Сеятель знанья на ниву народную!
Почву ты, что ли, находишь бесплодную,
Худы ль твои семена?
Робок ли сердцем ты? слаб ли ты силами?
Труд награждается всходами хилыми,
Доброго мало зерна!
Н. А. Некрасов
Математика — один из самых объемных школьных предметов (по общему числу часов). Экзамен по математике требуется для самых разных вузов, курсы математики в вузах обязательны для студентов многих специальностей и т. д. Но и преподаватели, и учащиеся жалуются, что большая часть их труда уходит впустую — и это во многих странах. Едва ли не большинство вспоминает об уроках математики как о соединении неприятного с бесполезным. Почему так получается, несмотря на многочисленные попытки улучшить ситуацию (или по крайней мере что-то реформировать)?
Иногда это объясняют «бесплодной почвой» — мол, когда математику изучали избранные, дело шло неплохо, а когда началось всеобщее (и весьма) среднее образование, тут-то всё и рухнуло, потому что способности к изучению математики встречаются редко. Конечно, доля истины в этом есть — способности разных людей могут отличаться очень сильно. Но, скажем, отбор в гимназиях был не только и не столько по математическим способностям, сколько по социальным факторам — и далеко не все выпускники гимназий успешно и с удовольствием изучали математику1.
При этом школьный курс математики, в общем-то, довольно прост. Много лет назад, едучи в метро, я увидел школьника, причем скорее гопника, чем ботаника (как теперь говорят), который вертел в руках модный тогда кубик Рубика — и быстро и ловко его собрал. Между тем алгоритм сборки заведомо сложнее и с точки зрения геометрического воображения, и по объему комбинаторной информации, которую надо запомнить, чем большинство школьных тем2. Почему же в школе математика идет так плохо? Да и не только в школе — придя на случайно выбранное занятие по математике в вузе, легко в этом убедиться. Я попытаюсь указать некоторые возможные причины (по своему личному опыту и впечатлениям3) — не настаивая на них и не претендуя на новизну. При этом я заранее оставляю в стороне общественные проблемы (статус учителей, их подготовку, условия работы и т. п.), а говорю только о внутрипрофеcсиональных ошибках.
• Построение курса. Готовая математическая теория строится (излагается) как здание: каждый следующий результат опирается на предыдущие и служит надежной основой для последующих. Возникает иллюзия, что можно так и преподавать: изложить что-то, проверить, что это усвоено, и затем на это опираться. Хотя на самом деле обучение и изучение скорее напоминает перекрытие реки: первые брошенные камни уходят без следа под воду, а часть из них уносится потоком, но постепенно русло заполняется и наконец возникает (должна возникать) плотина, надежно удерживающая воду.
• Учебные программы. Часто начинают с обсуждения «программы» курса математики4. Это хорошо согласуется с идеей построения математического знания начиная с фундамента. Потом, «утвердив» такую программу, пишут учебники. Потом их «внедряют» — при этом выясняется, что школьники мало что понимают, и начинается процесс упрощения и вырождения учебников при сохранении декларированной программы5. В программах при этом остаются формулировки вроде «Понятие о…», а в учебниках — вроде «Доказательство (не для запоминания)». Что уже совсем нелепо: если и можно строить дом на фундаменте, то на «понятии о фундаменте» точно нельзя.
Составив программу (в школе или вузе), начинают по ней преподавать в соответствии с «учебным планом». При этом преподаватели обнаруживают (или не обнаруживают — так тоже бывает), что школьники или студенты ничего не понимают, отчасти потому, что не разобрались в предыдущих курсах, отчасти потому, что слишком быстро. Но план уже утвержден — и водитель локомотива, под присмотром диспетчера, старается соблюдать расписание, хотя вагоны давно отцепились.
• При составлении программы часто стараются прийти кратчайшим путем к тому, что должно в нее войти. Зачем элементарная геометрия, если (как писал Дьёдонне) можно с помощью нескольких строк векторной алгебры доказать то, для чего раньше нужны были леса из треугольников? Но смысл обучения математике не в том, чтобы проговорить доказательство каких-то признанных необходимыми фактов, а в том, чтобы научить рассуждать (решать задачи — в том числе и сложные для решающего). Поход может быть трудным с непривычки, но какой смысл ехать вместо этого на такси от старта до финиша? Может быть, это имел в виду Евклид (и не понял Дьёдонне), когда (согласно легенде) говорил, что «в математике нет царского пути».
• Для успешного преподавания нужно, чтобы изучаемое было понятным, посильным и интересным. Математические доказательства должны восприниматься как убедительные рассуждения о чем-то реальном, а не как произвольный материал для заучивания. Решение задач — как выяснение истины, а не загадочные действия по образцу. Когда-то, будучи в гостях у своего товарища в Англии, я спросил его сына, что они проходят в школе. «Сложение и вычитание». — «А знаешь, сколько будет 100 минус 1?» Вопрос этот оказался трудным, и я решил спросить иначе: «Сколько будет сдачи, если платить фунт, а товар стоит пенс?» — «99 пенсов, но при чем тут это?» — был немедленный ответ.
И. М. Гельфанд любил рассказывать, как работяги в вечерней школе, не умевшие сравнить 2/3 и 1/2, ни секунды не колебались в ответе на вопрос «Что лучше: две бутылки на троих или одна на двоих?». Впрочем, когда мой коллега по моей просьбе задал подобный вопрос своим детям (видимо, не имевшим достаточного опыта), только один из троих ответил правильно. (Интересно, что одна из ответивших сказала, что «для этого надо сравнить по величине дроби», но не смогла этого правильно сделать.)
