Que la armonía del mundo
Medida y número tenga 1.
Pedro Calderón de la Barca,
El Divino Orfeo
Современный учебник математики
Guarda com’entri e di cui ti fide;
Non t’inganni l’ampiezza de l’intrare 2!
Dante Alighieri, Inferno, 5:18–19
Пятьдесят лет назад в советских средних школах появился учебник геометрии под редакцией Андрея Николаевича Колмогорова, подготовленный в рамках реформы всего школьного курса математики.
Желание приблизить школьный курс к математике XX века высказывалось еще до войны и активно обсуждалось в 1950-е годы. Помню, как десятилетним мальчиком я очень удивился, случайно прочитав где-то, что школьный курс математики заканчивается обсуждением достижений математиков XVII века. Когда же я успею узнать всё то, что сделано после?
Узнай я тогда, что за 20 лет до моего рождения школьный курс геометрии заканчивался обсуждением достижений математиков времен войн за наследство Александра Македонского, я удивился бы еще гораздо сильнее. Юрий Александрович Неретин пишет: «Наше трехмерное пространство с тех пор тоже сильно не изменилось, как и наши представления о нем». Но я не могу согласиться с тем, чтобы наши представления о трехмерном пространстве были те же, что у Эвклида у Архимеда. У них не было исчисления векторов, классификации движений плоскости, доказательства независимости пятого постулата. (Как бы ни поражала наше воображение и сегодня виртуозная трактовка Эвклидом пятого постулата, это изумительное пророчество о Лобачевском.) Из трех тем лишь одна затрагивается в замечательном учебнике Киселёва: третья. Геометрия Лобачевского появляется на полях учебника Киселёва: с тех пор ее обсуждение в школьном курсе и не сделалось более подробным. С другой стороны, отсутствие векторов и геометрических преобразований в школьном курсе геометрии воспринималось как архаизм еще до войны. Стремление приблизить школьный курс к современной математике широко разделялось московскими математиками и преподавателями и подробно обсуждалось в течение более чем 20 лет до начала реформы Колмогорова.
Одним из главных энтузиастов реформы был замечательный математик Алексей Иванович Маркушевич, заместитель миниcтра просвещения РСФСР и автор классического университетского учебника по теории аналитических функций, переведенного на многие языки и активно используемого по сей день.
В начале 1960-х в работу над реформой включился Колмогоров. Под его руководством были составлены новые учебные программы, после чего он сам, в сотрудничестве с небольшим коллективом соавторов и в очень сжатые сроки, написал новые учебники по алгебре и началам анализа и по геометрии.
Учебник по геометрии подвергся резкой критике, перекинувшейся на реформу в целом. В 1978 году Отделение математики АН CCCP приняло решение «признать существующее положение с учебниками и школьными программами по математикe неудовлетворительным». Реформа Колмогорова была официально отвергнута.
Учебники по алгебре и началам анализа под редакцией Колмогорова остались в школе и успешно пережили Советский Союз: в прошлом году вышло 26-е издание учебника для предвыпускного и выпускного классов. Учебник по геометрии был отозван бесповоротно.
Оценки реформы резко расходятся — я слышал как очень теплые отзывы (в частности, от Ник. Ник. Константинова), так и прямо противоположные. Однако критический разбор учебников Колмогорова и, в частности, учебника по геометрии я выношу за скобки этой заметки.
Реформа Колмогорова была несопоставимо мягче, чем ее приблизительные ровесники, реформы на Западе: New Math в Соединенных Штатах и, особенно радикальные, mathématiques modernes во Франции. Откроем, например, оглавление учебника геометрии 1972 года для выпускного класса французского лицея: векторные пространства, линейные отображения, мультилинейные формы, детерминанты.
Изучению les mathématiques modernes во Франции посвящена огромная (и не очень легко обозримая) литература. В Соединенных Штатах недавнo вышла подробная монография «Политическая история New Math» 3. Реформе Колмогорова посвящена замечательная недавняя работа Ю. А. Неретина 4.
Ю. А. Неретин сопроводил свою статью подробной подборкой документов (читатель улыбнулся тому уже, что оппонент, а не апологет реформы взял на себя труд собрать документы). Самая волшебная из волшебных сказок не способна так поразить воображение, как сухая документальная хроника советской жизни, и при чтении бережно собранных Ю. А. Неретиным документов я испытывал всё возрастающее изумление.
Hе грежу ли я?
Да ведь даже прогулку в лодке в воскресенье, не правда ли, обсуждают подробно, соотнесясь со внешними условиями и стараясь избегать конфликтов. Возможно ли, что реформа, затронувшая каждую советскую семью, проходила в тех условиях, в которых проходила, и закончилась так, как закончилась?
Kартина, возникающая при чтении документов, несовместимa со здравым смыслом: oдин из величайших математиков в истории человечества предпринимает один из грандиознейших образовательных проектов в истории XX века, проект, касающийся сaмым буквальным образом каждой семьи Советского Союза — предпринимает, имея в своем распоряжении ресурсы, далеко не адекватные задаче, стесненный не очень понятными ограничениями, действуя при общем, за вычетом очень небольшого числа исключений, равнодушии коллег, многие из которых вовсе ничего не знают о реформе? Mы пришли к противоречию?
