Что такое вселенная. Динамика и размножение

Продолжаем публиковать заметки из серии «Космологический ликбез», которые, возможно, станут главами новой книги (рабочий вариант названия «Острые углы космологии», автор Б. Штерн, научный редактор Валерий Рубаков). В предыдущей статье [1] речь шла о геометрии и кинематике вселенной (с маленькой буквы — имеется в виду обобщенное понятие). Теперь речь пойдет о динамике — что управляет расширением/сжатием вселенной, каким уравнением оно описывается и какие существуют основные варианты динамики.

Динамикой вселенной управляет общая теория относительности (ОТО). Она довольно проста и красива в идеологическом плане, хотя математическая ее сторона достаточно сложна. Общая теория относительности — геометрическая в своей сути. Решениями ее уравнений выступают свойства самого пространства, его геометрия, которая вовсе не обязательно должна быть евклидовой, к которой мы привыкли. Параметры в этом уравнении задаются материей, точнее, тензором энергии-импульса.

Вот основное уравнение этой теории, известное как уравнение Эйнштейна (без лямбда-члена, поскольку мы знаем, как обходиться без него):

$$R_{\mu\nu}-\frac{R}{2}g_{\mu\nu}=8\pi\frac{G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

Мы приводим его, не призывая читателя разбираться глубоко, тут потребовалась бы еще страница комментариев с дополнительными формулами. Слева — свойства пространства-времени, определяемые метрическим тензором $g_{\mu\nu}$ (матрица 4×4), справа — материя, параметризуемая тензором энергии-импульса $T_{\mu\nu}$ (тоже матрица 4×4), $G$ — гравитационная постоянная. $R_{\mu\nu}$ называется «тензор Риччи», $R$ — скалярная кривизна; они построены из метрического тензора и его производных. На самом деле здесь 16 нелинейных уравнений, но не все они независимы. Число независимых переменных (параметров метрики) в общем случае — шесть.

Решения могут быть достаточно сложными (например, поиски решения для вращающейся черной дыры заняли десятилетия). Так как в уравнении много переменных, в его решениях есть немало интересных эффектов. Например, близ вращающегося тела пространство не только искривляется, но и закручивается.

Однако уравнения ОТО радикально упрощаются, если применить их к целой вселенной — однородной и изотропной. Тогда они сводятся к уравнению Фридмана, которое несравненно проще и содержит единственную переменную: масштабный фактор, $a$ — безразмерный параметр, описывающий изменение расстояния между двумя точками пространства (более подробно см. предыдущую публикацию [1]). Нормировка масштабного фактора произвольна, для нашей Вселенной часто задают $a$ = 1 для настоящего момента времени. Тензор энергии импульса в уравнении Фридмана сводится к плотности энергии. Собственно, вот это уравнение:

$$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2=\frac{8\pi}{3}G\rho-\kappa{c^2}/\left(Ra\right)^2$$

Здесь $\dot a$ — производная масштабного фактора по времени, $\kappa$  — знак кривизны пространства, $R$ имеет смысл радиуса кривизны пространства в момент, когда $a$ = 1, $\rho$ — плотность энергии, включая плотность энергии, заключенной в массе покоя вещества $\rho_{m}c^2$. В нашей Вселенной радиус кривизны $R$ огромен, поэтому второй член в правой части пренебрежимо мал, причем он был мал уже в самой ранней Вселенной. Дальнейшее определяется тем, как плотность энергии меняется по мере расширения/сжатия вселенной, т. е. как она зависит от масштабного фактора $a$. Это определяется так называемым уравнением состояния, задающим связь между плотностью энергии $\rho_\epsilon$ и давлением $p$. Здесь есть три основных варианта.

Пылевидное уравнение состояния (нерелятивистская материя, $p \sim 0$)

Почти вся энергия современной Вселенной заключена в массе покоя вещества — звезды, межзвездный газ, холодная темная материя. Давление в ней пренебрежимо мало — это и есть пылевидное уравнение состояния. Энергия в сопутствующем объеме не меняется, а в естественной единице объема меняется как $\rho \sim 1/a^3$. В данном случае энергия — это энергия покоя вещества, плотность которой убывает как плотность числа частиц. Если пространство плоское (евклидово), т. е. $\kappa$ = 0, то решение описывает вечное расширение с замедлением: $a(t) \sim t^{2/3}$, где предполагается, что вселенная возникла при $t$ = 0 из бесконечно плотного состояния ($a$ = 0). Если кривизна положительна ($\kappa$ = 1), то второй член уравнения Фридмана ($-\kappa с^2/(Ra)^2)$ со временем при росте a «перешибает» первый член ($\sim 1/a^3$), расширение останавливается и сменяется сжатием, которое заканчивается коллапсом вселенной в сингулярность. Если же кривизна изначально отрицательна (для этого, в предположении об однородности и изотропии вселенной, эта вселенная должна быть изначально бесконечной), то расширение будет происходить вечно. В 1960-х–1980-х годах данные по средней плотности нашей Вселенной указывали именно на этот вариант. Вещества явно не хватало, чтобы «замкнуть» Вселенную. Теперь пришли к тому, что можно смело полагать $\kappa$ = 0 или считать, что радиус кривизны гигантский. Так и будем делать впредь. В нашей Вселенной второй член так мал (и к тому же становится еще меньше из-за ускоренного расширения пространства), что расширение, скорее всего, никогда не сменится сжатием, разве что если темная энергия перейдет в частицы, может произойти коллапс.