Не смог сейчас найти, в какой книге я это читал, но помню примерно такую историю. Рассказчик вспоминает, как в школе учитель добивался ответа от его соученика, задавая всё более простые вопросы, и наконец спросил: куда покатится шар, если положить его на наклонную плоскость — вверх или вниз? Растерянный ученик сказал, что вверх, — и учитель дал волю гневу. Когда всё утихло, рассказчик спросил товарища удивленно: «Зачем ты так, неужели ты не знаешь, куда покатится шар?» — «Настоящий шар, конечно, вниз — но кто его знает, как там у вас…»
Преподаватели возмущаются, когда на вопрос об определении модуля школьники отвечают «число без знака». Но уж лучше пусть они так отвечают, чем заучивают определение из учебника (|a| равно a при a ≥ 0 и –a при a < 0), а потом не могут ответить на вопрос «Чему равно | —a | при a < 0 — числу a или числу —a?».
В свое время этот вопрос был в заданиях ВЗМШ (Всесоюзной заочной математической школы, организованной по инициативе И. М. Гельфанда), и было много неверных ответов. Там же было замечено, что школьник может более или менее уверенно решать уравнения, но затрудниться в ответе на вопрос о том, какое число заменено звездочкой в уравнении x3 + *|x| — 5 = 0, если x = 1 является его корнем.
Давным-давно, на студенческих каникулах, я разговаривал с какими-то далекими от математики студентами (чуть ли не военного вуза). Они спрашивали, к чему вообще математика — и были озадачены, когда выяснилось, что я могу регулярно у них выигрывать в игру «ним».
Сложный для изучения материал приходится упрощать. Как писал Н. Г. Чернышевский, «Наука сурова и незаманчива в своем настоящем виде; она не привлечет толпы. Наука требует от своих адептов очень много приготовительных познаний и, что еще реже встречается в большинстве — привычки к серьезному мышлению. Поэтому, чтоб проникнуть в массу, наука должна сложить с себя форму науки. Ее крепкое зерно должно быть перемолото в муку и разведено водою для того, чтоб стать пищею вкусною и удобоваримою»6. Но что будет, если приготовленное по рецепту Чернышевского пойло (может, и удобоваримое, но всё же едва ли вкусное) впихивать годами?
• Плохое «локальное качество» учебников. Помню, как в начале перестройки телевидение передавало выступление учителя математики Виктора Фёдоровича Шаталова — при полном восторженном зале. Среди прочего он рассказал придуманное им доказательство теоремы о равенстве сумм противоположных сторон в описанном четырехугольнике. Состояло оно в том, что на рисунке он пометил четыре пары равных отрезков буквами (кажется, они образовывали какое-то слово7) и торжествующе сказал: «Видите, противоположные стороны вместе дают эти четыре буквы!» — сорвав аплодисменты. Я удивился: разве не ровно это написано в учебнике? Оказалось, что нет — там были равенства отрезков, обозначенных своими концами, и чтобы понять, о чем речь, надо было переводить взгляд с рисунка на текст и обратно несколько раз.
Когда я был школьником 7-го класса математической школы (№ 2), на нас решили попробовать (тогда экспериментальный) учебник геометрии Колмогорова с соавторами, и одно обсуждение я запомнил. Там было определение луча AB как множества точек, лежащих по ту же сторону от A, что и B, а после этого давалась задача: сколько лучей возникает, если на прямой есть три точки A, B, С? После этого начался спор с участием школьников и нашей замечательной учительницы, Галины Алексеевны Чувахиной (Биллим). Одни говорили, что лучей шесть — каждая точка дает два луча. Другие возражали: в определении говорится о «луче AB» — но два из шести лучей нельзя так назвать (нет второй точки), остаются только четыре. И все так и остались в некотором замешательстве (едва ли предусмотренном авторами учебника), а через некоторое время эксперимент свернули.
Конечно, хорошо, когда учебники пишут профессиональные математики, там будет меньше ляпов (хотя всякое бывает, особенно когда их начинают дорабатывать «практики»). Но если эти математики не имеют многолетнего опыта преподавания, причем не в специальных математических классах, а в «массовой школе» (а так практически всегда и бывает), то у них могут быть самые неожиданные идеи о том, что и как можно объяснить школьникам (ср. определение вектора по Колмогорову как геометрического преобразования) и какой текст школьники и учителя смогут понять, а какой — нет.
• Наука «педагогика» с разговорами о «навыках» и «компетенциях». Думаю, что каждый, кто заполнял всякие таблицы с указанием, какие компетенции вырабатывает такой-то раздел курса, или какие компетенции проверяет такая-то задача, понимают, о каком бреде идет речь. Циничная поговорка «кто умеет — делает, кто не умеет — учит, как делать» часто дополняется: «…а кто и этого не умеет — идет в методисты и учит, как учить»8. Один из (лучших, на мой взгляд) московских учителей математики рассказывал, как к нему на урок пришел проверяющий «методист» и остался недоволен: дескать, «урок не обучающий» (что бы это ни значило).
• Существующая ситуация часто оказывается плохим для всех, но устойчивым равновесием. Преподаватели заинтересованы, чтобы на их занятия ходили, слушали и это бы помогало сдать экзамен. Студенты заинтересованы, чтобы можно было, проявив некоторую усидчивость, подготовиться к экзамену и получить хорошую оценку. Поэтому на экзамене даются задачи заранее известных типов, а на занятиях разбираются образцы решений задач, похожих на экзаменационные — несмотря на бессмысленность этой ситуации для всех участников, никто не заинтересован от нее отклоняться. Это видно и на уровне ЕГЭ, где каждый год даются задачи одних и тех же пронумерованных типов, и выпускаются пособия, так и называющиеся: «Как решать задачу номер 14».
В свое время аналогичный эффект проявлялся во «вступительной математике» — вспомним все эти «алгебраические, тригонометрические и показательные уравнения и неравенства», которые были на всех вступительных экзаменах и составляли предмет постоянной дрессировки как в школе, так и у репетиторов. При этом наиболее квалифицированные репетиторы могли за сравнительно небольшое время (и за немалые деньги) сильно помочь абитуриенту повысить шансы сдать экзамен в какой-нибудь не очень сложный вуз (сдать, так и не узнав, что означает эта странная буква «x» в «решаемых» им уравнениях). Было даже специальное учение об «ОДЗ», открывавшее ритуал решения уравнения («область допустимых значений»).
