с. 52–53): «Слаломист, преодолевая дистанцию, в течение десяти секунд воспринимает и перерабатывает значительно большую информацию, чем при других, казалось бы, более интеллектуальных видах деятельности, во всяком случае больше, чем математик пропускает через свою голову за сорок секунд напряженной работы мысли».
3 Заранее прошу прощения, если я что-то запомнил неправильно: я старался ничего не придумывать, рассказывая разные байки, но мог перепутать.
4 При этом приводятся аргументы «нельзя же не знать, что…». То обстоятельство, что это всё равно мало кто знает, хотя это и есть в программе, деликатно обходится.
5 Учебник геометрии А. В. Погорелова начинался как две небольшие брошюры, в которых автор старался, и довольно остроумно, предложить способ построения геометрии, который мог бы восприниматься и на уровне первого знакомства, и как (почти) строгое изложение для знатоков. В массовом учебнике от этого остались какие-то странные развалины. См. Погорелов А. В. Элементарная геометрия. Планиметрия. М.: Наука, 1969; Стереометрия. М.: Наука, 1970. Учебник геометрии вышел в 1982 году (еще как «учебное пособие») и переиздавался несколько десятилетий, с постоянными изменениями, в том числе и после смерти автора — при этом из выходных данных нельзя понять, кто эти изменения вносил.
6 Чернышевский Н. Г. О поэзии. Сочинение Аристотеля. Перевел, изложил и объяснил Б. Ордынский. Собрание сочинений в 15 томах, том 2. Гослитиздат, 1949, с. 273.
7 Сейчас проверил: в Интернете есть эта передача, youtu.be/aQj4eBlcGtg?t=2451, и образованное четырьмя буквами слово — ВЕРА.
8 Или, хуже того, идет в органы управления образованием и проверяет заполнение всех этих бумаг.
Насчет французского образования — пример из жизни. Я в одном из московских университетов преподаю математику на английском языке. Однажды мне дали группу французских студентов (из Руанского университета), которые почему-то захотели пройти курс математического анализа. Я сразу обнаружил, что это невозможно — не потому, что студенты какие-то дефективные, а потому, что у них полностью отсутствуют знания школьной математики. Никаких функций (даже линейной и квадратичной), координатной плоскости — ничего. Я был потрясен, когда обнаружил, что они не умеют выполнять простейшие операции с дробями, например, сложить 1/2 и 2/3.
Я спрашивал их, чему их учили в школе. Оказалось, что в наше время там довольно рано (кажется, когда им лет 12), происходит дифференциация — определяют, кто собирается быть ученым или инженером, а кто гуманитарием. После этого гуманитариев математике не учат совсем. Мои студенты были как раз такими «гуманитариями», но почему-то их приняли на экономический факультет рейтингового университета.
История с теми французами окончилась тем, что я отказался вести у них матанализ и, по предложению деканата, вел некий компенсационный курс, призванный восполнить зияющие пробелы за школу.
По моему опыту, лучшие студенты среди европейцев — немцы, среди азиатов — сингапурские китайцы и вьетнамцы. Остальные не выдерживают никакого сравнения. Нетрудно догадаться, кому будет принадлежать будущее.
Простите и позвольте полюбопытствовать, какое отношение Ваши обширные международные связи (и, надеюсь, такой же опыт преподаванмя классического инфинитезимального анализа), какое отношение они, эти связи, имеют к обсуждаемой теме?
Есть такая странная ипостась, «математическое» высокомерие — разновидность общечеловеческого. Насколько помнится, в одном из писем его обсуждал Нильс Хенрик Абель, выдающийся Мастер, в отношении вполне себе приличного математика Мартина Ома (брата известного физика). Ничто не ново…
Л.К.
В Константиновской Системе довелось ли Вам преподавать (ныне 57 и, особенно, где на четверть ставки сам Н.Н., 179, не знаю, жива ли 91 «лысовская» — моск.ФМШ) осн. вопрос «философии преподавания анализа»)?
К.
Наша школьная учительница физики все разделы математики, не нашедшие своего применения для решения физических, технических и экономических задач, называла ментальной мастурбацией. Как вы думаете, она была права или ошибалась?
А Вы можете перечислить такие разделы?
Поскольку никто, кроме математиков, не может понять, чем занимаются математики, соответственно, их никто не в состоянии проконтролировать, то можно предполагать, что они временами занимаются чем-то, что может быть интересно только математикам.