Релятивистское уравнение состояния (фотоны и ультрарелятивистские частицы, $p = \rho_\epsilon/3$)

В этом случае число частиц в единице объема падает как $1/a^3$, и энергия каждой частицы падает как $1/a$. Подставляя $ρ \sim 1/a^4$ в уравнение Фридмана, получаем решение $a(t) \sim t^{1/2}$. В применении к нашей Вселенной: в возрасте около 50 тыс. лет релятивистское уравнение состояния перешло в пылевидное. Закон расширения в тот момент сменился, но не радикально: расширение шло с торможением и до и после, но при пылевидном состоянии торможение пошло по более пологой кривой.

Вакуумное уравнение состояния (типа темной энергии, $p = -\rho_\epsilon$)

В квантовой теории поля вакуум может обладать отличной от нуля плотностью энергии, более того, приходится напрягаться, чтобы объяснить, почему эта плотность в нашей Вселенной оказалась столь близкой к нулю (причем хорошего объяснения этому феномену до сих пор нет). Особенность вакуума в том, что он не меняется при расширении пространства, т. е. $ρ$ = const.

Если вселенная пуста или почти пуста, но вакуум имеет ненулевую плотность энергии, уравнение Фридмана сводится к хорошо знакомому уравнению $\dot a=(\frac{8\pi}{3}G\rho)^{1/2}\cdot a$, где коэффициент перед $a$ в правой части постоянен (и эквивалентен знаменитому лямбда-члену). Подобное простейшее уравнение описывает размножение нейтронов при ядерном взрыве или бактерий в идеальной для них среде. Его решение всем прекрасно известно: $a = a_o \cdot e^{Ht}$, т. е. пространство расширяется экспоненциально. Коэффициент $H$ в экспоненте тождественно равен постоянной Хаббла. Он выражается через плотность энергии вакуума как $H=\sqrt{\frac{8\pi}{3}G_\rho}$. При экспоненциальном расширении пространство очень быстро становится плоским (евклидовым), вклад материи быстро вымирает, вообще перестает что-либо меняться. Возникает приближение к так называемому миру де-Ситтера, которое живет до тех пор, пока вакуум по каким-либо причинам теряет устойчивость.

Все три уравнения состояния имеют прямое отношение к нашей Вселенной. Сейчас — смесь вакуумного и пылевидного, причем в будущем будет доминировать вакуумное. Этот вакуум, дающий ускоренное расширение, называется темной энергией. Мы не уверены, что это в точности вакуум: может быть, темная энергия — медленно меняющееся физическое поле, которое со временем ослабнет, превратится в длинноволновые колебания, и расширение Вселенной снова будет замедляться. С точки зрения холодной разреженной Вселенной будущего это будет выглядеть как новый Большой взрыв.

Пылевидная стадия доминировала при возрасте Вселенной от 50 тыс. до нескольких миллиардов лет. От Большого взрыва до 50 тыс. лет у Вселенной было релятивистское уравнение состояния. До Большого взрыва, согласно наиболее популярной теории инфляции, доминировал вакуум с экспоненциальным раздуванием пространства. Под Большим взрывом понимается начало горячей стадии вселенной — разогрев после инфляции.

Как рождаются и размножаются вселенные

Как уже сказано, вселенных может существовать сколько угодно. Сразу возникает вопрос: а где они, другие вселенные? Вопрос не имеет смысла, поскольку понятие «где» привязано к нашему пространству, к его координатам, которые невозможно продолжить за его пределы. В примере с двумерной сферой-вселенной можно предположить, что где-то сбоку находится другая сфера-вселенная. Для двумерных обитателей первой вопрос о том, где вторая, бессмыслен в терминах их пространства. Они могут сказать: наверное, где-то в третьем измерении есть другая вселенная. В нашем примере они окажутся правы, но это будет не более чем догадка: они не могут знать, есть ли вообще третье измерение. Но лишнее измерение вовсе не обязательно — оно не требуется для существования разных пространств. Для того чтобы вести разговор о других вселенных, нам не надо предполагать, что мы живем на бране и есть просторное четвертое или пятое измерения — может, они есть, но, скорей всего, их нет, поскольку это лишняя сущность, которая требует для своего объяснения дополнительных усилий. Логичней просто отставить вопрос «где?» как лишенный смысла.