Этот эффект не ограничивается школьными задачами и плохими преподавателями. На мехмате упражнения по дифференциальным уравнениям у нас в группе вел замечательный математик, но они, как и во всех других группах, состояли в решении уравнений разных типов: на одном занятии — с разделяющимися переменными, на другом — еще какие-то и т. п. Наконец, пришло время контрольной. Преподаватель сказал, что на ней будут уравнения таких-то и таких-то типов, и я в ужасе спросил: «Но хоть скажут, какого типа какое?» — и только после этого понял, как глупо выгляжу.
• Органы управления образованием. Желая как-то контролировать подведомственные школы, они заинтересованы в показателях успешности преподавания. Часто говорят, что эти показатели (тот же ОГЭ/ЕГЭ) показывают не то, что надо, но проблема более серьезная и редко отмечаемая. Почти любой (минимально разумный) тест (контрольная работа) будет сильно коррелировать с реальными успехами школьников, если вопросы для них неожиданные. Но когда заранее известный тест используют как критерий успешности школы и школьника, оптимальная стратегия подготовки к нему будет далека от осмысленного обучения (см. выше о репетиторах).
• Идея «математики для пользователей». Большая часть изучающих математику в будущем не будут математиками, и у них нет ни времени, ни желания, ни сил, ни (часто) способностей, чтобы изучать математику долго и тщательно. Поэтому (говорят многие) нужно научить их «применять математику», оставив подробности (точные определения, доказательства и т. п.) для более профессиональной подготовки. Возьмем курс математики для математиков, выбросим из него доказательства и определения и научим оставшимся рецептам. Примерно так и выглядит курс высшей математики «для ВТУЗов» (или undergraduate calculus в английском варианте). Между тем это нелепо как раз с точки зрения будущего использования: трудно себе представить, чтобы будущему программисту или финансовому аналитику пришлось искать предел по правилу Лопиталя (а как раз умение понимать математический язык и проводить рассуждения корректно могло бы и пригодиться).
Александр Шень, математик, ст. науч. сотр. Института проблем передачи
информации РАН (Москва), науч. сотр. LIRMM CNRS (Франция, Монпелье)
1 Лев Толстой вспоминает в автобиографической повести «Юность»: «На экзамен математики я пришел раньше обыкновенного. Я знал предмет порядочно, но было два вопроса из алгебры, которые я как-то утаил от учителя и которые мне были совершенно неизвестны. Это были, как теперь помню: теории сочетаний и бином Ньютона». Дальше он рассказывает, что один из вопросов (бином Ньютона) ему успел рассказать знакомый, который хорошо разбирался в математике, но ему попался второй («О ужас! это была теория сочетаний!»), и он чудом спасся от позора и отлично сдал экзамен, поменявшись билетом с товарищем по несчастью, у которого как раз был бином Ньютона. Остается гадать, что понял Толстой в биноме Ньютона, если сочетания вызывали у него ужас.
2 Ср. высказывание Колмогорова: «Надо думать, что даже у совсем хороших математиков сложность системы знакомого им родного языка превосходит и по сложности строения, и по объему всё, что они усваивают как математики» (письмо В. А. Успенскому, 5 марта 1962 года, приведенное в: Успенский В. А. Колмогоров как центр моего мира. Труды по нематематике, том 5, М., 2018, с. 100. Другое высказывание Колмогорова (доклад «Автоматы и жизнь» // Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. Библиотечка «Квант», вып. 88, с. 52–53): «Слаломист, преодолевая дистанцию, в течение десяти секунд воспринимает и перерабатывает значительно большую информацию, чем при других, казалось бы, более интеллектуальных видах деятельности, во всяком случае больше, чем математик пропускает через свою голову за сорок секунд напряженной работы мысли».
3 Заранее прошу прощения, если я что-то запомнил неправильно: я старался ничего не придумывать, рассказывая разные байки, но мог перепутать.
4 При этом приводятся аргументы «нельзя же не знать, что…». То обстоятельство, что это всё равно мало кто знает, хотя это и есть в программе, деликатно обходится.
5 Учебник геометрии А. В. Погорелова начинался как две небольшие брошюры, в которых автор старался, и довольно остроумно, предложить способ построения геометрии, который мог бы восприниматься и на уровне первого знакомства, и как (почти) строгое изложение для знатоков. В массовом учебнике от этого остались какие-то странные развалины. См. Погорелов А. В. Элементарная геометрия. Планиметрия. М.: Наука, 1969; Стереометрия. М.: Наука, 1970. Учебник геометрии вышел в 1982 году (еще как «учебное пособие») и переиздавался несколько десятилетий, с постоянными изменениями, в том числе и после смерти автора — при этом из выходных данных нельзя понять, кто эти изменения вносил.
6 Чернышевский Н. Г. О поэзии. Сочинение Аристотеля. Перевел, изложил и объяснил Б. Ордынский. Собрание сочинений в 15 томах, том 2. Гослитиздат, 1949, с. 273.
7 Сейчас проверил: в Интернете есть эта передача, youtu.be/aQj4eBlcGtg?t=2451, и образованное четырьмя буквами слово — ВЕРА.
8 Или, хуже того, идет в органы управления образованием и проверяет заполнение всех этих бумаг.
Во времена моей юности один мелкий писатель говорил, что дурак — это человек, по-своему мыслящий. Вот и позвольте высказаться по этой проблеме дураку.
В МГУ я поступил в 1962 году, когда поступить школьнику было чрезвычайно трудно — Хрущев менял интеллигенцию и школьникам нужно было весь профиль сдать на пятерки. Самый страшный экзамен был математика. Сдавал я его Понтрягину и он поставил мне пять, потому что предложенную им последнюю нестандартную задачу решил в 5 секунд, чем вызвал его удивление: «Уже решили?!»