Я не испытываю особых проблем с пониманием того, чем занимаются математики, мне трудно понять зачем они этим занимаются.
Чтобы Ваше замечание имело смысл в качестве ответа на моё, необходимо уточнить, математик Вы или нет.
Я не могу ответить однозначно. Проще всего вам посмотреть мою страничку в Гугл Скулар и самому определить.
Раз неоднозначно, значит, не является однозначным контрпримером к моему утверждению:)
Ну, во-первых, вы явно не умеете пользоваться Гугл Скуларом, а во-вторых: ну и что?
Во-первых, вообще не знаю, что это, а во-вторых: абсолютно ничего. Поэтому там и стоит смайлик.
Ну, кто же решится спорить с дамами о таких интимных вещах…
И очень хорошо, что преподавание математики так неэффективно. Математическим бандитам (школьным учителям) не удается набить головы учеников этой фигней.
Замечу на всякий случай, в разрезе того, надо ли вообще учить кого-то математике, что с человеком, не владеющим навыком математического мышления, невозможно обсуждать сколько-нибудь сложный вопрос, ибо он не в состоянии следовать логике обсуждения. Впрочем, с математиком также невозможно обсуждать что-либо, выходящее за рамки математики, ибо математик способен принять за аксиому всё, что угодно, и обычно исходит из набора произвольных аксиом, взятых непосредственно с потолка.
https://www.youtube.com/watch?v=gpXJgxyxHw4
))
Вы так понятно пишете,что даже не математик поймет,вот бы такими же были наши учебники,а то готовиться по ним с ребенком невозможно.Кстати, в старых учебниках алгебры за 9-ый класс я самостоятельно прочла и поняла как раз бином Ньютона.А вообще в математике я слабо разбираюсь,учитель ставил 4,а заслуживала 3,хотя многое из ЕГЭ могу решить,а школу закончила40 лет назад
Мне кажется изучение предмета «математика» в школе имеет как минимум три цели.
1.Развить логическое мышление.
2.Изучить материал, который является базой для дальнейшего технического (а также естественнонаучного, экономического и т.д.) образования.
3.Приучить к производственной дисциплине, то есть к аккуратному выполнению рутинных операций в заданном порядке (офисная деятельность, эксплуатация сложного оборудования и т.п.)
С последней задачей массовое школьное образование как-то справляется. Возможно с точки зрения чиновников она и есть самая важная.
Цели 1 и 3 можно достичь при изучении многих других предметов.
Безусловно. Просто так исторически сложилось. Евклидова геометрия использовалась для развития логического мышления с незапамятных времён. А п.3 отошёл к математике в советское время. Вероятно до революции с подобной целью зубрили латынь.
Да и сейчас очень многие справляются без помощи математики. И с логикой все у них в порядке, и с производственной дисциплиной. Аккурат именно физмат понты показывают скудоумие их авторов.
Это иллюзия.
Вы вероятно сердиты на математиков по образованию, которые плохо разбираясь в предметной области и применяя неадекватные математические, модели делают выводы «вселенского масштаба и вселенской же глупости»? Само по себе умение решать диффуры не гарантирует большого ума, как и, например, владение иностранными языками. Но это вещи полезные, в совокупности с другими знаниями особенно.
Да нет, речь совсем не о математиках. Кто ж будет спорить о пользе математики и математиков???? Речь о том, как и чему учить тех, кто математиком никогда не будет, и даже пользоваться дифурами и интегралами не будет. А этот 99%.
Смотрите, дискуссия об общем преподавании математики все время норовит свернуть на математиков и вопросы их подготовки. Именно в этом ограниченность взглядов специалистов, которым трудно выйти за рамки своих узких компетенций и потребностей.
Мне тут повезло. Хотя я получил классическое физмат образование, в дальнейшем работал в биомед отрасли, где совсем другое восприятие математики. Несколько расширяет кругозор. И позволяет прикинуть насколько иной взгляд и потребность у остального общества, не занимающегося естественными науками.
Из-за расширения сферы IT я бы сократил процент граждан, которым не понадобится математика за рамками арифметики, до 90%. Здесь конечно возникает вопрос: какая математика нужна айтишникам? Но я хотел обратить внимание на другое.
Что должна давать школа: полезные навыки или расширение кругозора? Если главное — это полезные навыки, то вместо литературы нужно изучать заполнение бланков заявлений, вместо истории — гражданское и имущественное право, вместо биологии и химии — маркировку продуктов питания.
