Падение преобразователя: четыре вопроса о реформе Колмогорова

Que la armonía del mundo
Medida y número tenga ¹.

Pedro Calderón de la Barca,
El Divino Orfeo

Современный учебник математики

Guarda com’entri e di cui ti fide;
Non t’inganni l’ampiezza de l’intrare ²!

Dante Alighieri, Inferno, 5:18–19

Пятьдесят лет назад в советских средних школах появился учебник геометрии под редакцией Андрея Николаевича Колмогорова, подготовленный в рамках реформы всего школьного курса математики.

Желание приблизить школьный курс к математике XX века высказывалось еще до войны и активно обсуждалось в 1950-е годы. Помню, как десятилетним мальчиком я очень удивился, случайно прочитав где-то, что школьный курс математики заканчивается обсуждением достижений математиков XVII века. Когда же я успею узнать всё то, что сделано после?

Узнай я тогда, что за 20 лет до моего рождения школьный курс геометрии заканчивался обсуждением достижений математиков времен войн за наследство Александра Македонского, я удивился бы еще гораздо сильнее. Юрий Александрович Неретин пишет: «Наше трехмерное пространство с тех пор тоже сильно не изменилось, как и наши представления о нем». Но я не могу согласиться с тем, чтобы наши представления о трехмерном пространстве были те же, что у Эвклида у Архимеда. У них не было исчисления векторов, классификации движений плоскости, доказательства независимости пятого постулата. (Как бы ни поражала наше воображение и сегодня виртуозная трактовка Эвклидом пятого постулата, это изумительное пророчество о Лобачевском.) Из трех тем лишь одна затрагивается в замечательном учебнике Киселёва: третья. Геометрия Лобачевского появляется на полях учебника Киселёва: с тех пор ее обсуждение в школьном курсе и не сделалось более подробным. С другой стороны, отсутствие векторов и геометрических преобразований в школьном курсе геометрии воспринималось как архаизм еще до войны. Стремление приблизить школьный курс к современной математике широко разделялось московскими математиками и преподавателями и подробно обсуждалось в течение более чем 20 лет до начала реформы Колмогорова.

Одним из главных энтузиастов реформы был замечательный математик Алексей Иванович Маркушевич, заместитель миниcтра просвещения РСФСР и автор классического университетского учебника по теории аналитических функций, переведенного на многие языки и активно используемого по сей день.

В начале 1960-х в работу над реформой включился Колмогоров. Под его руководством были составлены новые учебные программы, после чего он сам, в сотрудничестве с небольшим коллективом соавторов и в очень сжатые сроки, написал новые учебники по алгебре и началам анализа и по геометрии.

Учебник по геометрии подвергся резкой критике, перекинувшейся на реформу в целом. В 1978 году Отделение математики АН CCCP приняло решение «признать существующее положение с учебниками и школьными программами по математикe неудовлетворительным». Реформа Колмогорова была официально отвергнута.

Учебники по алгебре и началам анализа под редакцией Колмогорова остались в школе и успешно пережили Советский Союз: в прошлом году вышло 26-е издание учебника для предвыпускного и выпускного классов. Учебник по геометрии был отозван бесповоротно.

Оценки реформы резко расходятся — я слышал как очень теплые отзывы (в частности, от Ник. Ник. Константинова), так и прямо противоположные. Однако критический разбор учебников Колмогорова и, в частности, учебника по геометрии я выношу за скобки этой заметки.

Реформа Колмогорова была несопоставимо мягче, чем ее приблизительные ровесники, реформы на Западе: New Math в Соединенных Штатах и, особенно радикальные, mathématiques modernes во Франции. Откроем, например, оглавление учебника геометрии 1972 года для выпускного класса французского лицея: векторные пространства, линейные отображения, мультилинейные формы, детерминанты.

Изучению les mathématiques modernes во Франции посвящена огромная (и не очень легко обозримая) литература. В Соединенных Штатах недавнo вышла подробная монография «Политическая история New Math» ³. Реформе Колмогорова посвящена замечательная недавняя работа Ю. А. Неретина ⁴.