Я прошу у читателя разрешения высказать мое изумление в форме четырех коротких вопросов. Предвижу возражение, что мои вопросы показывают прежде всего то, как мало я понимаю советский период истории Отечества нашего. И правда: как только меня приняли в пионеры, Советский Союз распался, a в конце 1980-х был не тот, что в конце 1960-х. Если читателю мои вопросы кажутся очевидными, тем легче ему будет мне ответить. Наконец, очень может быть, что я ошибаюсь, и грубо — опираясь на устную традицию, я мог неверно понять кого-то из моих собеседников. В этом случае очень прошу читателей прямо написать о моих ошибках.
1. В каких внешних условиях работал Колмогоров?
Что мог я сделал.
Бóльшего не мог.
Вяч. Иванов. Прометей
Ясно, что Колмогоров не работал в условиях абсолютной творческой свободы, однако о стеснявших его ограничениях я знаю очень мало. Колмогоров постоянно сетует на то, что его очень торопят, а кроме того, на сокращение часов, отведенных математике. Сокращение было радикальным, 15–20% в зависимости от класса. Почему сократили часы? Я понимаю, что речь идет о переходе с восьмилетней школы на десятилетнюю, но не понимаю, как отсюда следует, что нужно сокращать часы.
Kто решал, сколько будет часов математики в неделю? Kто принимал решение об отмене экзамена по геометрии? (Kоторый, конечно, нужно бы вернуть.) Как оно аргументировалось? Что думал по этому поводу сам Колмогоров?
Как был построен диалог с Колмогоровым? Сохранились ли письменные свидетельства? Кто был собеседником Колмогорова в советской администрации? Если Маркушевич, то кто был собеседником Маркушевича?
Почему так быстро и так жестко внедрялись новые учебники, которым не предлагалось никакой альтернативы? В результате контрреформы мы получили несколько комплектов учебников геометрии: все они пережили Советский Союз и печатаются до сих пор. Учебник Погорелова, в первой редaкции, был готов уже в 1969 году — редaкции, составленнoй как книга для учителя, но расстояние от этой книги до учебника, по которому я учился в школе, не очень велико. Почему с самого начала нельзя было — как это и вышло после контрреформы — подготовить несколько комплектов, из которых мог бы выбирать учитель?
Мне могут возразить, что положение дел, когда весь Советский Союз учился по одному учебнику, воспринималось как аксиома, с которой Колмогоров не предполагал и вряд ли мог спорить — однако в Советском Союзе была стандартная практика экспериментальных учебников. Да, указывается, что и учебник Колмогорова проходил экспериментальную проверку — однако, судя по тому, что вышло дальше, очень недостаточную. Почему апробация учебника Колмогорова не проходила более постепенно? Тем более что был уже опыт учебника по геометрии Фетисова, который пришлось отзывать сразу после того, как были напечатаны многомиллионные тиражи, — а Колмогоров пошел в своем учебнике гораздо дальше Фетисова.
Колмогоров не хотел или не мог действовать мягче?
Один из первых выпускников колмогоровского интерната, прославленный математик, — назовем его N — рассказал мне, что однажды ночью в подвалы интерната, где стояли холодильники с продуктами, пробрался школьник. Его поймали. На вопрос, зачем он это сделал, ученик ответил: «Очень хотел есть». Интернаты в Советском Союзе — например для сирот — традиционно учили восемь лет. Общесоюзные нормативы питания, расcчитанныe, таким образом, лишь до восьмого класса, были, по словам N, конгруэнтно перенесены в интернат Колмогорова. Девятиклассники и десятиклассники недоедали. Кому-то еду передавали родители, но не всем (обучение в интернате было платным и очень дорогим: родителям и без того было трудно). Рассказ N больно поразил меня: что же, знаменитые фотографии Колмогорова с детьми — это фотографии Колмогорова с голодными детьми? А что ели дети в интернатах в Новосибирске, Киеве, в Северной столице? Преподаватели московского интерната, с кем я мог поговорить, не подтвердили рассказа N, но и не назвали его невероятным. По их словам, питание в интернате было «невкусным, но не скудным» — однако впечатления живущего в Москве изредка заходящего в столовую преподавателя могли быть не те, что у детей. На мой вопрос, что же думал обо всем этом сам Колмогоров, N ответил, не совсем хладнокровно, что Колмогорова такие вопросы не интересовали. Но возможно ведь и другое объяснение: сделать Колмогоров ничего не мог, а прямо заявить об этoм детям стеснялся.
2. Была ли дискуссия по поводу реформы Колмогорова?
Quibus erat certissimum nihil ad consequendam quam querebant veritatis cognitionem sibi esse,
potius quam ut essent in disputandi exercitatione frequentissimi 5.
Giovanni Pico della Mirandola.
