Многим из читателей наверняка известны такие парадоксальные объекты, как нетранзитивные игральные кости: игральный кубик А чаще побеждает В, чем проигрывает ему; кубик В чаще побеждает С, чем проигрывает ему; но кубик С чаще побеждает А, чем проигрывает ему, — по принципу игры «Камень, ножницы, бумага». (Подробнее об этом и других парадоксах нетранзитивности я уже рассказывал на страницах ТрВ-Наука [1].) По мнению Мартина Гарднера, нетранзитивные игральные кости «позволяют глубже осознать значение недавних открытий, связанных с общим классом вероятностных парадоксов, в которых нарушается правило транзитивности. С помощью любого из этих наборов игральных костей вы можете держать пари в условиях, настолько противоречащих интуиции, что опытные игроки почти не в состоянии разобраться в них, даже если они полностью проанализируют ход игры» [2].
Изобретено уже немало наборов нетранзитивных костей, обладающих разными свойствами. Это кости Б. Эфрона, изначально описанные Гарднером; кости Т. Бирдон с числами π, e, ϕ [3]; кости Дж. Грайма, такие, что при удвоении набора (игрок бросает две одинаковые кости одновременно) меняется направление «битья» (если в одинарном наборе A>B>C>A, то в двойном AA<BB<CC<AA) [4]; кости О. ван Девентера для игры втроем (какие бы кости ни выбрали первые два игрока, третий всегда может выбрать такую, которая будет чаще «бить» первые две, чем проигрывать им); кости для игры вчетвером Э. Пегга мл. [5] и т. д.
Я долго размышлял об этих и других наборах и в своем недавнем докладе [6] на теоретическом семинаре «Формальная философия» в НИУ ВШЭ ввел понятие метанетранзитивности (со знаком вопроса).
Дело вот в чем. Все эти разные наборы нетранзитивных костей можно сравнить друг с другом и однозначно линейно упорядочить по степени нетранзитивности: есть наборы, в которых она выражена слабо (кости побеждают друг друга с вероятностью чуть больше 50%), и есть наборы, в которых она выражена сильно (кости побеждают друг друга с вероятностью до 75% — это доказанный предел). Иными словами, наборы нетранзитивных костей можно упорядочить строго транзитивно.
| Набор 1 | Набор 2 | Набор 3 | |||||||
| Кость 1 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 3 | 2 | |
| 3 | 4 | 5 | 4 | 5 | 3 | 5 | 3 | 4 | |
| 3 | 4 | 5 | 4 | 5 | 3 | 5 | 3 | 4 | |
| 3 | 9 | 5 | 9 | 5 | 3 | 5 | 3 | 9 | |
| 6 | 9 | 6 | 9 | 6 | 6 | 6 | 6 | 9 | |
| Кость 2 | 2 | 1 | 3 | 1 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 3 | 1 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 | |
| 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 2 | 4 | 2 | 6 | |
| 5 | 6 | 4 | 6 | 4 | 5 | 4 | 5 | 6 | |
| 5 | 8 | 4 | 8 | 4 | 5 | 4 | 5 | 8 | |
| 5 | 8 | 9 | 8 | 9 | 5 | 9 | 5 | 8 | |
| Кость 3 | 1 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | 3 |
| 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 4 | 3 | |
| 4 | 5 | 3 | 5 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 | |
| 4 | 5 | 3 | 5 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 | |
| 4 | 7 | 7 | 7 | 7 | 4 | 7 | 4 | 7 | |
| 4 | 7 | 9 | 7 | 9 | 4 | 9 | 4 | 7 | |
В связи с этим я поставил вопрос: возможны ли метанетранзитивные системы? В каждой из таких систем есть нетранзитивные циклы превосходств, но и сами эти системы образуют свои нетранзитивные циклы. При этом я думал о сложных биологических, социальных, биосоциальных, технологических «ризомных» системах, самоподдерживающихся и развивающихся, для которых, похоже, пока нет адекватной математики.
Но оказалось, что всё начинается с более простого и в каком-то смысле более фундаментального уровня — уровня математической комбинаторики. Алексей Лебедев, докт. физ.-мат. наук, доцент МГУ, автор публикаций по совершенно новой теме — изучение нетранзитивностей непрерывных распределений [7], принимавший участие в семинаре, на следующий день прислал мне описание общей идеи, а затем — конкретный пример (табл. 1). Это метанетранзитивные кости (метакости): три набора костей, в каждом из которых кости образуют свой нетранзитивный круг, а отношения между тремя наборами тоже нетранзитивны!
Устроены они так (далее цитирую Алексея Лебедева). «На каждой грани кости пишется не одно, а три числа: красное, зеленое и синее. После каждого броска костей игрок получает фишку соответствующего цвета, если у него выпало красное, синее или зеленое число больше, чем у противника (это не взаимно исключающие случаи, больше могут быть одновременно два или все три числа). Считаем, что одна кость превосходит другую, если средние выигрыши по всем цветам фишек больше 1/2. Выигрышности набора костей считаем отдельно по каждому цвету (т. е. это три числа). Считаем, что один набор костей превосходит другой, если он превосходит его по выигрышностям хотя бы для двух цветов.
Таким образом, каждый набор получается нетранзитивным, и набор этих наборов тоже нетранзитивен (в смысле введенных отношений превосходства на костях и наборах)».
Итак, известные наборы нетранзитивных игральных костей пополнились совершенно новым типом — метакостями, изобретенными Алексеем Лебедевым. С одной стороны, это радость для любителей математических задач. С другой стороны, мне представляется, что здесь есть пока не раскрытый потенциал серьезных математических исследований. Напомню, что в 2017 году к разработке темы нетранзитивных игральных кубиков, позволяющей развить понимание теории вероятности, подключился филдсовский медалист Тимоти Гауэрс [8]. Какие проблемы позволят ставить и решать метакости разных типов? Надеюсь, скоро мы узнаем.
Александр Поддьяков,
докт. психол. наук, проф. НИУ ВШЭ, гл. науч. сотр. ИП РАН
1. Поддьяков, А. Н. От нетранзитивности спермы к нетранзитивным композитам // ТрВ-Наука. № 276 от 9 апреля 2019 года.
2. Гарднер, М. Крестики-нолики. М.: Мир, 1988, стр. 63–64.
3. Beardon T. Transitivity.
4. Grime G. Non-transitive Dice.
5. Pegg Jr. E. Tournament Dice.
6. Поддьяков, А. Н. Понимание нетранзитивности превосходства и объекты экспериментального интереса в разных областях и парадигмах. Доклад на заседании научно-теоретического семинара «Формальная философия» 30 июня 2021 года. Презентация: llfp.hse. ru/data/2021/07/01/1431522043/новые%20слайды.pdf; Видео: youtube.com/watch?v=r4EXVmq6lLY
7. mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=18394
8. D. H. J. Polymath. The probability that a random triple of dice is transitive.