Ю. А. Неретин сопроводил свою статью подробной подборкой документов (читатель улыбнулся тому уже, что оппонент, а не апологет реформы взял на себя труд собрать документы). Самая волшебная из волшебных сказок не способна так поразить воображение, как сухая документальная хроника советской жизни, и при чтении бережно собранных Ю. А. Неретиным документов я испытывал всё возрастающее изумление.

Hе грежу ли я?

Да ведь даже прогулку в лодке в воскресенье, не правда ли, обсуждают подробно, соотнесясь со внешними условиями и стараясь избегать конфликтов. Возможно ли, что реформа, затронувшая каждую советскую семью, проходила в тех условиях, в которых проходила, и закончилась так, как закончилась?

Kартина, возникающая при чтении документов, несовместимa со здравым смыслом: oдин из величайших математиков в истории человечества предпринимает один из грандиознейших образовательных проектов в истории XX века, проект, касающийся сaмым буквальным образом каждой семьи Советского Союза — предпринимает, имея в своем распоряжении ресурсы, далеко не адекватные задаче, стесненный не очень понятными ограничениями, действуя при общем, за вычетом очень небольшого числа исключений, равнодушии коллег, многие из которых вовсе ничего не знают о реформе? Mы пришли к противоречию?

Я прошу у читателя разрешения высказать мое изумление в форме четырех коротких вопросов. Предвижу возражение, что мои вопросы показывают прежде всего то, как мало я понимаю советский период истории Отечества нашего. И правда: как только меня приняли в пионеры, Советский Союз распался, a в конце 1980-х был не тот, что в конце 1960-х. Если читателю мои вопросы кажутся очевидными, тем легче ему будет мне ответить. Наконец, очень может быть, что я ошибаюсь, и грубо — опираясь на устную традицию, я мог неверно понять кого-то из моих собеседников. В этом случае очень прошу читателей прямо написать о моих ошибках.

1. В каких внешних условиях работал Колмогоров?

Что мог я сделал.
Бóльшего не мог.

Вяч. Иванов. Прометей

Ясно, что Колмогоров не работал в условиях абсолютной творческой свободы, однако о стеснявших его ограничениях я знаю очень мало. Колмогоров постоянно сетует на то, что его очень торопят, а кроме того, на сокращение часов, отведенных математике. Сокращение было радикальным, 15–20% в зависимости от класса. Почему сократили часы? Я понимаю, что речь идет о переходе с восьмилетней школы на десятилетнюю, но не понимаю, как отсюда следует, что нужно сокращать часы.

Kто решал, сколько будет часов математики в неделю? Kто принимал решение об отмене экзамена по геометрии? (Kоторый, конечно, нужно бы вернуть.) Как оно аргументировалось? Что думал по этому поводу сам Колмогоров?

Как был построен диалог с Колмогоровым? Сохранились ли письменные свидетельства? Кто был собеседником Колмогорова в советской администрации? Если Маркушевич, то кто был собеседником Маркушевича?

Почему так быстро и так жестко внедрялись новые учебники, которым не предлагалось никакой альтернативы? В результате контрреформы мы получили несколько комплектов учебников геометрии: все они пережили Советский Союз и печатаются до сих пор. Учебник Погорелова, в первой редaкции, был готов уже в 1969 году — редaкции, составленнoй как книга для учителя, но расстояние от этой книги до учебника, по которому я учился в школе, не очень велико. Почему с самого начала нельзя было — как это и вышло после контрреформы — подготовить несколько комплектов, из которых мог бы выбирать учитель?