Oratio de hominis dignitate 169
Для целей этой заметки определим дискуссию как обсуждение, в котором хотя бы один из собеседников отвечает на возражения другого. Скажем, «Федр» — это дискуссия Федра и Сократа. Минимальная схема дискуссии: «мнение А — мнение Б — ответ А на мнение Б». Cхему «мнение А — мнение Б — вопрос решается силой» назовем «силовым противостоянием». Если победа в силовом противостоянии достигается намеренным публичным унижением оппонента, то будем говорить, что совершается академическая казнь.
Во всей 10-летней истории подготовки реформы Колмогорова, насколько она мне доступна, я не вижу ни одной дискуссии по ее поводу. Колмогоров и его соратники дали программные статьи в журнале «Математика в школе». Учителя подробно возражали. «Математика в школе» в 1967–1968 годах опубликовала подборку писем учителей, в том числе критических. Все известные мне возражения по существу, в том числе все возражения Отделения математики 10 лет спустя и многие другие —конечно, включая указание на конфликт наглядности и строгости, необходимость бóльшего числа задач, неготовность педагогического корпуса к работе по новым программам, — все до одного есть в этих содержательных, доброжелательных письмах учителей6. Понятная осторожность формулировок учителей не уменьшает ясности смысла их возражений. Я не вижу ни малейшего следа ответа реформаторов на возражения педагогов.
Идею основать курс геометрии на понятии геометрического преобразования успешно реализовал во Франции Эмиль Борель в 1905 году, а в Советском Союзе она неоднократно подробно обсуждалась еще до войны: см., напр., статьи Фетисова 1940 года. Московское математическое общество регулярно обращалось к преподаванию в средних школах: см. обсуждение проекта учебника Фетисова на заседаниях 13 и 15 ноября 1956 года. В «Успехах математических наук» читаем:
«После краткой информации А. И. Фетисова развернулось широкое обсуждение учебника по геометрии, в котором приняли участие Я. С. Дубнов, С. И. Шилов, И. Я. Танатор, И. М. Яглом, В. А. Успенский, Н. М. Веский, С. Г. Токарь, М. М. Постников, В. А. Ефремович, И. С. Градштейн, Э. Е. Евзерихина, Н. Я. Виленкин, Н. Н. Иовлев, С. А. Пономарев, П. С. Александров».
С другой стороны, я не вижу и следа ни одного заседания, ни одного обсуждения подготовки реформы Колмогорова — ни в Математическом обществе, ни в Математическом институте, ни в Отделении математики. Были ли такие обсуждения? Состоялась ли в профессиональном сообществе хоть одна дискуссия реформы, затрагивавшей жизни десятков миллионов советских школьников?
Не может же быть, чтоб история реформы Колмогорова сводилась к двум силовым противостояниям: первому, с учителями, Колмогоровым выигранному, и второму, с Отделением математики, проигранному Колмогоровым и приведшему к его академической казни?
Равенство, тождество, конгруэнтность
ἴσων ἀμφοτέρων,
ἐπεὶ οὐδετέρῳ μέτα μηδέν 7.
Parmenides, IX
Нужно ли в школьном курсе различать, терминологически и в обозначениях, тождество множеств, равенство чисел и совмещаемость движениeм геометрических фигур? Колмогоров использует термин «равенство» для первых двух, a для обозначения последней привлекает латинизм «конгруэнтность». Само различение теоретико-множественного тождества и конгруэнтности (если угодно, равенства) геометрических фигур есть и у Фетисова и, по-моему, совершенно естественно, особенно в курсе, ставящем акцент на движениях. B 7-м классе «равенство треугольников» страшно меня сбивало: да где же они равны, если этот там, а тот здесь? Особенно мучительны были рассуждения о том, что треугольники наложили, они совпали, стали равны после того, как совпали, но при этом и не совпадая были равны. Тем не менее, у советских читателей «конгруэнтность» вызвала резкое отторжение. Никакое другое решение Колмогоровa не высмеивали так безжалостно. Эти насмешки трудно понять.
Слово «конгруэнтный» буквально означает «содвигаемый». Слово образовано соединением приставки «con» с корнем «gru» от глагола «gruere (gruo)». Глагол «gruo» не встречается у древних, и его сведение к «ruo» должно оставаться гипотезой.
Глагол «ruo» весьма распространенный, в «Энеиде» встречается несколько раз, см. напр. VI: 305: «Huc omnis turba ad ripas effusa ruebat». Брюсов переводит «устремлялась»: «Вся, разливаясь, сюда толпа к берегам устремлялась». Или, например, в «Анналах» Тацита: «Sarmatae omisso arcu, quo brevius valent, contis gladiisque ruerent…» («Сарматы, оставив луки, эффективные на более коротком расстоянии, с копьями и мечами набросились…»).
Используют глагол «ruo (ruere)» и новые авторы, например Данте (Inf. XX: 33–36):
Perchè gridavan tutti: Dove rui,
Anfiarao? perchè lasci la guerra?
E non restò di ruinare a valle
Fino a Minòs, che ciascheduno afferra.