А вот потом начались проблемы. И слава Богу, что учили нас тогда без теории множеств, которую я преодолеть бы совсем не смог. А наш тогдашний курс матанализа, мало отличавшийся от Г. Филипса, я хоть как-то, но одолел. Причем я не понимал, почему в меня это не лезет. Потом, правда, начал замечать, что в других это тоже не совсем лезет — теоремы матанализа они запоминали, что для меня было невозможно — мозги не так устроены.
И лишь после окончания МГУ я начал понимать, в чем дело. Дело в не совсем порядочной «мистичности» математиков.
Для каждого дела есть «талант». Есть те внутренние струны, которые резонируют с внешним раздражителем. Нет этих внутренних струн — внешние раздражители будут работать впустую.
И беда в том, что 5% тех, у которых эти внутренние струны математические, стараются навязать их другим. Если человек композитор или поэт, он понимает, что это — «талант», дар Божий, и никакими «научениями» это другому не вставишь! И муза тебя посещает не от твоих способностей «мыслить», а в результате «чуда». А вот математики (и физики, и химики, и биологи) думают, что дело в «науке»и в их выдающихся мозгах.
Это не мое личное мнение — вот цитата из предисловия к книге Р. Куранта, Г. Роббинса «Что такое математика?» (предисловие, стр. 16 — у меня 3-е изд., 2001 г): « Она (книга) предполагает известный уровень умственной зрелости и готовность усваивать предлагаемое рассуждение».
Так как существуют четыре школы основания математики, рекомендации очень сомнительны.
В самом деле — возьмем самое простое, сложение. Математики утверждают, что сложение — бинарная операция, то есть определена лишь для двух слагаемых. А для трех (и больше) слогаемых она не определена. То есть, хотите сложить три слагаемых — сложите сначала два, и задача вернется к уже определенной бинарной операции. Увы! —я такое рассуждение усваивать не могу и не буду. Лучше я буду определять операцию сложения, как большой мешок, куда я брошу сколько угодно слагаемых, а потом пересчитаю, сколько там лежит. Нестрого? — да! Но более разумно (не обижайтесь на дурака).
И так и поехало!
Для меня всегда были не очень достоверны доказательства «от противного» (принцип исключения третьего). Работает, говорите? — ну вспомните опыты по интерференции на исчезающе малых интенсивностях (космическое излучение D-линии натрия). Да поставьте в качестве интерферометра Майкельсон с разницей плеч метр или два. И постарайтесь интерпретировать результат, исключая «третье». А я на вас посмотрю.
Для меня очень сомнителен (интуитивно неясен) метод полной математической индукции.
И, ведь, не только для меня — В.И. Арнольд говорил, что коммутативность умножения невозможно понять, не разрезав пирог, а уж он-то доказательство коммутативности методом математической индукции, разумеется, знал.
А ноль? а отрицательные числа? А комплексные числа? Это что такое? Ведь чтобы вводить числа, нужно понять. что это такое. Но вот ещё цитата из Куранта: «Вопрос о том, чем «на самом деле» являются точки, прямые и числа, не может и не должна обсуждать математическая наука. Действительно существенными и имеющими непосредственное касательство к «проверяемым» фактам являются структура и взаимосвязи между этими объектами: что две точки определяют прямую, что из чисел по определенным правилам получаются другие числа, и т. п. Ясное осознание необходимости отказа от представления об основных математических понятиях как о реально существующих предметах явилось одним из самых важных и плодотворных завоеваний современного аксиоматического развития математики.»
И вы после этого хотите «понятности»? (Это не моя придурь — Дойч таких, как Курант называл «инструменталистами» и не очень уважал —см. «Структура реальности»)
Но школу в мое время (до «множеств» и начал матанализа) ещё можно превзойти, в особенности, если учебник почти по Киселеву (как у нас, к счастью, и было).
Но с теорией множеств и «началами» наступает катастрофа!
Понтрягин теорию множеств ненавидел. Арнольд над бурбакизмом издевался. Практические результаты колмогоровских реформ налицо — математику никто не знает!
Что ещё надо? Ну не может множество пораждать единство! Единство может пораждать множественность, но не наоборот! Нельзя из одного шара сделать два равных ему! Не могут нормальные мозги вместить теорию множеств! (И слава Богу!)
Ну пусть без множеств. Пусть по Г. Филипсу — оперируем с бесконечностями. Откуда-то знаем, что можно отбрасывать при определении производной, а что нельзя. Говорим «бесконечно малая» — а что такое малая и большая? Меня в школе знакомили с комплексными числами, а там «больше» и «меньше» не котируется! А действительные числа — лишь частный случай комплексных! Как быть? Да и не умею я с бесконечностями оперировать — ресурсов у меня таких нет! И что там будет через треть или половину бесконечности — не знаю! Вон — корабль причалить не может, а вы хотите!
Да, можно договориться. Можно договориться обо всём, чём угодно! — но как быть с уверенностью, что этот договор имеет отношение к окружающему миру? Почему вы думаете, что ваши математические модели работают? — даже по таким тертым-перетертым моделям, как СТО, Смородинский говорит одно, а Окунь совсем другое! Как быть?
И снова цитата из Куранта (стр. 25): «Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека». Этими словами Леопольд Кронекер (1823-1891) определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики».
И это слова профессиональных математиков! Так что же спрашивать с учеников? — говорите просто: «Тайна сия велика есть!»
И два слова о логике. Да, наука началась с Аристотеля. С того самого момента, когда он закончил «Аналитики». Современная наука началась с Галилея и Ньютона, которые, как и многие поколения схоластов, Аристотеля пережёвывали и пережевали. И да, конечно же, Евклид.
Но только ни Архимеду, ни Евдоксу логика не помогла. Почему? — об этом см. Н.Я. Виленкина и Б.В. Бирюкова (потому что в логику они верили и не могли её использовать при анализе бесконечно малых. Хотели бы, но не могли — честные были очень).