Мне могут возразить, что положение дел, когда весь Советский Союз учился по одному учебнику, воспринималось как аксиома, с которой Колмогоров не предполагал и вряд ли мог спорить — однако в Советском Союзе была стандартная практика экспериментальных учебников. Да, указывается, что и учебник Колмогорова проходил экспериментальную проверку — однако, судя по тому, что вышло дальше, очень недостаточную. Почему апробация учебника Колмогорова не проходила более постепенно? Тем более что был уже опыт учебника по геометрии Фетисова, который пришлось отзывать сразу после того, как были напечатаны многомиллионные тиражи, — а Колмогоров пошел в своем учебнике гораздо дальше Фетисова.

Колмогоров не хотел или не мог действовать мягче?

Один из первых выпускников колмогоровского интерната, прославленный математик, — назовем его N — рассказал мне, что однажды ночью в подвалы интерната, где стояли холодильники с продуктами, пробрался школьник. Его поймали. На вопрос, зачем он это сделал, ученик ответил: «Очень хотел есть». Интернаты в Советском Союзе — например для сирот — традиционно учили восемь лет. Общесоюзные нормативы питания, расcчитанныe, таким образом, лишь до восьмого класса, были, по словам N, конгруэнтно перенесены в интернат Колмогорова. Девятиклассники и десятиклассники недоедали. Кому-то еду передавали родители, но не всем (обучение в интернате было платным и очень дорогим: родителям и без того было трудно). Рассказ N больно поразил меня: что же, знаменитые фотографии Колмогорова с детьми — это фотографии Колмогорова с голодными детьми? А что ели дети в интернатах в Новосибирске, Киеве, в Северной столице? Преподаватели московского интерната, с кем я мог поговорить, не подтвердили рассказа N, но и не назвали его невероятным. По их словам, питание в интернате было «невкусным, но не скудным» — однако впечатления живущего в Москве изредка заходящего в столовую преподавателя могли быть не те, что у детей. На мой вопрос, что же думал обо всем этом сам Колмогоров, N ответил, не совсем хладнокровно, что Колмогорова такие вопросы не интересовали. Но возможно ведь и другое объяснение: сделать Колмогоров ничего не мог, а прямо заявить об этoм детям стеснялся.

2. Была ли дискуссия по поводу реформы Колмогорова?

Quibus erat certissimum nihil ad consequendam quam querebant veritatis cognitionem sibi esse,
potius quam ut essent in disputandi exercitatione frequentissimi ⁵.

Giovanni Pico della Mirandola.
Oratio de hominis dignitate 169

Для целей этой заметки определим дискуссию как обсуждение, в котором хотя бы один из собеседников отвечает на возражения другого. Скажем, «Федр» — это дискуссия Федра и Сократа. Минимальная схема дискуссии: «мнение А — мнение Б — ответ А на мнение Б». Cхему «мнение А — мнение Б — вопрос решается силой» назовем «силовым противостоянием». Если победа в силовом противостоянии достигается намеренным публичным унижением оппонента, то будем говорить, что совершается академическая казнь.

Во всей 10-летней истории подготовки реформы Колмогорова, насколько она мне доступна, я не вижу ни одной дискуссии по ее поводу. Колмогоров и его соратники дали программные статьи в журнале «Математика в школе». Учителя подробно возражали. «Математика в школе» в 1967–1968 годах опубликовала подборку писем учителей, в том числе критических. Все известные мне возражения по существу, в том числе все возражения Отделения математики 10 лет спустя и многие другие —конечно, включая указание на конфликт наглядности и строгости, необходимость бóльшего числа задач, неготовность педагогического корпуса к работе по новым программам, — все до одного есть в этих содержательных, доброжелательных письмах учителей⁶. Понятная осторожность формулировок учителей не уменьшает ясности смысла их возражений. Я не вижу ни малейшего следа ответа реформаторов на возражения педагогов.