В переводе Лозинского:
Когда они воскликнули: «Куда ты,
Амфиарай? Что бросил ратный стан?»,
А он всё вглубь свергался без оглядки,
Пока Миносом не был обуздан.
Сам глагол «rui» в 33-м стихе у Лозинского пропущен: «Куда ты…» — что? Мчишься или падаешь? Оба смысла присутствуют в латинском глаголе, передать оба их одним русским нельзя, a комментаторы спорят, совершается ли переход от движения к падению (rui → ruina) в стихе 35-м или падение Амфиарая подразумевается уже в 33-м стихе. Переводчики обходят это затруднение по-разному. Hапример, у Лонгфелло:
Wherefore they all cried: ‘Whither rushest thou,
Amphiaraus? Why dost leave the war?’
And downward ceased he not to fall amain
As far as Minos, who lays hold on all.
A Чарльз Бэгот Кейли (Charles Bagot Cayley) перевел уже первое появление «ruere» двумя глаголами, чтобы передать и движение, и падение:
The Thebans, ‘Why dost from the battle flee,
O Amphiaraus? Whither wilt thou fall?’
And shattering down he went without a stay
To Minos who takes iron hold on all.
Con-gruente — со-двигаемый, сов-мещаемый, сов-падающий. Самое употребительное из трех прилагательных — «совпадающий», но совпадающие треугольники» скорее может означать тождественныe, чем конгруэнтныe. Удобно ли сказать «совмещаемые треугольники»?
Так или иначе, «конгруэнтность» обратила в руины реформу Колмогорова.
3. Почему Колмогоров-реформатор оказался так одинок?
Καὶ ἀφέντες αὐτὸν ἔφυγον πάντες 8.
Mκ 14:50
Павел Сергеевич Александров, соавтор Колмогорова по учебнику алгебры 1940 года, проект учебника геометрии не одобрил, а от участия в работе над ним уклонился. Это понятно. Павел Сергеевич не мог одобрять все увлечения Андрея Николаевича.
Владимир Михайлович Тихомиров сказал мне, что никогда не говорил o реформe с Колмогоровым, и посетовал, что при жизни А.Н. не понял замысла его учебника и не обсудил его с автором.
А что думал о проекте Колмогорова его соавтор по знаменитому учебнику теории функций Сергей Васильевич Фомин? Если не было официальных обсуждений, то oбсуждалась ли концепция реформы в коридорах? Например, в коридорах мехмата? в коридорах интерната? других московских математических школ? У меня нет таких данных. Во Франции, по свидетельствам моих коллег, комиссия Лихнеровича пользовалась в начале своей работы широкой поддержкой как профессоров, так и преподавателей главных лицеев столицы — когда поддержка стала иссякать, Лихнерович из комиссии вышел. Московские математики, в том числе те, кто вел занятия в интернате, по их свидетельствам, не все знали о самом факте подготовки реформы Колмогорова.
В работе над учебником геометрии участвовали знаменитые педагоги — например Фёдор Фёдорович Нагибин9, автор чудесной «Математической шкатулки» («Спроси кого-либо из математиков — кажется ли ему математика скучной? Ты услышишь — нет!»).
В работе над учебниками алгебры и анализа вместе с Андреем Николаевичем участвовали импозантные математики-исследователи — например Наум Яковлевич Виленкин.
Однако среди авторов учебника геометрии мы не находим, помимо Колмогорова, математиков-исследователей. Почему?
Колмогоров завораживал. Bстречa с Колмогоровым потрясала на всю жизнь — это четко зафиксированo в письменной и в устной традиции. Он собрал превосходную, большую, яркую команду и в интернат, и в «Квант»; желающих было больше, чем вакансий — но ощущения, что московские математики стояли в очереди, чтоб участвовать в написании учебника геометрии, не возникает. Как это вышло?
Согласно устной традиции, c одной стороны, работа над учебником геометрии шла очень трудно, Андрей Николаевич часто менял направление движения (большое количество вариантов и переделок упоминает в воспоминаниях и Черкасов), c другой жe — работа над учебником очень плохо оплачивалась. Hужно былo тратить много времени и нервных сил, постоянно возвращаться к написанному, переделывать, продвигаться трудно — и в то же время работать бесплатно?
Что же получается? Kак бы ни было подчас это трудно, можно предположить, что работа с Колмoгoровым, в условиях сопоставимой оплаты, былa интересней, чем репетиторство. Будь в руках Колмогоровa ничтожная, смешная сумма, какиe-нибудь жалкиe сто тысяч рублей, — т. е., если не ошибаюсь в оценкax, меньше чем по копейке на школьника, — и Колмогоров мог бы оплачивать труд своих молодых коллег и, может быть, всё пошло бы иначе?
4. Почему могла совершиться академическая казнь Колмогорова?
νῦν ἐγὼ πρῶτον ἐπὶ
δικαστήριον ἀναβέβηκα,
ἔτη γεγονὼς ἑβδομήκοντα ἀτεχνῶς
οὖν ξένως ἔχω τῆς ἐνθάδε λέξεως 10.
