Джордж Буль — предтеча искусственного интеллекта

Родился Джордж 2 ноября 1815 года в городке Линкольн на востоке Англии. Отец его, Джон, был сапожником, но гораздо больше его интересовали математика и изготовление своими руками оптических приборов. Получил ли Буль-старший какое-то образование, неизвестно — скорее всего, он был самоучкой. Венцом его трудов стало создание телескопа, который он гордо выставил в витрине мастерской, собственноручно написав большой плакат: «Все желающие с благоговением взглянуть на труды Господа нашего приглашаются посмотреть в этот телескоп».

Вряд ли жители Линкольна читали басню дедушки Крылова «Щука и кот»: «Беда, коль пироги начнет печи сапожник, а сапоги тачать пирожник», — но, видимо, исходя из той же логики решили, что телескоп можно приравнять к пирогам, так что в итоге отец Джорджа разорился.

Внук Джорджа Буля, сэр Джеффри Тэйлор, ставший к середине 1950-х годов известным математиком, вспоминал, что получил в наследство ящичек от прадедова телескопа, на дне которого рукой его бабушки, вдовы Джорджа, было написано: «Похоже, он всё мог делать прекрасно, всё, кроме своей работы». Тем не менее сэр Джеффри указывает, что, видимо, не всегда у его предков дела шли так уж плохо, раз он получил в наследство также серебряные ложечки с монограммой прадеда.

Джон много занимался образованием сына, прививая ему любовь к наукам и языкам. В результате Джордж самостоятельно овладел латынью и греческим, а позднее французским и немецким. Посещал он обычную начальную школу, а потом что-то вроде коммерческого училища.

В июне 1830 года местная газета опубликовала перевод поэмы старого греческого автора, с указанием, что выполнил его 14-летний ученик (без упоминания имени). Некий возмущенный читатель обвинил его в плагиате, хотя указать, откуда был украден перевод, не смог. Он отказывался поверить, что некий подросток способен на такой подвиг. Этим подростком был, конечно, Джордж Буль.

То, что его способности гораздо выше средних, было ясно всем. Вначале он намеревался посвятить себя литературному труду, потом стал всерьез подумывать о получении сана, но в конце концов отказался от обеих идей. Ведь сначала потребовалось бы получить приличное университетское образование, но денег, увы, не было. Более того, вскоре Джорджу пришлось искать работу — он оказался единственным кормильцем всей семьи.

В 16 лет Буль начал преподавать математику и латынь в частной школе в городке Донкастер, но надолго там не задержался. Его обвинили в недостаточной религиозности и уволили: он позволял себе читать книги по математике по воскресеньям, да притом в часовне. Потом он поработал еще в одной школе и еще в одной, но и там пришелся не ко двору.

Джордж всё же как-то наскреб небольшую сумму и открыл неподалеку от родного Линкольна собственную школу-пансион, которая сразу стала пользоваться успехом. Он принимал совсем маленьких мальчиков и учил их по собственной методике. Малышей он брал потому, что, по его словам, они еще не были испорчены плохим образованием. Его педагогическая деятельность продлилась целых 15 лет. Благодарные жители Линкольна постановили изобразить в его честь на витраже в местном соборе его любимый эпизод из Библии, где Господь призывает к себе пророка Самуила. Витраж сохранился по сей день.

Годам к семнадцати Джорджа всё больше стала занимать математика. Позже он как-то сказал жене, что, имея очень скромные средства, предпочитал книги по математике, потому как на их прочтение и усвоение уходило гораздо больше времени, чем на классическую литературу. Потому книги можно было покупать редко и тем экономить деньги.

Одним из первых усвоенных Булем трудов стала «Аналитическая механика» Лагранжа, прочитанная им на французском. В 19 лет он пишет короткое исследование «О гении и открытиях сэра Исаака Ньютона», где сравнивает методы Лагранжа и Ньютона.

«Усилиями Лагранжа возмущенные движения планет со всеми их сложностями и особенностями сводятся к чисто математической задаче. Физическая проблема исчезает. Также исчезают возмущающая и возмущенная планеты. Представления о времени и силах более не нужны. Даже элементы орбиты либо исчезают, либо остаются в математической формуле лишь в виде произвольных символов», — писал Буль. Уже здесь намечается столь ярко проявившаяся позднее его тяга к выбору или созданию такой нотации, которая как бы сама по себе позволяла бы получать решение задач, не требуя затрат умственной энергии.