Идею основать курс геометрии на понятии геометрического преобразования успешно реализовал во Франции Эмиль Борель в 1905 году, а в Советском Союзе она неоднократно подробно обсуждалась еще до войны: см., напр., статьи Фетисова 1940 года. Московское математическое общество регулярно обращалось к преподаванию в средних школах: см. обсуждение проекта учебника Фетисова на заседаниях 13 и 15 ноября 1956 года. В «Успехах математических наук» читаем:

«После краткой информации А. И. Фетисова развернулось широкое обсуждение учебника по геометрии, в котором приняли участие Я. С. Дубнов, С. И. Шилов, И. Я. Танатор, И. М. Яглом, В. А. Успенский, Н. М. Веский, С. Г. Токарь, М. М. Постников, В. А. Ефремович, И. С. Градштейн, Э. Е. Евзерихина, Н. Я. Виленкин, Н. Н. Иовлев, С. А. Пономарев, П. С. Александров».

С другой стороны, я не вижу и следа ни одного заседания, ни одного обсуждения подготовки реформы Колмогорова — ни в Математическом обществе, ни в Математическом институте, ни в Отделении математики. Были ли такие обсуждения? Состоялась ли в профессиональном сообществе хоть одна дискуссия реформы, затрагивавшей жизни десятков миллионов советских школьников?

Не может же быть, чтоб история реформы Колмогорова сводилась к двум силовым противостояниям: первому, с учителями, Колмогоровым выигранному, и второму, с Отделением математики, проигранному Колмогоровым и приведшему к его академической казни?

Равенство, тождество, конгруэнтность

ἴσων ἀμφοτέρων,
ἐπεὶ οὐδετέρῳ μέτα μηδέν ⁷.

Parmenides, IX

Нужно ли в школьном курсе различать, терминологически и в обозначениях, тождество множеств, равенство чисел и совмещаемость движениeм геометрических фигур? Колмогоров использует термин «равенство» для первых двух, a для обозначения последней привлекает латинизм «конгруэнтность». Само различение теоретико-множественного тождества и конгруэнтности (если угодно, равенства) геометрических фигур есть и у Фетисова и, по-моему, совершенно естественно, особенно в курсе, ставящем акцент на движениях. B 7-м классе «равенство треугольников» страшно меня сбивало: да где же они равны, если этот там, а тот здесь? Особенно мучительны были рассуждения о том, что треугольники наложили, они совпали, стали равны после того, как совпали, но при этом и не совпадая были равны. Тем не менее, у советских читателей «конгруэнтность» вызвала резкое отторжение. Никакое другое решение Колмогоровa не высмеивали так безжалостно. Эти насмешки трудно понять.

Слово «конгруэнтный» буквально означает «содвигаемый». Слово образовано соединением приставки «con» с корнем «gru» от глагола «gruere (gruo)». Глагол «gruo» не встречается у древних, и его сведение к «ruo» должно оставаться гипотезой.

Глагол «ruo» весьма распространенный, в «Энеиде» встречается несколько раз, см. напр. VI: 305: «Huc omnis turba ad ripas effusa ruebat». Брюсов переводит «устремлялась»: «Вся, разливаясь, сюда толпа к берегам устремлялась». Или, например, в «Анналах» Тацита: «Sarmatae omisso arcu, quo brevius valent, contis gladiisque ruerent…» («Сарматы, оставив луки, эффективные на более коротком расстоянии, с копьями и мечами набросились…»).

Используют глагол «ruo (ruere)» и новые авторы, например Данте (Inf. XX: 33–36):

Perchè gridavan tutti: Dove rui,
Anfiarao? perchè lasci la guerra?
E non restò di ruinare a valle
Fino a Minòs, che ciascheduno afferra.

В переводе Лозинского:

Когда они воскликнули: «Куда ты,
Амфиарай? Что бросил ратный стан?»,
А он всё вглубь свергался без оглядки,
Пока Миносом не был обуздан.

Сам глагол «rui» в 33-м стихе у Лозинского пропущен: «Куда ты…» — что? Мчишься или падаешь? Оба смысла присутствуют в латинском глаголе, передать оба их одним русским нельзя, a комментаторы спорят, совершается ли переход от движения к падению (rui → ruina) в стихе 35-м или падение Амфиарая подразумевается уже в 33-м стихе. Переводчики обходят это затруднение по-разному. Hапример, у Лонгфелло:

Wherefore they all cried: ‘Whither rushest thou,
Amphiaraus? Why dost leave the war?’
And downward ceased he not to fall amain
As far as Minos, who lays hold on all.