Выводимость есть в исчислении высказываний — но там столько всего можно вывести, что пока до решения доберешься, помрешь скорей.
А в исчислении предикатов выводимости может и не быть. А живём же, существуем.
«Не в логике дело», как говорил В.И. Арнольд.
А.И.! Простите, а как Вы относитесь к многотомнику Дональда Эрвина Кнута и к его совместному учебнику с Рональдом Грэхемом и с Ореном Паташником?
Заранее Вам признателен за ответ.
Л.К.
Проблемы, очерченные Вами, требуют отдельной трудной дискуссии.
Это не уход от ответа, у меня нет площадки, чтобы продолжить начатое Вами обсуждение.
С постоянным почтением,
К.
Леонид Маркович!
Первый раз о нем узнал. Постараюсь посмотреть, если пришлете ссылку.
Искренне Ваш
АГ
Г.Филлипс, имеется ввиду эта книга?
https://www.amazon.com/Analytic-Geometry-Calculus-H-B-Phillips/dp/B0073XBBDM
Она переведена? Трёхтомник Фихтенгольца не был основным учебником?
Коммутативность умножения доказывали в асимптотике Пеано?
С теорией категорий Вы незнакомы?
Хотите, я Вам, уважаемый В.Н., отвечу?
Кстати, что есть «асимптотика Пеано»? У Ганса Фро(е)йденталя такого нетути! Поясните!
(Кстати, в Эллиоте Мендельсоне — так же нетути напрочь!)
Всегда Ваш и к Вашим, как говорится, услугам,
Л.К.
Прошу извинить. Аксиоматика Пеано, конечно.
Не стоит извинений, «блохи»; я сам ухитрился поутру сегодня 7-го дважды провраться. Один раз — см. поправку А.И. Гончарова. Второй — цитировал по памяти речь Гильберта перед списком (условно) 23 задач в Париже именно на II (а не на третьем, как я ошибочно пишу, отвечая проф. Фаткуллину) МатКонгрессе.
Привязка:
Гильберт Д. Избранные труды / Под ред. А.Н. Паршина, т. II, М.: Изд — во «Факториал», 1998, стр.403, второй абз., считая снизу вверх.
Там об «игре межлу мышлением и опытом (где физика первична! — Л.К.)».
Ваш Л.К.
Теория рекурсивных функций, имхо, самая тяжкая для понимания часть эффективной вычислимости или, грубее, «теории алгоритмов». Имхо. Так же примерно болезненно даётся как система действительных чисел = геометрически числовая прямая (см. выше).
Учебник (любого числа томов) Григ.Фихтенгольца считаю плохим (отдельная тема).
К.
Берманта Анисима Фёдоровича. Имхо.
Фронтовик и замечательный популяризатор Берман Георгий Николаевич (возможно, из обрусевших немцев) составил задачник, учебника, насколько мне помнится, он не составлял.
Л.К.
Вых данные «Конкретной матем.» Кнута — Грэхема — Паташника — в рабочем порядке. Постараюсь.
К.
«Конкретную математику» уже скачал, буду смотреть.
А учебник, действительно, Бермана, а не Берманта. Рацер-Иванова, когда его рекомендовала. подчеркивала. что именно Берман, а не Бермант. Что странно — в Интернете я его не могу найти. Хотя его задачник есть.
Как Вы объясняете то, что наиболее успешным по параметрам
1.филдсовские медали и другие международные награды
2.цитируемость
3.число профессорских позиций в западных университетах
является поколение математиков, учившихся в советской школе в 70х -80х годах, то есть после колмогоровской реформы?
Очень просто объясню.
Русские — очень талантливый народ. И живи они в человеческих условиях (что с 1905 г и наклевывалось, да случилась Первая мировая да «Великая октябрьская»)— они бы себя и раньше показали. Но дышать более или менее нормально в СССР стало возможно только после 1964 г — когда «партия» перестала лезть в науку.
Ну да. А все люди, евшие огурцы сто лет назад, умерли. И это говорит о страшном вреде огурцов.
«…муза тебя посещает не от твоих способностей «мыслить», а в результате «чуда»».
Согласен на 100 %. Потому что я сам такой. По образованию инженер-конструктор, но волею обстоятельств всю жизнь занимался фундаментальной наукой, и вполне успешно, за счет интуиции. Но вот вопрос: сколько таких, как я, не попали в научные институты, просто случая не представилось? Получается, что выбирать студентов, способных хорошо работать в науке, надо не по результатам сложных вступительных экзаменов, а каким-то другим способом. Условно говоря, надо проверять, насколько хорошо человек воспринимает информацию, поступающую ему из Информационного поля Вселенной.
«…из Информационного поля Вселенной».
Петька к василиванычу — А в мировом масштабе — могЁшь?
— Нет, петька, мне ещё Урал переплывать надо!
Л.К.
Памяти Б.М.
К.
А откуда берутся симфонии или стихотворения?
«Тщетно, художник, ты мнишь, что творений своих ты создатель»
Еще двести лет назад считали, что грамотность, умение читать и писать, она тоже специального таланта требует. Не всем дано.
Не знаю, откуда у Вас такие сведения. У меня сведения, которые говорят об обратном — что образование специально тормозили. В особенности в этом отличалась клерикальный деятели (учтите, что я православный христианин и даже фундаменталист — но резкий антиклерикал). Церковь в России особенно усердствовала — и получила по полной, в результате.
Ссылки могу привести, но не сразу.
Не помню, прочел где-то когда-то. Про церковь я ничего не писал. Мы с ней существуем глубоко параллельно.
… узок круг этих специалистов. Страшно далеки они от реалий массовой школы и жизни людей за пределами их тусовки…
Эт-точно… И не понимают они (или мы) что нет смысла учить географию при наличии извозчиков. Из ваших рассуждений ведь неизбежно следует, что Митрофанушка-то прав был…
Мне больше по душе позиция Шерлока Холмса. Это совсем не то же самое, что Митрофанушка.