Хотя преподавание отнимало вроде бы всё свободное время, Буль успевал писать научные статьи по математике. Их печатали, хотя поначалу и анонимно, но в конце концов Джордж сделал себе имя, опубликовав статью «Об общем методе анализа», за которую Лондонское королевское общество удостоило его золотой медали, первой такой награды, присвоенной за работу по математике. Случилось это в 1844 году, когда ему было 29 лет. Занимался он и другими областями математики, в частности теорией инвариантов, статистикой и теорией вероятностей, причем в каждую из них внес весьма существенный вклад.

В 1849 году Буль получил приглашение занять пост профессора математики во вновь созданном Королевском колледже в городе Корк на юго-западе Ирландии. В то время Ирландия была частью Британской империи, нередко бунтовала против англичан и требовала, например, создания собственного католического университета. На это англичане не пошли, но небольшой колледж без какой-либо конфессиональной ориентации всё же решили открыть.

В этот колледж на пост профессора математики и подал свои бумаги Буль. Назначение состоялось незамедлительно, хотя у претендента не было не только ученой степени, но даже школьного аттестата. Сказались его высокая репутация плюс медаль Королевского общества, членом которого он к тому времени уже являлся.

Профессорство значительно улучшило материальное положение Буля, и он стал подумывать о женитьбе. Избранницей стала Мэри Эверест, семнадцатью годами его моложе. В юности она интересовалась алгеброй, и Джордж давал ей уроки, за которыми последовала долгая переписка, а в конце концов и женитьба.

В своих записках Мэри выразилась так: «Я ничего не знала о Господе, кроме того, что он создал Алгебру. Я всегда считала это достаточной причиной любить его всей душой и всем сердцем. Он сделал меня способной понять Алгебру, и в своем всемогуществе мог сделать это только из безграничной любви ко мне».

Несмотря на некоторую экзальтацию, Мэри была вполне здравомыслящей девушкой и решила навести справки о потенциальном супруге. Одна из дам сообщила ей: «Он мне не нравится, мне неприятно находиться в его обществе. Я не люблю таких слишком уж хороших людей. Он никогда не показывает, что считает вас испорченной, но, когда вы находитесь рядом с таким почти что святым, невольно возникает ощущение, что он шокирован вашим присутствием. Из-за него я чувствую себя очень испорченной, но я не против, когда он берет моих детей на прогулку. Там я за них не беспокоюсь». Другая дама рассказала, что Джордж такой человек, с которым можно спокойно отпустить на прогулку свою несовершеннолетнюю дочь. После таких отзывов брак не мог не состояться.

Видимо, Буль очень любил детей и умел найти с ними общий язык. Современник рассказывал, что в Линкольне соседские мальчишки запросто зазывали его поиграть с ними. Он умел так здорово подражать львиному рыку, что детишки в притворном ужасе разбегались кто куда.

Обращает на себя внимание девичья фамилия Мэри. Ее родной дядюшка сэр Джордж Эверест был начальником Британской геодезической службы в Индии. Его именем и названа высочайшая вершина нашей планеты. Правда, к его чести нужно отметить, что он был против, утверждая, что не имеет к горе никакого отношения, что за все годы работы в Индии даже ни разу ее не видел. Но Британское географическое общество после нескольких лет колебаний всё же постановило увековечить сэра Джорджа таким образом, и он в конце концов с этим смирился.

Брак Мэри Эверест и Джорджа Буля оказался очень удачным. Позднее она вспоминала его как «светлый сон». С завидной регулярностью, каждые два года, она приносила ему детей. Общим числом пятерых. Все были девочки. Рискуя быть обвиненным в сексизме, всё же предположу, что он мечтал о сыне, ведь половину жизни Буль провел в школе среди мальчиков (девочек тогда учить считалось необязательным). Правда, семейное предание гласит, что сразу после рождения первой дочери он бросился к соседям и, стуча в одну дверь за другой, радостно кричал: «У меня родилась дочь! И она самая красивая на свете».

Счастливый брак продолжался всего девять лет. Хмурым, холодным и дождливым утром конца ноября 1864 года Буль, как обычно, отправился пешком в колледж. По дороге он сильно промок и озяб, но. верный своему долгу, отстоял все лекции в мокрой одежде. Естественно, он простудился, а простуда быстро перешла в воспаление легких.

Преданная Мэри, верная своей приверженности гомеопатии, стала лечить подобное подобным. Раз муж заболел от холода и сырости, то и лечить его надо заворачивая в мокрые простыни. Нужно ли говорить, к чему привела такая «шоковая терапия»? Вечером 8 декабря Джордж Буль скончался. Мэри пережила мужа на 52 года.