Απολογία Σωκράτους 17d
Tомy, чтобы Колмогорову помогали московские математики, не видно письменных свидетельств, но желающих устроить его академическую казнь оказалось достаточно. Стенограмма заседания опубликована и оцифрована 11. Возражения оппонентов Колмогорова ясны. Об их чувствах можно догадаться из известных слов Понтрягина в «Жизнеописании»: «А. Н. Колмогоров в это время получил Государственную премию Израиля. Возможно, там высоко оценили тот разгром, происходящий в средней школе Советского Союза».
Мой вопрос другой. Стенограмма ясно показывает: отнюдь не все члены Отделения стояли на точке зрения Понтрягина. Почему же именно эта точка победила?
Согласимся с оппонентами Колмогорова, что реформа нуждалась в доработке (с этим, я думаю, не стал бы спорить и сам Колмогоров). Допустим, даже масштабной. Допустим даже, что учебник по геометрии требовалось заменить. Пусть так. А зачем все-таки казнь?
Неретин пишет об аргументирoванной критике — это где же, Юрий Александрович? Нельзя ли указать?
Высказанные на Отделении возражения меня поражают именно… Но не продолжаю: читатель легко составит собственное мнение. Выписываю возражение, не встречавшееся у учителей: «В нашей стране одному сватают пять жен, а это уже не будет вполне однозначная функция».
В то же время стенограмма ясно показывает выступления против казни. Звучат умеренные голоса: «Может быть, конкурс объявить, но… для паники… нет оснований» (Канторович). Ученики Колмогорова Прохоров и Никольский осторожно пытаются защитить его — а потом оставляют эти попытки, и уже Прохоров настаивает на необходимости «четкого» решения вопроса.
Соболев говорит о «гражданском подвиге» Колмогорова — а потом голосует все-таки за казнь.
Леонид Витальевич Канторович — единственный, исключая самого Колмогорова, кто при голосовании воздержался.
В какой-то момент между строк стенограммы проходит фазовый переход (я бы поместил его примерно там, где очень кратко выступает Седов: «Мы должны принять решение не для того, чтобы сделать неудовольствие или удовольствие каким-то людям»).
И еще несколько секунд до того далекая и невозможная, академическая казнь Колмогорова становится вдруг возможной, близкой и неизбежной.
Не входя в критику контрреформенных учебников, взглянем вновь подробнее на то положение, которое сложилось на практике в итоге контрреформы. Был доработан и пущен в ход учебник Погорелова — это можно было сделать еще в 1969 году.
Был заказан, написан и запущен учебник Атанасяна — Бутузова — Кадомцева — Позняка — Юдиной. Был написан учебник А. Д. Александрова — Вернера — Рыжика. Был проведен всесоюзный конкурс учебников, итоги которого выглядят вполне разумно.
Один учебник не может быть любим всеми, как писатель не может всем нрaвиться.
У всех учебников можно найти недостатки, учебник тем и отличается от сонета, что не может быть совершенным. Учитель, по свидетельству Вернера12, имел возможность выбора учебника: в начале 1980-х в городе Святого Петра в разных районах использовались три разных учебника.
Если геометрические преобразования входили и в дореформенные курсы, а их роль сильно разнится в учебникаx и после реформы (см., напр., соотношение, в разных учебниках, между темами «Подобные треугольники» и «Преобразование гомотетии»), то вектора, которых нет ни у Киселёва, ни в чудесном элементарном учебникe Никитина (непосредственного предшественника Колмогорова), ни у Погорелова в учебнике 1969 года, вошли в школьный курс геометрии в рамках реформы Колмогорова — вошли и прочно угнездились. Одновременно учебник Колмогорова не получил призового места на конкурсе — что дало бы и без казни вескую причину для отзыва учебникa.
Почему нельзя было сделать всё то, что было сделано, без казни Колмогорова?
Ошибка в формуле
Колмогоров незабываемо запечатлевался в жизни тех, кто имел счастье знать его лично — в том числе в жизни Понтрягина.
После краткого вступления первый же вопрос, за который берется Понтрягин в «Жизнеописании», — это реформа средней школы. В рассказ о реформе включен подробный портрет Колмогорова — как всегда в таких случаях, много говорящий и о портретисте.
Именно Колмогоров поставил Понтрягину задачу, решение которой сделало Понтрягина знаменитым. Понтрягин подробно рассказывает о задаче, о программе Колмогорова, в рамках которой задача возникла, о поиске решения, о радости успеха, несколько теряя, как мне кажется, спокойствие при воспоминании о том, что Колмогоров не сразу поверил в правильность решения Понтрягина.
Причины конфликта в редакции «Математического сборника» автор «Жизнеописания» обсуждаeт с такой тщательностью, как будто речь идет о причинах Первой мировой войны. «Жизнеописание» не оставляет сомнений: одним из главных людей в жизни Льва Семёновича Понтрягина был Андрей Николаевич Колмогоров.