А в общем — да, достоинство цивилизации в том, что есть самые разные «извозчики», которые позволяют остальным учить что-то другое. То, чего «извозчики» не знают и не умеют. В том числе «извозчики» позволяют математикам заниматься их делом. А не то пришлось бы вместо дифуров учиться лошадь запрягать… Если же начать извозчика грузить математикой, то к такому извозчику лучше не садиться.
Да это тривиально: человек должен иметь хотя бы минимум необходимых профессиональных навыков. Хотя получать их в средней школе совершенно не обязательно. Весь вопрос в том, должен ли он уметь или хотя бы иметь представление о чем-то кроме этого. «Грузиться» чем-то, что с точки зрения прямых обязанностей извозчика кажется бесполезным. Просто на всякий случай, для кругозора, как тут писали.
Я надеюсь, вы согласны, что и для извозчика было бы совсем неплохо чувствовать музыку, пусть даже поп или военные марши, читать книжки, хорошо относиться к окружающей красоте: пейзажу, архитектуре… Ну, просто, чтобы он меньше свинячил. Ведь общий уровень культуры напрямую с этим связан.
Почему-то из всего этого обычно исключают красоту логических построений, изящество доказательств. А ведь извозчики обычно любят детективы и шпионское кино, где все эти элементы имеются, хоть и не облечены в форму уравнений.
Это действительно тривиально.
«Извозчику» элементарные навыки в математике могут дать только в средней школе. Следовательно — это необходимо делать.
«было бы совсем неплохо чувствовать» и «грузить» — две большие разницы. Как умеют гнобить в школе тех, кто не тянет какой-то предмет (в том числе математику) объяснять не надо, я надеюсь. Да и здесь на форуме некоторые кадры не лучше.
Кому-то изящество доказательств, кому-то музыка и пейзажи. Я вот увлекаюсь с детства военной историей, особенно Наполеоновскими войнами. Но мне советская школа привила стойкую ненависть к классической русской литературе, от которой (ненависти) мне так и не удалось избавиться. А Шерлок Холмс неплохо играл на скрипке… Стоит ли считать его варваром, потому что он не знал и не интересовался много чем другим?
Разумеется, некоторый набор знаний и умений нужно обязательно вдолбить всем. Хотя я и не знаю как. Я если кого в жизни чему-то научил, то исключительно личным примером. Обучаемые либо делали как я, либо старались так не делать. И Митрофанушкам, и Шерлокам с Холмсами это одинаково необходимо, обучение элементарным школьным премудростям. Между этими персонажами, кстати говоря, разница в том, всего одна, что Митрофанушка так и не узнает для чего нужна география, как бы он не старался, а Холмс нужную информацию непременно добудет. Одного научили этому путем вдалбливания ненужных вещей, а другого не научили.
«Почему-то из всего этого обычно исключают красоту логических построений, изящество доказательств» — потому что мучений с этой «красотой логических построений» выше головы!
Пример из личной жизни: нужно объяснять детям (своим) про эту красоту. Естественно, про модус поненс. Естественно, про таблицу истинности импликации. Да вот таблица-то такая странная, что, как говорит нам С. Клини ( Математическая логика, Москва, Мир, 1973 стр.18 нижний абзац и стр. 19 верхний абзац) некоторые математики считают это парадоксом. Я на эту таблицу убил не один (ох, не один) год! И ведь не спросишь ни у кого! У серьезных (очень-очень серьезных) людей спрашивал — ответ: «Ну зачем Вам это нужно? Мы же не основаниями математики занимаемся, а её приложениями!»
А у товарища спросил (закончил мехмат, к.ф-м.н, с.н.с ЦЭМИ) — «Ой, Лёш, правило вывода аксиоматизировано, чего тут думать!»
Так и не получилось объяснить! И что? — лет десять назад звонит сын: «Ты про Кёнигсбергские мосты слыхал?» —«Слыхал, конечно.» — «Тут странность какая-то. Дочери в школе рассказали об этой задаче. Я её за пятнадцать минут решил. Ты не проверишь?» — квалификация у меня мала, не смог я у него ошибки найти.
Я очень сильно подозреваю, что процесс познания идет не так, как мы представляем. А так, как работают искусственные нейронные сети. Идет накопление материала, а потом мозги «как-то» всё это упорядочивают. И потому грузить школьника надо, но грузить тем материалом, аксиоматика которого «очевидна». И тем, что по силам. Потому что то, что не по силам, вызывает отторжение и агрессию. И это доказано.
И в первую очередь из человека нужно делать человека — с помощью литературы, музыки и тому подобных хороших вещей (историческая правда в список этих вещей неотъемлемо входит).
Что Вас смущает в импликации? Доказательство от противного: если вывод ложный, то и посылка была ложной? Или оставшаяся часть таблицы истинности: если вывод истинный, то посылка могла быть как истинной так и ложной?
Когда задача о кёнигсберских мостах сформулирована в виде утверждения про графы, то любой сообразительный человек решит её за 15 минут. Гениальность Эйлера в том, что он придумал новый объект: графы, который можно исследовать математически и применять выводы исследований в жизни.
1.Импликация меня смущает по двум причинам. Одна описана у Клини на указанных мной страницах. Но другая причина для меня более важна.
Таблицы истинности конъюнкции, дизъюнкции, эквивалентности и отрицания заполняются «естественным» образом — выдумать там ничего нельзя.
Но с импликацией возникают непонятки. Первые две строки таблицы (для определенности — мы заполняем таблицу «А влечет В»), когда «А» в двух строках истинно, а «В» в первой строке истинно, а во второй ложно, вопросов не вызывают — тут тоже почти всё «естественно». Но в третьей и четвертой строке, когда «А» ложно, а «В» в третьей строке истинно, а в четвертой ложно, приписывание формуле истинного значения совершенно непонятно. «Естественное» значение формулы в этих случаях — «не знаю»!