Мэри смогла вырастить и воспитать дочерей в одиночку. Все они стали достойными членами общества, но в историю никто не попал. За одним исключением. Этим исключением стала самая младшая дочь — Лили, Этель Лилиан.

В молодости Лили связалась с кружком русских революционеров, которых тогда в Англии было великое множество. Выполняя какое-то их поручение, она поехала в Россию через Польшу, которая тогда была частью Российской империи. В Варшаве через зарешеченное окошко тюремной камеры ее увидел польский революционер Вильфред Войнич. Позднее ему удалось бежать и добраться до Англии, где он снова увидел Лили, и вскоре они поженились. Такова, по крайней мере, легенда.

В 1897 году Лили опубликовала в США романтический роман о революционерах «Овод». На следующий год он был переведен на русский и сразу же стал пользоваться огромным успехом. Его многократно переиздавали в СССР. В школьную программу он не входил, но был включен в число рекомендованной литературы для молодежи. В издании 1988 года указывалось, что «Овод» был любимой книгой Юрия Гагарина. Роман в СССР трижды экранизировали, последний раз в 1980 году.

К огромному изумлению читателей выяснилось, что в 1955 году писательница Этель Лилиан Войнич, которую все считали давно почившей, еще была жива и проживала в Нью-Йорке. Там ее посетили советские писатели и вроде бы вручили 15 тыс. долл. в качестве гонорара за все издания и переиздания ее романа. Скончалась Войнич в 1960 году в возрасте 96 лет. Ее именем назван кратер на Венере.

* * *

А именем ее отца назван кратер на Луне — да еще алгебра, булева алгебра. Вот о ней дальше и пойдет речь.

В своих ранних работах Буль применял методы традиционной алгебры к тому, что в математике называется операторами. Буля особенно интересовали дифференциальные операторы. Он показал, как можно решить некоторые дифференциальные уравнения, применяя к дифференциальным операторам методы обычной алгебры. Строгость доказательств его не очень волновала: ему было достаточно убедиться на нескольких примерах, что его метод работает, а о более строгих доказательствах он не заботился. В математике это считается большим грехом, но Булю его прощали, возможно потому, что он не получил должного образования.

Однако его главной целью было не нахождение удобных методов применения алгебры к конкретным разделам математики, а изложение на языке алгебры процесса мышления. Ньютон открыл законы природы, а Буль намеревался найти законы разума. Можно сказать, что он попытался создать формальные правила, которым подчинялся бы искусственный интеллект.

Булю не было и восемнадцати, когда ему пришло в голову, что высказывания и суждения логиков из числа последователей Аристотеля можно записать на языке алгебры. Поначалу это была лишь смутная догадка, но постепенно она обретала всё более ясные очертания. Так в 1854 году появился на свет его капитальный труд объемом 424 страницы под названием «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей», обычно коротко называемый «Законы мышления».

Написана книга в принятой тогда классической манере, что несколько затрудняет чтение, но зато придает тексту особую прелесть и аромат того времени. Похоже, что этот труд Буля на русский не переводился, а потому придется приводить из него довольно обширные цитаты. Он того заслуживает.

В предисловии Буль пишет: «Надеюсь, что сейчас, когда труды автора близятся к завершению, а о результатах этих трудов можно будет судить по их плодам, ему будет позволено сказать несколько слов о тех чувствах, которые двигали им в процессе работы и которые теперь не имеют более значения. Он никогда не сомневался в том, что усилия его не напрасны, он был уверен, что, какая бы истина ни появилась на свет, она не есть лишь его личное мнение и не зависит от чьих-либо взглядов. Он полностью отдает себе отчет в том, что многие ученые и сведущие люди придерживаются взглядов на Логику полностью противоположных мнению автора, на котором основывается вся его аргументация и все изложенные здесь процедуры. Хотя он был уверен, что их взгляды ошибочны, он сознавал, что и его собственные взгляды могли быть неверны по причине иного рода. Он осознавал опасность, которую таит в себе в процессе поиска истины упорное следование одному ходу мыслей. Но он убежден, что из столкновения различных мнений именно эта истина и воспоследует, но уже без каких-либо личных вкраплений, что ее разные грани станут ясны в должном соответствии и что ни одна из них не будет оцениваться слишком высоко или слишком низко». Витиевато, но занятно. Отсюда же ясно следует, что многие были против его идей.

А вот как Буль определяет цель своих трудов в первом же параграфе первой главы. «Цель этого трактата состоит в том, чтобы исследовать фундаментальные законы тех операций разума, благодаря которым мы мыслим; выразить их на символическом языке Счисления и на этом фундаменте возвести науку Логику и дать ее метод; сделать этот метод основой общего метода… и, наконец, извлечь из различных элементов проявляющейся таким образом истины некоторые возможные следствия, относящиеся к природе и сути человеческого разума».