Есть один весьма привлекательный сценарий рождения и размножения вселенных. Он очень сильно связан с квантовой механикой. Звучит парадоксально: вселенная — нечто огромное, квантовая механика — явление микромира. Тем не менее в самом истоке при огромных плотностях и ничтожных временах она определяет будущее бытие огромной вселенной.

Сценарий рождения вселенной, изложенный ниже, — всего лишь рассуждения, хотя он кажется весьма правдоподобным. Квантовая механика очень плохо поддается объяснению на пальцах, поэтому описать этот сценарий в популярной книге без чудовищных упрощений практически невозможно. Попробуем опереться на соотношение неопределенностей Гейзенберга: $\Delta{E}\cdot\Delta{t}=\hbar/2$, где $\hbar$ — постоянная Планка (в других переменных ­$\Delta{p}\cdot\Delta{x}=\hbar/2$). Обычно соотношение трактуется как невозможность одновременно измерить две величины с точностью лучшей, чем диктует эта простая формула. Но его можно приблизительно применять к разным «чудесам», которые квантовая механика разрешает. Например, туннелирование. Если частице, чтобы проскочить потенциальный барьер, надо провести под ним время $\Delta{t}$ с нарушением закона сохранения энергии на величину $\Delta{E}$ (в конце энергетический баланс сойдется), так что для этих «дельт» выполняется соотношение неопределенности, то подбарьерный переход идет со свистом. Даже если их произведение в $k$ раз больше, чем $\hbar/2$, то туннелирование всё равно возможно, только с гораздо меньшей вероятностью: $p \sim e^{-k}$ — это имеет прямое отношение, например, к радиоактивным распадам ядер.

А нельзя ли объяснить рождение вселенной туннельным переходом из ничего в маленькую замкнутую вселенную? Это вполне легальная постановка вопроса. Проблема в том, что эта микроскопическая вселенная мгновенно схлопнется. Чтобы этого не произошло, она должна быть достаточно большой (много больше, чем так называемая планковская длина, 10^–33 см) и нужно, чтобы она достаточно равномерно была заполнена так называемым инфлатоном — вакуумом ненулевой плотности. Тогда микроскопический зародыш вселенной начнет экспоненциально раздуваться, как это свойственно вакуумному уравнению состояния (см. выше). Это раздувание необратимо — вместо того чтобы тут же схлопнуться, пузырек пространства превращается в настоящую огромную вселенную, а точнее — в мультиверс (см. ниже).

Квантовая механика дает еще один сюрприз. Благодаря ей в быстро раздувающейся вселенной возникает «рябь» из-за квантовых флуктуаций плотности. В нашей Вселенной амплитуда этой ряби, реконструированная через анизотропию реликтового излучения, ~10^–5. Значение амплитуды можно очень грубо связать с плотностью инфлатона, исходя из принципа неопределенности. Здесь в роли временно́й неопределенности выступает время, за которое пространство растягивается в е-раз, это обратная величина постоянной Хаббла, т. е. $\Delta{t} = 1/H$, типичный размер пятен ряби в момент рождения — порядка радиуса сферы Хаббла $с/Н$. Отсюда флуктуация энергии инфлатона в объеме сферы Хаббла $\Delta E \sim \hbar H$, а энергия в этом объеме $E \sim \rho с^2(с/Н)^3$, где $\rho с^2$ — плотность энергии инфлатона. Осталось выразить $Н$ через $\rho$ с помощью решения уравнения Фридмана для вакуума: $Н^2 \sim G\rho$ (см. выше). Относительная амплитуда ряби по порядку величины получается равной

$$\frac{\Delta E}{\rho}\sim\frac{\hbar{H^4}}{\rho{c^5}}\sim\hbar\rho{G^2}/c^5\sim\frac{\rho}{\rho_{pl}},$$

где $\rho_{pl}$ — планковская плотность ($\hbar\rho{G^2}/c^5$ ~ 10⁹⁴ ­г/ см³), при которой само пространство-время испытывает сильнейшие квантовые флуктуации. Здесь надо учесть, что энергия локальных возмущений пропорциональна квадрату амплитуды возмущений величины и плотности энергии инфлатона (как у гармонического осциллятора). В конечном счете получаем $(\Delta\rho/\rho)^2 = \rho/\rho_{pl}$. Значит, если относительная амплитуда возмущений плотности ~ 10^-5, то инфляция в нашей Вселенной шла при $\rho/\rho_{pl}$ ~ 10^-10.