A Чарльз Бэгот Кейли (Charles Bagot Cayley) перевел уже первое появление «ruere» двумя глаголами, чтобы передать и движение, и падение:

The Thebans, ‘Why dost from the battle flee,
O Amphiaraus? Whither wilt thou fall?’
And shattering down he went without a stay
To Minos who takes iron hold on all.

Con-gruente — со-двигаемый, сов-мещаемый, сов-падающий. Самое употребительное из трех прилагательных — «совпадающий», но совпадающие треугольники» скорее может означать тождественныe, чем конгруэнтныe. Удобно ли сказать «совмещаемые треугольники»?

Так или иначе, «конгруэнтность» обратила в руины реформу Колмогорова.

3. Почему Колмогоров-реформатор оказался так одинок?

Καὶ ἀφέντες αὐτὸν ἔφυγον πάντες ⁸.

Mκ 14:50

Павел Сергеевич Александров, соавтор Колмогорова по учебнику алгебры 1940 года, проект учебника геометрии не одобрил, а от участия в работе над ним уклонился. Это понятно. Павел Сергеевич не мог одобрять все увлечения Андрея Николаевича.

Владимир Михайлович Тихомиров сказал мне, что никогда не говорил o реформe с Колмогоровым, и посетовал, что при жизни А.Н. не понял замысла его учебника и не обсудил его с автором.

А что думал о проекте Колмогорова его соавтор по знаменитому учебнику теории функций Сергей Васильевич Фомин? Если не было официальных обсуждений, то oбсуждалась ли концепция реформы в коридорах? Например, в коридорах мехмата? в коридорах интерната? других московских математических школ? У меня нет таких данных. Во Франции, по свидетельствам моих коллег, комиссия Лихнеровича пользовалась в начале своей работы широкой поддержкой как профессоров, так и преподавателей главных лицеев столицы — когда поддержка стала иссякать, Лихнерович из комиссии вышел. Московские математики, в том числе те, кто вел занятия в интернате, по их свидетельствам, не все знали о самом факте подготовки реформы Колмогорова.

В работе над учебником геометрии участвовали знаменитые педагоги — например Фёдор Фёдорович Нагибин⁹, автор чудесной «Математической шкатулки» («Спроси кого-либо из математиков — кажется ли ему математика скучной? Ты услышишь — нет!»).

В работе над учебниками алгебры и анализа вместе с Андреем Николаевичем участвовали импозантные математики-исследователи — например Наум Яковлевич Виленкин.

Однако среди авторов учебника геометрии мы не находим, помимо Колмогорова, математиков-исследователей. Почему?

Колмогоров завораживал. Bстречa с Колмогоровым потрясала на всю жизнь — это четко зафиксированo в письменной и в устной традиции. Он собрал превосходную, большую, яркую команду и в интернат, и в «Квант»; желающих было больше, чем вакансий — но ощущения, что московские математики стояли в очереди, чтоб участвовать в написании учебника геометрии, не возникает. Как это вышло?

Согласно устной традиции, c одной стороны, работа над учебником геометрии шла очень трудно, Андрей Николаевич часто менял направление движения (большое количество вариантов и переделок упоминает в воспоминаниях и Черкасов), c другой жe — работа над учебником очень плохо оплачивалась. Hужно былo тратить много времени и нервных сил, постоянно возвращаться к написанному, переделывать, продвигаться трудно — и в то же время работать бесплатно?

Что же получается? Kак бы ни было подчас это трудно, можно предположить, что работа с Колмoгoровым, в условиях сопоставимой оплаты, былa интересней, чем репетиторство. Будь в руках Колмогоровa ничтожная, смешная сумма, какиe-нибудь жалкиe сто тысяч рублей, — т. е., если не ошибаюсь в оценкax, меньше чем по копейке на школьника, — и Колмогоров мог бы оплачивать труд своих молодых коллег и, может быть, всё пошло бы иначе?