2. Сын занимается биохимией (механизмами клетки) и про графы в то время вряд ли слыхал. Я о них услыхал потому, что в 1976 г. В.В. Серов (в то время аспирант у Л.А. Грибова и М.Е. Эляшберга) частично решил задачу исчисления графов, и на этом была построена одна из самых мощных систем идентификации органических соединений. Которая в РФ оказалась нужна только в двух местах — в ФСБ и на таможне
Судя по тому, что говорит Википедия, содержательная часть результата Эйлера — в существовании цикла в графе со всеми чётными вершинами. Не думаю, что это можно доказать за 15 минут.
А.И.Гончаров что-то имеет в виду, но прямо этого не формулирует. Я думаю, тут дело вот в чём: его сильно задевает, когда ему указывают на логические проблемы в православной доктрине, и он хочет доказать, что наука ничем не лучше. Верно здесь то, что как наука, так и православная доктрина изобретены людьми для своих человеческих целей, соответственно, несовершенны; хотя есть и нюансы, поскольку науку можно улучшать (и она была сильно улучшена), а с православной доктриной трудно что-либо сделать. Так что проблемы А.И.Гончарова психологические, а не интеллектуальные, и Вы вряд ли сможете его в чём-то убедить.
Это положительное утверждение. Задача о кёнигсбергских мостах — это отрицательное утверждение: если в графе есть три вершины нечётной степени, то в графе нет пути проходящего однократно через все рёбра.
В математической логике много реальных проблем, точнее логика оказалась устроена гораздо сложнее, чем казалось сначала. Имеются парадоксы самоприменимости (парадокс брадобрея). Парадоксы наивного представления о множествах: парадокс Рассела, парадокс Берри и т.п. Теоремы о неполноте, и о невычислимости (проблема остановки машины Тьюринга).. Невозможно доказать непротиворечивость системы аксиом, исходя из неё самой. На эту тему можно почитать книжки Ю.И.Манина, которые рассчитаны на неспециалистов. «Математика как метафора» доступна в сети.
Помнится, Рассел отрицал парадокс брадобрея: такого брадобрея просто не существует.
Вы бы не могли сформулировать свою импликацию? На всякий случай. напоминаю: импликация — это (А влечет В). Или, если хотите, (если А, то В).
Утверждение (-2>0) — это просто элементарное высказывание.
Имеем теоремы: квадрат положительного числа положителен и куб положительного числа положителен. Имеем ложное высказывание А (-2>0).
По первой теореме имеем истинное высказывание (А влечёт В), где B истинное высказывание (4>0). По второй теореме имеем истинное высказывание (A влечёт С), где С ложное высказывание (-8>0).
Cнизойдите к моей тупости, сформулируйте Вашу импликацию в классической форме:
(то. что Вы хотите сказать) ВЛЕЧЕТ (то, что Вы хотите сказать).
Или [ЕСЛИ(то, что Вы хотите сказать) ТО (то, что Вы хотите сказать)]
Я, всё-таки, всего лишь химик, и многое понимаю с большим трудом. Да и логику учил по Клини и Мендельсону (и очень давно).
(-2>0) ВЛЕЧЕТ (4>0)
(-2>0) ВЛЕЧЕТ (-8>0)
Обе формулы истинные.
Чем приведенный Вами пример принципиально отличается от примера, описанного у Клини на 18 и 19 стр.?
Как это связано с формализмом математической логики? Ведь в данном случае мы говорим именно об этом, а не о законах арифметики.
1.Не знаю. Клини не читал.2.Пример был из арифметики, чтобы не возникали сомнения в истинности или ложности утверждений.
Вот пример из литературы
(Киса — отец русской демократии) ВЛЕЧЁТ (Киса — мужчина)
(Киса — отец русской демократии)ВЛЕЧЁТ (Киса — известный русский политик)
Когда из Ложь -> Истина и когда Ложь -> Ложь, импликация верна. Вопрос: импликация — это способ рассуждения или что это? Если способ рассуждения, тогда можно и, неверно рассуждая, получить из Лжи что угодно. Нельзя утверждать, что импликация как способ рассуждения верный, если из ложных посылок получают что угодно. Вот если из Истины -> Истина, то рассуждение верное, или если из Истины получили ложное следствие, то рассуждали неверно. Что такое импликация?
Да, тусня, блин, насквозь гнилая…Но уж какая имеется!
«Другых пысатылэй у мына нэт!» (страшный, имхо, копирайт! — Л.К.).
Л.К.
https://www.youtube.com/watch?v=77W_ENdERGA
Нужно просто вернуться к старой программе по математике — программе которая была до 1972 года. В той программе начисто отсутствовали интегралы и дифференциалы — а потом какая то сволочь подкинула идею, что надо повышать уровень знаний у дебилов, которыми являются большинство школьников. Но при этом оставить планиметрию /геометрию в пространстве/.
По моему скромному мнению стереометрия сложнее дифференцирования и бесполезнее. Если десятиклассник, как Вы утверждаете ниже, не понимает дробей, то его можно учить любой математике с равным успехом.
Обсуждалось как-то в 2009-м после реплики Фурсенко…
https://trv-science.ru/2009/02/nuzhna-li-shkolnikam-vysshaya-matematika/
Нужна ли школьникам высшая математика?
«…Фурсенко отметил, что он лично, как и ректор МГУ Виктор Садовничий, не изучал в школе высшую математику, но при этом чувствует себя «не дурнее других…».
Ну да, жизнь удалась, в начальники вышел, науками и образованием рулит и дураком себя не чувствует.
Он действительно не дурак, объективно. На этом уровне компьютерной игры дураки вылетают очень быстро.
Будучи министром образования, руководил уничтожением классического университетского образования в России, прикидываясь, что ничего не понимает, не он начал, не он один,…
Умеет во время включать дурку.