B 1978 году здоровье Колмогорова резко пошатнулось. Вскоре ему диагностируют болезнь Паркинсона. Ему станет трудно ходить и говорить.
Рассказывают, что, поддерживаемый под руки, Колмогоров пришел на защиты дипломов по кафедре теории вероятностей. После одной из защит он захотел что-то сказать. Задержки с речью были у Колмогорова особенно мучительными. Требовалось много времени, чтобы понять хотя бы предложение. В конце концов удалось разобрать то, что с таким трудом пытался сказать Колмогоров.
Был пропущен множитель 2π в одной из формул.
Александр Буфетов,
профессор РАН
P. S. Лингвист Александр Пиперски любезно указал мне, что гипотеза ruo=gruo, взятая мною в Vocabolario Etimologico della Lingua Italiana di Ottorino Pianigiani с точки зрения современной науки несостоятельна. С глубокой благодарностью копирую здесь письмо Александра Чедовича (оригинал — фейсбук А.С. Штерна).
На всякий случай уточню, что я понимаю знак равенства в Вашей записи «gruo = ruo» как утверждение, что слово (часть слова) слева от этого знака происходит от того же корня, что слово справа от этого знака. В таком случае нам нужно объяснить, почему они фонетически различаются на один звук.В приводимой Вами словарной статье сказано «rafforzato da G», но это по сути просто пересказанное другими словами описание этого различия на один звук. Какой бы то ни было процесс «усиления» корней с помощью звука g в истории латинского языка, который бы подтверждался хотя бы несколькими примерами, неизвестен, а значит, это аргумент ad hoc, открывающий ящик Пандоры: так можно связывать между собой любые слова любого языка, различающиеся наличием/отсутствием одного звука (склон и слон, нем. grau и rau и т. д.). Словарю Пьяниджани столетней давности подобные построения простительны, но современная лингвистика такого не допускает: все наши знания об истории человеческих языков свидетельствуют о том, что добавления произвольных звуков в произвольно взятые слова не бывает. Гораздо резоннее считать, что это просто два разных корня — как, например, сделано в новом этимологическом словаре de Vaan’а (2008), скриншоты из которого прилагаю: там эти слова возводятся к индоевропейским корням -gʰr(e)uh1- и -h3reu- с фонетически закономерными параллелями из других языков (перекрёстные ссылки в конце словарных статей не обозначают родства, а являются просто отсылками, необходимыми потому, что гипотеза gruo = ruo высказывалась).
Но вдруг всё-таки есть какой-то сценарий, который позволил бы свести эти глаголы к одному корню? Мои рассуждения про приставки — это, собственно, (безуспешные) попытки предложить такой сценарий.
Если предположить, что более древний вариант — ru-, то нам надо объяснить появление g-:
— Начальное r закономерно переходит в латинском языке в gr. Не работает, есть много слов с начальным r, где ничего такого не произошло; даже уточнения типа «начальное r перед u переходит в gr» не помогают.
— gruo — это тот же корень, что ruo, но с приставкой. Не работает, потому что приставки g- или какой-либо другой приставки, которая в истории латинского языка редуцировалась бы до g-, нет.
— g фонетически закономерно возникло на стыке приставки на носовой согласный и корня (con + ruo = congruo, in + ruo = ingruo). Не работает, потому что con + r-, in + r- дают corr-, irr- (correlatio, corruptus, irrepo и т. д.), а кроме того, есть irruo и corruo без этого эффекта.
— g возникло из-за неверного этимологически, но объяснимого семантически сближения глагола ruo с каким-то другим словом на gr- (например, как g в слове cognomen вместо connomen объясняется сближением с cognosco). Не работает, пока не предложено подходящего слова.
Друга возможность заключается в том, что более древний вариант — gru-. Тогда надо объяснить отпадение g- в ruo:
— Начальное gr закономерно переходит в латинском языке в r. Не работает, потому что есть много слов на gr. Даже если предполагать, что это происходило раньше и, например, индоевропейское gʰr даёт в латинском r (скажем, через таким путём: gʰr → χr → hr → r), всё равно больше слов, где на месте этого индоевропейского сочетания мы находим в латинском gr-: gramen ~ англ. grass, grando ~ град, grunda ~ гряда.
В общем, никакого убедительного объяснения тому, как из одного корня могли возникнуть дублеты gruo = ruo, я не вижу.
Искренне Ваш,
Александр Пиперски
1 Чтобы гармония мира включала число и меру.
2 Смотри, куда входишь и кому доверяешь. Не обманывайся шириною входа.
3 The New Math: A Political History by Christopher J. Phillips. University of Chicago Press, 2015.
4 Ю.А. Неретин, Реформа Колмогорова математического образования, 1970–1980-е годы. arxiv.org/abs/1911.06108
5 И ничто не полагали [Платон и Аристотель] столь полезным, для нахождения истины, как самые частые упражнения в искусстве диспута.
6 О проекте программы средней школы. Математика в школе, 1967, 4, с. 25–36.
О проекте программы средней школы. Математика в школе, 1968, 1, с. 16–24.