После многословных и многостраничных объяснений сути своего метода и роли символов в языке и в математике Буль наконец переходит к делу.

«Ясно, что порядок, в котором идут символы, значения не имеет. Выражения xy и yx одинаково представляют тот класс предметов, к которым совместно применимы описания x и y. Отсюда получаем xy=yx. Если x обозначает белые предметы, а y — овец, каждый член нашего уравнения представляет класс белых овец». Добавление члена z со свойством «рогатый» означало бы, что выражение xyz соответствует белым овцам рогатым. Пока ничего революционного.

И тут Буль как бы между прочим отмечает, что xx=x, то есть применение класса предметов к предмету, относящемуся к этому классу, дает сам предмет. А вот это уже что-то новое! В школьной алгебре такое уравнение тоже возможно, но у Буля оно имеет иной смысл: овца из класса овец есть овца.

А ведь это был поразительно смелый шаг! Теперь нужно лишь найти числа, которые удовлетворяли бы этому уравнению. Решение очевидно — это 0 и 1. Разница по сравнению со школьной алгеброй в том, что там 0 и 1 есть просто некие числа и в школьной алгебре чисел может быть сколько угодно, тогда как у Буля их только два и они имеют смысл ложно (0) или истинно (1).

Буль поставил себе задачу показать, что рассуждения формальной логики (силлогизмы) типа «Все люди смертны, Сократ — человек, значит, Сократ смертен» в конечном счете сводятся к выводу об истинности или ложности результатов таких цепочек рассуждений. Значит, вместо слов можно подставить математические символы и, пользуясь алгебраическими преобразованиями, получить решение в виде 0 или 1.

Буль подробно описывает законы, которым подчиняются выражения в его алгебре, указывая, что все они аналогичны законам обычной алгебры. Например, от перестановки мест слагаемых (сомножителей) сумма (произведение) не меняется, и прочие, которые нет смысла здесь перечислять. Сейчас операции над логическими символами принято обозначать AND, OR, NOT, IF. AND у Буля соответствует умножению xy, OR соответствует сложению x+y, NOT есть отрицание (обозначается черточкой над символом), то есть присвоение противоположного свойства, а IF — условный оператор.

Тут не повредит парочка примеров. Пусть нас по какой-то причине интересуют студентки, притом блондинки и отличницы. Обозначим свойство «блондинка» через x, а свойство «отличница» через y. Тогда xy будет блондинка и отличница, а x+y будет или блондинка, или отличница. Теперь мы хотим проверить истинность такого утверждения: «Данная студентка — блондинка и отличница». Его истинность, естественно, зависит от истинности x и y. Каждая отдельно взятая студентка может иметь или не иметь оба эти свойства, а может иметь только одно из них. И тут на помощь приходит алгебра Буля. Вот его таблица умножения:

0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1

Переведем эти строчки на человеческий язык. Первая студентка не блондинка и не отличница — утверждение ложно. Вторая не блондинка, но отличница — утверждение ложно. Третья — блондинка, но не отличница — утверждение ложно. И только для четвертой утверждение истинно, ибо она и блондинка, и отличница.

Далее нам нужно проверить истинность иного утверждения: «Данная студентка — или блондинка, или отличница, или и то и другое». В таком случае потребуется таблица «сложения», то есть применение оператора OR.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

Легко видеть, что если в первом примере (при применении оператора AND) утверждение оказывалось истинным лишь в одном случае из четырех, то при применении оператора OR утверждение оказывалось истинным в трех случаях из четырех, что понятно, так как здесь для истинности достаточно, чтобы хотя бы один из входных параметров был истинным. Это так называемое неисключающее ИЛИ, NOR.

А есть и исключающее ИЛИ, XOR (именно им и пользовался Буль). Тогда проверяется истинность утверждения: «Данная студентка — или блондинка, или отличница, но не то и другое». В данном случае таблица «сложения» выглядит несколько иначе (кстати, эти таблицы называются таблицами истинности):

0 ⊗ 0 = 0
0 ⊗ 1 = 1
1 ⊗ 0 = 1
1 ⊗ 1 = 0

Но ведь это элементарно! До этого каждый мог бы додуматься, если бы сильно постарался. Возможно, что первым додумался Джордж Буль, и в этом его заслуга. Ведь нас интересуют не индивидуальные качества студенток, даже если они к тому же еще и умницы и красавицы. На их месте могли бы оказаться брюнеты-двоечники, или птички с короткими клювами и длинными хвостами, или вообще что угодно, имеющее состояния истинно или ложно. Важно то, что придуманная Булем алгебра позволяла вне зависимости от смысла членов уравнений (а таких уравнений могут быть сотни, тысячи, десятки тысяч) проводить над ними стандартные алгебраические операции и получать результат (истинно или ложно) как по волшебству.