опыт показывает , что стандартный десятиклассник в сентябре месяце /до начала занятий с хорошим репетирором/ не понимает смысл дробей / в принципе не может с ними работать/, не понимает смысл открытия скобок, и что самое плохое не понимает чем слагаемые отличаются от множителей. И еще сейчас в школьных учебниках есть проблема ПРОФЕССОРСКОГО КРЕТИНИЗМА — это когда очень грамотный специалист не понимает, что все остальные не понимают что он говорит.
Хы, может и понимает, а поделать ничего не может.
«Оглянулась посмотреть,
Чтоб посмотреть, не оглянулся ли я…» (Макс Леонидофф, бывш гр. «Секрет», СПб — столица ICM — 2022).
Помните, господин Сельдюгаефф, не забывайте про 13 ногу сороканожки! Иначе — спотыкач во всех смыслахх.
Л.К.
Лихо пишете, сами-то Вы, часом, из математического цеха, нет?
К.
https://www.mk.ru/social/2021/06/07/rektor-vshe-svalil-prichinu-nishhety-na-detey-bednyakov.html?from=main_omk
Л.К.
Спросил Google и Yahoo о масштабах репетиторства в России и мире.
Google
Репетитор — Результатов: примерно 9 990 000
Tutor — Результатов: примерно 263 000 000
Yahoo
Репетитор — 1,240,000 results
Tutor — 177,000,000 results
Вывод: репетиторство – стихийная попытка россиян за свои деньги дополнить систему школьного бесплатного образования до стартового уровня систем среднего и высшего платного образования.
Похоже, назрела необходимость перестройки бесплатной школы, — разумеется, если хотим жить в РФ в соответствии с принципом максимальной геохимической деятельности согласно правилу: счастье — своими руками.
Видно, — это планетарная проблема, — следовательно, будет решаться с активным участием Интернета и ИскИна.
Похоже, с точки зрения профессионала-математика В.П., — преобразование школьного образования — неизмеримо сложней, например гомеоморфизма, — который, просто напросто, — «…это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку при непрерывности биекции образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств».
Если Вы прочитали про биекцию не переводя дыхания – Вы математик по призванию.
Прочесть фразу про гомеоморфизм, не переводя дыхания, технически невозможно, поскольку в ней есть несколько запятых.
Это. конечно, мечта, чтобы все, или хотя бы с высшим образованием, или хотя бы с высшим математическим образованием, понимали, что такое гомеоморфизм…
Полезный, нужный и вечный разговор. Добавлю проблемы. Математики не владеют русским языком и не учатся. Нужна лингвистика математики, которая бы учила писать и говорить. Пора разобраться с тем, что такое математика. Она не наука. Как можно учить без ответа на этот вопрос. И дальше: что есть задача и её решение, что есть теорема…… Философская культура математиков, не всех, но большинства низкая.
Тем более, что отмеченное мудрыми слушателями вечерней школы преимущество 2/3 состоит не только, и не столько в количестве употребляемого напитка. Последующее за употреблением социальное поведение троих гораздо богаче и разнообразнее.
Тем самым математика неразрывно связана с социальным поведением. ))
С математической точки зрения 2/3 и 4/6 дают одинаковый результат, однако очевидно, что две на троих и четыре на шестерых – разные вещи в плане вероятности асоциального поведения. Хотя, если те самые трое и шестеро – математики, то возможно результат будет действительно одинаковым.
Почему именно асоциального? Знавал я граждан, которые, приняв на грудь, воспаряли к вечному и не приходящему ))
Поразительно другое. Если 2/3 обычно в самый раз, то 4/6 почему-то всегда мало и посылают за добавкой. (?)
«Одна бутылка водки — нормально, вторая бутылка — много, третья бутылка — мало». Из старых анекдотов.
Тут работает принцип неопределённости: шесть измерений даёт более точное значение количества выпитого, а точность измерения эффекта соответственно падает, поэтому требуется повторение эксперимента.
Вы не учились на мехмате НГУ в 70м году?
А что тут сложного? Математика — это набор правил обращения с абстрактными объектами с заданными свойствами, где правила выводятся путем логических построений, исходя из этих самых свойств. Что еще нужно знать про математику?
Вот свежая статья в тему: https://arxiv.org/abs/2106.01820
о непостижимой эффективности интуиции.
К сожалению, в статье нет ссылки на изумительную книгу Е.Л. Фейнберга «Две культуры (интуиция и логика в искусстве и науке)» 2004 г.
«Движение по пути познания — это движение сложное. После того, как пройден один этап, какая-то неведомая злая рука бросает на дорогу новые глыбы, которые иной раз совершенно засыпают дорогу, делая ее непроходимой. Тогда неминуемо приходит один из нас — людей; он во всем подобен нам, но он несет в себе таинственно заложенную в него силу «видения». Он видит и указывает. Иногда он хотел бы избавиться от этого высшего дара, который часто бывает для него тяжким крестом. Но он этого сделать не может. И те, кто к нему ближе всего, его не понимают. Они возмущенно называют его мошенником или кандидатом в сумасшедший дом. Сопровождаемый равнодушием и непониманием, тянет он вперед застрявший в камнях процесс познания»
Василий Кандинский “О духовном в искусстве” 1912 г.
В школе не нужно учить математику. В школе мы посредством математики пытаемся сформировать многое: умение концентрироваться на задании, умение понимать содержание задания, абстрактное, ассоциативное мышление и т.д и т.п. Сама предметная область, под названием математика, инструментом для этого. Процентов 20 усваивают содержимое. Остальные что-то развивают, и возможно что то усваивают. Но это не имеет особого значения. Эффективность школьной математики не в знании или умении подсчитать что то, а в умении абстрактно мыслить, понимать смысл текста, находить закономерности, обобщать и проводить анализ и синтез. А конкретика пусть останется для 20%
https://www.pnas.org/content/118/24/e2013155118
https://polit.ru/news/2021/06/10/ps_math/