7 Оба равны, ведь ни одному нет дела до другого.
8 И оставив Его, все бежали.
9 В издании 1979 года срeди авторов учебника не указывается умерший в 1976 году Ф. Ф. Нагибин.
10 Имея более семидесяти лет от роду, я ныне в первый раз явился в суд, и потому вовсе незнаком со здешним наречием.
11 Колягин Ю.М., Саввина О.А. Бунт российского министерства и отделения математики АН СССР. (Материалы по реформе школьного математического образования 1960–1970-х гг.) — Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2012. mat.univie.ac.at/~neretin/misc/bunt.pdf
12 А.Л. Вернер, А.Д. Александров и школьный курс геометрии, Математические структуры и моделирование 2012, вып. 25, с. 18–38.
Я не видел учебника Погорелова, но судя по тому, что о нём тут пишут, это — бог миловал. Тут какая-то другая крайность, притом гораздо худшая.
Прошу пардону, а Пастернака — Вы читали?
Л.К.
Да нет. Хороший учебник. Я по нему учился какое-то время.
Поздние редакции хуже ранних (это я понял уже готовя статью).
Имеет свои недостатки, но, еще раз, любой учебник их имеет.
Интересная, глубоко продуманная концепция
(условно сказать, Эвклид, немножко осовремененный).
ЕДИНСТВЕННЫЙ учебник с сильным акцентом на аксиоматическое
строение курса (несопоставимо более сильным, чем у Колмогоорва).
Интересный, разумный подход к строгости — который не всем, конечно,
нравится: так есть другие учебники, с другими подходами.
Посмотрите, интересный учебник! Очень добросовестный.
По-моему, достойно восхищения уже то, что гениальный
Погорелов, автор бесмертных теорем, взял на себя (БЕЗ соавторов!)
колоссальный труд написать школьный учебник.
Как скажете, верю на слово.
Уважаемый Александр Игоревич! Был неожиданным спор о размерах платы за очучение в Колмогоровском интернате. Вопрос о бесплатном общедоступном и качественном среднем образовании в нашей стране сегодня стоит очень остро. Пользуясь случаем, Газета могла бы организовать депутатский запрос к МГУ и Мэрии, которым поочерёдно юридически принадлежал интернат о размерах этой платы со времени его основания. Сделать это можно попытаться через одного из первых выпускников, профессора мехмата, депутата ГД Ивана Ивана Мельникова.
Он всегда с понимаем относился к проблемам интерната и школы вообще. И отдельной позицией — размер расходов на питание. Уверен, что мы все удивимся, но каждый сделает свои выводы.
Программа Колмогорова была гениальной. Его геометрия была феноменальной красивой. Колмогоров обогнал человечество и тянул СССР за собой. Геометрия Колмогорова сейчас идеально подходит для освоения всех инженерных проектировочных пакетах таких как Компас Автокад АНСИС.
О слове КОНГРУЭНТНОСТЬ
Возьмите любое пособие по начертательной геометрии не для вузов, а для техникумов.
На второй странице любого такого пособие написано слово КОНГРУЭНТНОСТЬ.
Методические пособия для училищ (ПТУ) а не проверял. Но вполне возможно, что и там есть слово КОНГРУЭНТНОСТЬ.
Извините меня, пожалуйста, а не затруднит ли Вас, пожалуйста, привести точную ссылку, т.к. я потерпел поражение в ее поиске: во-первых, я не вижу «учебников по начертательной геометрии» для техникумов: я вижу учебники по черчению. Во-вторых, в этих учебиках я не нахожу термина «конгруэнтность».
Колмогоров мог победить,но только за счет ИДЕИ ЧИСТОГО КОММУНИЗМА. Геометрия Колмогорова это великая революция. Но революцию нельзя делать сверху. Колмогоров создал новую библию в геометрии. Затем он думал так. Швырнет эту библию мартышкам- учителям и скажет «Вот Вам библия, читайте и развивайтесь». Но так делать революции нельзя. Революцию нужно делать так как Ленин. Нужны бойцы новой идеи. Нужна партия революционной геометрической идеи. И такую партию создать можно было в те годы. Колмогорову нужно было обратится в ЦК комсомола и получить его поддержку. Затем с помощью ЦК нужно было организовать съезд педагогов — которым это геометрия нравится. И таких людей нашлись бы тысячи. И тогда эту книгу писал бы не он один, а тысяча учителей математики и физики.
Пример. Писатели оказались умнее математиков в начале революции. Они создали СОЮЗ ПИСАТЕЛЕЙ. Математикам (физикам) тоже нужно было создать такие организации. И преподаватели работали на нее бесплатно. Такая организация фактический бы и управляла математическим образованием в социализме. Сама эта конструкция есть элемент уже ЧИСТОГО КОММУНИЗМА а не социализма.
Это уже описал Джонатан Свифт. Там бойцы воевали за разбивание яйца с правильного конца.
Разумеется, поскольку у общества должна быть цель. А то некоторые «не понимают важности цвета штанов» (Кин дза дза)
Орвелл, блин!