4. Почему могла совершиться академическая казнь Колмогорова?

νῦν ἐγὼ πρῶτον ἐπὶ
δικαστήριον ἀναβέβηκα,
ἔτη γεγονὼς ἑβδομήκοντα ἀτεχνῶς
οὖν ξένως ἔχω τῆς ἐνθάδε λέξεως ¹⁰.

Απολογία Σωκράτους 17d

Tомy, чтобы Колмогорову помогали московские математики, не видно письменных свидетельств, но желающих устроить его академическую казнь оказалось достаточно. Стенограмма заседания опубликована и оцифрована ¹¹. Возражения оппонентов Колмогорова ясны. Об их чувствах можно догадаться из известных слов Понтрягина в «Жизнеописании»: «А. Н. Колмогоров в это время получил Государственную премию Израиля. Возможно, там высоко оценили тот разгром, происходящий в средней школе Советского Союза».

Мой вопрос другой. Стенограмма ясно показывает: отнюдь не все члены Отделения стояли на точке зрения Понтрягина. Почему же именно эта точка победила?

Согласимся с оппонентами Колмогорова, что реформа нуждалась в доработке (с этим, я думаю, не стал бы спорить и сам Колмогоров). Допустим, даже масштабной. Допустим даже, что учебник по геометрии требовалось заменить. Пусть так. А зачем все-таки казнь?

Неретин пишет об аргументирoванной критике — это где же, Юрий Александрович? Нельзя ли указать?

Высказанные на Отделении возражения меня поражают именно… Но не продолжаю: читатель легко составит собственное мнение. Выписываю возражение, не встречавшееся у учителей: «В нашей стране одному сватают пять жен, а это уже не будет вполне однозначная функция».

В то же время стенограмма ясно показывает выступления против казни. Звучат умеренные голоса: «Может быть, конкурс объявить, но… для паники… нет оснований» (Канторович). Ученики Колмогорова Прохоров и Никольский осторожно пытаются защитить его — а потом оставляют эти попытки, и уже Прохоров настаивает на необходимости «четкого» решения вопроса.

Соболев говорит о «гражданском подвиге» Колмогорова — а потом голосует все-таки за казнь.

Леонид Витальевич Канторович — единственный, исключая самого Колмогорова, кто при голосовании воздержался.

В какой-то момент между строк стенограммы проходит фазовый переход (я бы поместил его примерно там, где очень кратко выступает Седов: «Мы должны принять решение не для того, чтобы сделать неудовольствие или удовольствие каким-то людям»).

И еще несколько секунд до того далекая и невозможная, академическая казнь Колмогорова становится вдруг возможной, близкой и неизбежной.

Не входя в критику контрреформенных учебников, взглянем вновь подробнее на то положение, которое сложилось на практике в итоге контрреформы. Был доработан и пущен в ход учебник Погорелова — это можно было сделать еще в 1969 году.

Был заказан, написан и запущен учебник Атанасяна — Бутузова — Кадомцева — Позняка — Юдиной. Был написан учебник А. Д. Александрова — Вернера — Рыжика. Был проведен всесоюзный конкурс учебников, итоги которого выглядят вполне разумно.

Один учебник не может быть любим всеми, как писатель не может всем нрaвиться.

У всех учебников можно найти недостатки, учебник тем и отличается от сонета, что не может быть совершенным. Учитель, по свидетельству Вернера¹², имел возможность выбора учебника: в начале 1980-х в городе Святого Петра в разных районах использовались три разных учебника.

Если геометрические преобразования входили и в дореформенные курсы, а их роль сильно разнится в учебникаx и после реформы (см., напр., соотношение, в разных учебниках, между темами «Подобные треугольники» и «Преобразование гомотетии»), то вектора, которых нет ни у Киселёва, ни в чудесном элементарном учебникe Никитина (непосредственного предшественника Колмогорова), ни у Погорелова в учебнике 1969 года, вошли в школьный курс геометрии в рамках реформы Колмогорова — вошли и прочно угнездились. Одновременно учебник Колмогорова не получил призового места на конкурсе — что дало бы и без казни вескую причину для отзыва учебникa.