Вот еще один, несколько более сложный, пример из повседневной жизни¹. Бестолковый Вася не может найти свою банковскую карточку, и на помощь ему приходит умная жена Зина.

Зина: А не забыл ли ты её в магазине, когда вчера утром закупался по моему списку?

Вася: Да нет, я уж туда сбегал. Там ее нет.

Зина: Погоди, но ведь ты же вчера расплачивался карточкой в ресторане, где мы ужинали. Я точно помню, как ты положил ее в бумажник, а бумажник — в боковой карман синей куртки.

Вася: Но сегодня я надевал красную куртку, и там бумажника нет.

Зина: Так поищи в кармане синей, балда.

Вася: Точно, вот бумажник с карточкой. Какая ты умница!

В своем диалоге Вася и Зина исходили из следующего:

L = Вася оставил карточку в магазине.

F = Карточка нашлась в магазине.

W = Вася платил карточкой вчера в ресторане.

P = Заплатив карточкой в ресторане, Вася положил ее в карман синей куртки.

H = Со вчерашнего вечера Вася карточкой не пользовался, и в красной куртке ее нет.

S = Васина карточка лежит в синей куртке.

Вот как это представляется в символьном виде:

IF L, то F.
NOT F.
W AND P.
IF W AND P AND H, то S.
H.

Результат:

NOT L.
S.

Очень коротко продемонстрирую, как диалог Васи и Зины можно записать в виде системы уравнений и получить ее решение. В алгебре Буля X (1 — Y) = 0, что соответствует выражению IF X, то Y. Тогда диалог записывается такой системой уравнений:

L (1 — F) = 0 (1)
F = 0 (2)
WP = 1 (3)
WPH (1 — S) = 0 (4)
H = 1 (5)

Для решения будем пользоваться привычными приемами школьной алгебры. Подставив второе уравнение в первое, сразу получим L = 0, то есть Вася не оставлял карточку в магазине. Подставляя третье и пятое уравнения в четвертое, получаем 1 — S = 0, то есть S = 1, а значит, Васина карточка лежит в синей куртке.

В качестве совсем уж сложного примера Буль приводит свой подход к анализу известного в кругах богословов аргумента английского философа начала XIX века Сэмюела Кларка, стремившегося логическим путем доказать бытие Божие.

Приведу кусочек занятных рассуждений Буля.

1. Что-то существовало всегда.

2. Если что-то существовало всегда, то либо существовало одно неизменное и независимое существо, либо совокупность существующих вещей была познана последовательностью изменяемых и зависимых существ.

3. Если Вселенная представляла собой последовательность изменяемых и зависимых существ, такая последовательность имела причину либо извне, либо изнутри.

4. У Вселенной не было причины извне (поскольку, согласно нашей гипотезе, она включает в себя всё сущее).

5. У Вселенной не было причины изнутри (поскольку ни одна часть не является необходимой, а если так, то и целое не может быть необходимым). И т. д., и т. п.

Похоже, такое доказательство бытия Божия не произвело особого впечатления на современников, как, впрочем, и булевские законы мышления. Математики позднее пошли по проложенному им пути и в конце концов создали новую область математики — математическую логику и ее подраздел, булеву алгебру. Мне попадались статьи, в которых утверждалось, что булева алгебра — это не то же самое, что алгебра Буля. Судить не могу. Математикам виднее. Но факт, что за пределами чистой математики булева алгебра не находила себе применения до середины XX века.

Остается лишь привести провидческое замечание Буля. «Я полагаю, что лишь очень немногие области исследований настолько оторваны друг от друга и настолько лишены связи, что не могут в конце концов где-то пересечься для их общего блага».

Джордж Буль оказался прав. Он стал не только предтечей попыток создания искусственного интеллекта, но и одним из основателей современной информационной цивилизации.

Виталий Мацарский

1. Boole G. An Investigation of the Laws of Thought, 1854.

2. Taylor G. George Boole, F.R.S., 1815–1864 // Notes Rec. R. Soc. Lond. 1956. 12. P. 44–52.

3. MacHale D. The Life and Work of George Boole, A Prelude to the Digital Age. Cork University Press, 2014.