Это то, что называется «оценка из соображений размерности». Оказывается, эта оценка дает примерно правильную величину тензорных возмущений пространства, из которых ­происходят ­реликтовые гравитационные волны. Но со скалярными возмущениями плотности дело обстоит сложней: они сильно зависят от природы инфлатона — от вида его ­потенциала, так что реальная оценка может отличаться больше чем на порядок. И всё же мы ее приводим для приблизительной ориентации. Так мы видим, что инфляция шла при плотности энергии существенно ниже планковской. Более точные оценки, вытекающие из того, что мы не видим реликтовых гравитационных волн, — $\rho/\rho_{pl}$ < 3 · 10^-12, несмотря на то, что мы наблюдаем возмущения плотности $\Delta\rho/\rho$ ~ 10^-5. Мы также видим, что сейчас тоже происходят квантовые флуктуации с относительной амплитудой ~ 10^-60 (плотность темной энергии по отношению к планковской порядка 10^-120).

Эти квантовые флуктуации, при их, казалось бы, ничтожной амплитуде в одну стотысячную и начальном размере 10^-27 см, со временем превращаются в галактики и их скопления, что заслуживает отдельного разговора. Сейчас сосредоточимся на их роли в размножении вселенных. Представьте себе рябь на поверхности надуваемого шарика: там, где плотность энергии выше, поверхность растягивается быстрей — так работает общая теория относительности (в противоположность тому, что происходит в механике упругих материалов). Если середина более плотного участка раздувается быстрее, чем его края, это можно изобразить как надувание выпуклости на пузыре. Экспонента создает из небольшой разницы в темпе расширения радикальный эффект: на шарике вырастает дочерний пузырь, на нем — еще один. Между родительскими и дочерними пузырями возникают перетяжки, пузыри обособляются в отдельные вселенные, а перетяжки превращаются в соединяющие их кротовые норы, которые быстро испаряются или просто становятся непроходимыми.

Это всё считается в рамках ОТО. Первыми этот сценарий рассчитали Виктор Березин, Вадим Кузьмин и Игорь Ткачев в 1983 году [2]. Они сделали это для вселенной на тонкостенной бране (тонкостенный трехмерный (3+1) пузырь в четырехмерном (4+1) пространстве). Брана, будучи технически более простым случаем, при этом не обязательна: в замкнутом пространстве без дополнительных измерений результат тот же.

Попытка визуализации размножения вселенных показана на рис. 1 в самом начале статьи. Рисунок рядом на самом деле информативней — пузыри, растущие из пузырей, имеют совершенно разный масштаб и образуют фрактальную структуру. Пена вселенных — скорее метафора, она не отражает гигантской разницы масштабов пузырей. Опять встает вопрос — где они все размещаются при безудержном размножении? Да нигде — опять же вопрос «где?» подразумевает некое внешнее пространство, которого, скорее всего, нет. Каждая «помещается» в своем собственном пространстве.

Таков сценарий рождения и размножения вселенных. Размножение в процессе раздувания называется «вечной инфляцией». В сценарии есть два слабых места. Менее принципиальное: мы не знаем природы инфлатона, который раздул нашу Вселенную. В теории есть разумные идеи, откуда такой инфлатон может появиться. Более принципиальное слабое место: рассчитать процесс рождения вселенной «из ничего» мы не можем, можем только рассуждать о нем. Дело в том, что квантовая механика в современной теории не сочетается с сильной гравитацией. Существуют попытки решить эту проблему, одна из них — теория струн, но пока это лишь попытки. Зато вечная инфляция — гораздо более надежная концепция. Она не связана с предельно сильной гравитацией, когда теория перестает работать. Там квантовая теория поля выступает лишь в виде небольших возмущений, с которыми можно оперировать. Про рождение вселенных в ходе вечной инфляции можно говорить гораздо уверенней.

Итак, космология однородной изотропной вселенной достаточно проста и сводится к трем основным случаям, каждый из которых играл роль в эволюции нашей Вселенной. Более-менее просматривается прошлое Вселенной до момента ~10^–37 c, когда до квантовой гравитации еще далеко. Сам механизм рождения пока не виден во мгле квантовой гравитации. Но как только появился зародыш вселенной размером, например, 10^–29 см, заполненный более-менее однородным инфлатоном, его дальнейшая судьба предопределена и понятна.

Автор благодарен Валерию Рубакову за ценные замечания и полезную информацию

1. Борис Штерн. Космологический ликбез. Что такое Вселенная // ТрВ-Наука № 330 от 1 июня 2021.

2. Berezin V. A., Kuzmin V. A., Tkachev I. I. Thin-wall vacuum domain evolution. Phys. Lett. 120B, 91 (1983)