И это правильно!
Счет, письмо и псалтырь!
Кажется, кто то уже все это предлагал…
«Что должна давать школа: полезные навыки или расширение кругозора?»
Понятно, что нужен некий баланс. Я бы сказал так: базовые полезные навыки должны получить ВСЕ. Это аккурат прямая обязанность всеобщего уровня образования. А вот кругозор и науки — тут каждому по способности и склонности.
Но я даже о другом. Вбивая математику в будущих гуманитариев, поваров, водителей и пр., мы не даем ни того, ни другого. Они получают только одно — стойкое отвращение к науке. И глубокое недоверие к системе, которая их грузит, не давая практических полезных навыков.
ИМХО, начинать надо с очевидно полезных навыков. Помимо непосредственной пользы, это способствует появлению доверия к системе. Некий фидбэк всегда стимулирует к дальнейшим усилиям.
Я не знаю как учат математике в современной школе, но явно как-то не так. Современные первокурсники ММФ НГУ в среднем знают школьную математику существенно хуже своих ровесников 20 лет назад. Удивительно, но немалая их часть не способна отличать доказательства от произвольных рассуждений на тему. Что понимают под словом «математика» те кто не подаёт документы на мехмат, для меня вообще загадка. Есть подозрение, что многих учат не математике, а выполнению рутинных алгоритмов, а это у кого-угодно вызывает отторжение.
По программе их надо учить математике. В реальности их можно было бы научить простым практическим навыкам. Но в силу существующих правил всех стараются протащить через ЕГЭ. Результат понятен…
Если главное — это полезные навыки, то вместо литературы нужно изучать заполнение бланков заявлений, вместо истории — гражданское и имущественное право, вместо биологии и химии — маркировку продуктов питания.
Так это прекрасно может делать смартфон, а что останется делать человеку. Одна математика погоды не делает, но ее применение в смежных областях позволяет решать огромное множество задач из большинства областей деятельности человека. Правда не всем нравится то, что машина может делать это лучше, но давайте исходить из того, что пока человек учит машину чаще.
«Но это вещи полезные, в совокупности с другими знаниями особенно.» Кака образом полезны диффуры?
Забыли еще одну цель : обеспечить учителей математики зарплатой и денежками за репетиторство :)
«2.Изучить материал, который является базой для дальнейшего технического (а также естественнонаучного, экономического и т.д.) образования.»
Прямая ложь. 80% школьной математики не является базой для дальнейшего технического (а также естественнонаучного, экономического и т.д.) образования.
Блестяще
Важно для массового преподавания математики:
1) Традиция в рамках которой оно ведется (понятные программы и учебники, много понятных задач разной трудности — особенно важно!, подготовленные учителя)
2) Уважение к системе образования
Все это уничтожается при любой реформе содержания (в том числе было уничтожено при Колмогоровской). В частности, появились учебники на непонятном языке, уволилисть многие учителя умевшие объяснять что-нибудь понятно и т.п.). Все это наложилиось на несвоевременные организационные реформы (обязательная десятилетка), что не добавило счастья. Как и всегда в реформе активно участвовали прихлебатели (разного уровня — в том числе и не без таланта), результаты были катастрофические…
Извините за тон. Некоторое оправдание — более 40 лет проработал в школе, более 20 в педагогическом вузе… Мне повезло — я прочувствовал новые учебники на своей шкуре (как ученик и как учитель, как методист и преподаватель вуза. Общался с участниками событий…
Сейчас ситуации еще хуже — реформы организуют переводчики с плохого английского…
Можно ещё так сказать. Математика является наукой о мире, в котором мы живём, а именно, о некотором классе причин, по которым происходят разнообразные явления, а именно, о причинах, не зависящих от того, с чем именно эти явления происходят. Например, причина менделевского расщепления — чисто математическая, и не зависит от того, что именно расщепляется, горох, дрозофиллы или алеуты. И так далее. Нужны ли людям знания о мире, в котором они живут, каждый имеет право иметь собственное мнение.
Чистая математика ИМХО вообще не наука, это скорее искусство. Но есть её приложения в естествознании, которые, кстати, все больше и больше становятся численными и всепроникающими. Т.е. численная математика из-за информатизации общества проникает туда, где её никогда не было. Страшно подумать, даже в гуманитарные науки проникает. Просто экспонента какая-то ))
Ваши замечания, сами по себе безусловно верные, никак не связаны с тем, что я написал.