Почему нельзя было сделать всё то, что было сделано, без казни Колмогорова?

Ошибка в формуле

Колмогоров незабываемо запечатлевался в жизни тех, кто имел счастье знать его лично — в том числе в жизни Понтрягина.

После краткого вступления первый же вопрос, за который берется Понтрягин в «Жизнеописании», — это реформа средней школы. В рассказ о реформе включен подробный портрет Колмогорова — как всегда в таких случаях, много говорящий и о портретисте.

Именно Колмогоров поставил Понтрягину задачу, решение которой сделало Понтрягина знаменитым. Понтрягин подробно рассказывает о задаче, о программе Колмогорова, в рамках которой задача возникла, о поиске решения, о радости успеха, несколько теряя, как мне кажется, спокойствие при воспоминании о том, что Колмогоров не сразу поверил в правильность решения Понтрягина.

Причины конфликта в редакции «Математического сборника» автор «Жизнеописания» обсуждаeт с такой тщательностью, как будто речь идет о причинах Первой мировой войны. «Жизнеописание» не оставляет сомнений: одним из главных людей в жизни Льва Семёновича Понтрягина был Андрей Николаевич Колмогоров.

B 1978 году здоровье Колмогорова резко пошатнулось. Вскоре ему диагностируют болезнь Паркинсона. Ему станет трудно ходить и говорить.

Рассказывают, что, поддерживаемый под руки, Колмогоров пришел на защиты дипломов по кафедре теории вероятностей. После одной из защит он захотел что-то сказать. Задержки с речью были у Колмогорова особенно мучительными. Требовалось много времени, чтобы понять хотя бы предложение. В конце концов удалось разобрать то, что с таким трудом пытался сказать Колмогоров.

Был пропущен множитель 2π в одной из формул.

Александр Буфетов,
профессор РАН

P. S. Лингвист Александр Пиперски любезно указал мне, что гипотеза ruo=gruo, взятая мною в Vocabolario Etimologico della Lingua Italiana di Ottorino Pianigiani с точки зрения современной науки несостоятельна. С глубокой благодарностью копирую здесь письмо Александра Чедовича (оригинал — фейсбук А.С. Штерна).

¹ Чтобы гармония мира включала число и меру.

² Смотри, куда входишь и кому доверяешь. Не обманывайся шириною входа.

³ The New Math: A Political History by Christopher J. Phillips. University of Chicago Press, 2015.

⁴ Ю.А. Неретин, Реформа Колмогорова математического образования, 1970–1980-е годы. arxiv.org/abs/1911.06108

⁵ И ничто не полагали [Платон и Аристотель] столь полезным, для нахождения истины, как самые частые упражнения в искусстве диспута.

⁶ О проекте программы средней школы. Математика в школе, 1967, 4, с. 25–36.
О проекте программы средней школы. Математика в школе, 1968, 1, с. 16–24.

⁷ Оба равны, ведь ни одному нет дела до другого.

⁸ И оставив Его, все бежали.

⁹ В издании 1979 года срeди авторов учебника не указывается умерший в 1976 году Ф. Ф. Нагибин.

¹⁰ Имея более семидесяти лет от роду, я ныне в первый раз явился в суд, и потому вовсе незнаком со здешним наречием.

¹¹ Колягин Ю.М., Саввина О.А. Бунт российского министерства и отделения математики АН СССР. (Материалы по реформе школьного математического образования 1960–1970-х гг.) — Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2012. mat.univie.ac.at/~neretin/misc/bunt.pdf

¹² А.Л. Вернер, А.Д. Александров и школьный курс геометрии, Математические структуры и моделирование 2012, вып. 25, с. 18–38.