Впрочем, я вижу, что выразился плохо. В последней фразе я имел в виду всех людей и всеобщее образование.
https://youtu.be/t1vk704Mw3c
Л.К.
Согласен.
К.
Нет. Наукой о мире является физика.
Наука о мире — это скорее география или политология.
На всякий случай уточню, если я не отвечаю на какой-то комментарий, это не обязательно означает, что я с ним согласен или что мне нечего возразить; это может также означать: «Думайте, что хотите».
Математика не сводится к некоторой таблице правили формул .
Математика, при правильном изложении, показывает естественность своих правил. Она их НАХОДИТ и ВЫВОДИТ из априорных форм мышления генетически присущих человеку. Математика приучает людей к логической дисциплине и возможности самостоятельно получать результаты, хотя бы в принципе. Она не даром издревле считалась Царицей Наук.
Помимо того, что она является универсальным языком, правила которого в отличие от естественных языком, являются общими, математику так же можно рассматривать как высшую форму логического искусства, произведения которого получаются в строгом соответствии с законами логики.
Математика — простейшая и естественная среда, в которой живет и функционирует логика и мышление. Она дарит людям интеллектуальную честность, свободу и эстетику.
«Она их НАХОДИТ и ВЫВОДИТ из априорных форм мышления генетически присущих человеку» — увы! — если бы у человека было что-то «априорное», то аборигенов Австралии не нужно было бы учить счету — до прихода европейцев они умели считать только до двух.
Нет человека, который был бы как Остров, сам по себе, каждый человек есть часть Материка, часть Суши; — все мы со всеми своими потрохами — плод нашей культуры
Слово априорное не нужно воспринимать через чур буквально.
Естественно что это априорное включается и начинает работать при наличии соответствующей культуры и исторического опыта. Более того, априорное на самом деле выработано долгим генетическим отбором предков как видовая предрасположенность.
Наиль Фидаиевич!
Ну откуда у Вас данные о «генетическом отборе»? А если дело в метилировании или ещё в каком пока неизвестном механизме? И что значит»чересчур буквально»? А что не чересчур? И что значит включается?
История «Маугли» показывает, что у человека, вырванного из культуры, ничего «присущего», кроме животных инстинктов, нет.
Наличие потенциальных возможностей не означает их непременную реализацию. У человека есть врожденная структура мозга приспособленная для усвоения языка. Если ребёнок не слышит речь — он конечно не научится говорить. Но мощный потенциал есть и это особенно заметно, поскольку с взрослением, когда у большинства людей он почти пропадает. Очевидно, профессор умнее трёхлетнего ребёнка и язык, хотя бы один, он уже знает. А кто быстрее освоит новый язык?
В принципе с Вашими комментариями согласен, но, вообще говоря, профессор в среднем не обязательно умнее любого трехлетнего ребенка, он образованнее и опытнее. Как показывает исторический опыт все гениальные исследователи бывали трехлетними.
Если верить этой публикации https://www.gazeta.ru/news/science/2008/08/19/n_1259593.shtml априорные формы мышления у австралийских аборигенов такие же. Просто числительных в их языке нет.
Увы, ссылка не работает. Но Ваши слова «Просто числительных в их языке нет» восхитительны! А чегой-то вдруг их нету?
https://www.gazeta.ru/news/science/2008/08/19/n_1259593.shtml
Нагуглите «Люди могут считать, даже не зная числительных»Ненужно в быту вот и слова нет. Нуля в большинстве языков не было, но понятие «нет ни одного» вполне было.
Да все вы пишете правильно. Но отвечают-то вам: а на фига нам все это?
«Нам» это кто?
Как обычно: всему прогрессивному человечеству. Denny его, например, представляет. Балансу требует между кругозором и навыками полезными для организма.
Здесь, кажется, допустима коррекция: не просто прогрессивному человечеству, а его передовому авангарду, т.е. начальству.
Бинарные операции таят в себе огромную опасность: начнут делить разные доходы друг с другом, затем сравнивать с единицей и вдруг откроют большие просторы для вычитаний…
…Математика не сводится к некоторой таблице правили формул .
Вообще говоря, сводится. Если в ваш список добавить еще правила получения этих самых правил и формул.
Есть, по крайней мере одна операция, называемая иногда озарением, которая не поддается описанию — догадаться.
До сих пор никому не удавалось её описать.