Л.К.
«Гомоморфный образ группы
Будь, во имя коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма…»
Мехматская считалочка, кажется непосредственно от покойного, увы, Георгия Владимировича Дорофеева.
Л.К.
И Николая Христовича Розова не стало. Очень жаль.
К.
Это не первое обсуждение реформы Колмогорова:
https://mat.univie.ac.at/~neretin/misc/reform/reforma1965.html
Почитав, я прихожу к мнению, что нам дико повезло, в отличие от Франции ))
Плюс к этому мне лично дико повезло со школьными учителями физики и математике. Они преподавали по старинке, но в духе университета, т.е. лекция затем семинары, опять лекция и т.д. Результатом было то, что на первом курсе мне и делать было особо нечего. Спасибо им!
Я, кстати, скачал учебник Колмогорова по геометрии 6-8 классы 1979 г. (версий вообще-то много). Мне лично он нравится. Но я, извините, не принадлежу к множеству 99.9% нормальных людей ))
Прочёл по-русски. Оченно полезная «выкладка» = ссылка, спасибо!
Неретин тоже полезен как собиратель достаточно разумно сгруппированных материалов, с его некоторыми (второстепенными) выводами я готов поспорить, но в целом работа проделана большая и полезная.
Так считаю.
Л.К.
Ранее меня неприятно поразило неретинское эссе по Письму 99 (по части А.С. Есенина — Вольпина, его — бывшей — жены госп. Ирины Кристи, особенно там, мне помнится, плохо описано), выводы неретинские считаю по Письму 99 законченной конспирологией, плохо, что вторили ему многие знаменитые: С.П. Новиков, Д.К. Фаддеев, покойный, другие. Их, видите ли, лишили загранкомандировок после подписания. Но человек-то был ведь спасён. И это главное, считаю.
В этом смысле работа по «условно колмогоровской» реформе отличается и выгодно, на мой взгляд. В лучшую, гораздо лучшую сторону.
К.
Точку зрения «человека всё-таки спасли» я слышал и от
других современиков истории. Возражение Неретина и других авторов
состоит , если я его правильно понял, в том,
что задачу спасти человека можно было быстрее и эффектвнее решить по
дипломатическим каналам — путем неформального, кулуарного обращения авторитетных
академиков в советскую администрацию — которое тоже было,
и, таким образом, вопрос, кто спас человека, трактуется разными авторами по-разному.
Письмо, с точки зрения сторонников дипломатии, было контрпродуктивно.
Мне трудно, не зная реалий, судить о сравнительной правоте двух точек зрения.
Потенциальных проблем вижу две:
1) послушает ли советская администрация авторитетных академиков?
2) захотели ли бы авторитетные академики вступаться
за активиста-диссидента?
Это всё, простите, из обрыдлевшей изрядно серии «виртуального судейства» по типу «если бы да кабы».
Изрекал ли по сему поводу Пётр Леонидович Капица, не изрекал ли — истории сие достоверно не известно на сей момент.
Неретину, имхо, фантазировать не следовало.
Так считаю.
Л.К.
А человека просто (наречие подчёркиваю! — Л.К.) спасли. И точка. Как написал / сказал в интервью /на «гельфандовской прогулке» покойный Роберт Адольфович Минлос.
Присоединяюсь.
К.
https://trv-science.ru/2017/01/robert-minlos-mathwalks/
Вдогонку.
Л.К.
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/4a33982a-4985-40f8-9915-b81edb11f450/view/
Бедные жертвы ЕГЭ. ))
Мне пишет знакомый репетитор: я думаю, что дело не конкретно в «когруэнтности» — это-то всего лишь слово, и любой мало-мальски харизматичный педагог объяснит и необходимость употребления этого тонкого термина, и его значение, и то, какое слово (равенство, совместимость и т.д.) можно использовать для упрощения.
Суть, на мой взгляд, в том, что если где-то в учебнике мы потребовали такой точности и строгости, то нам теперь нужно либо делать это всюду, либо решать нетривиальную задачу о том, где точностью и строгостью можно пренебречь. Но совершенно невозможным представляется вариант, что мы это пренебрежение строгостью скрываем от глаз ученика/читателя, — тогда мы учим школьника вреднейшему из всех «навыков» — выдавать желаемое за действительное, правдоподобное за верное и интуитивно понятное за доказанное. То есть нам в любом случае придётся либо рассказывать всё предельно честно, либо предупреждать, что вот сейчас мы деликатно соврем, и объяснить, почему мы врем и где, когда и как ученик сможет узнать полную правду.
И это порождает сразу несколько проблем. Во-первых, как я уже сказал, решить, что нужно обязательно дать строго, а чем можно пренебречь, — нетривиальная задача. Во-вторых, такой строгий подход требует нескольких условий: а) очень высокой компетентности преподавателя; б) высокого среднего уровня подготовки школьников; в) предельной концентрации и мотивированности обеих сторон.
Не нужно, имхо, в обычной школе (школьной математике) устраивать микроУниверситет (соотв. — мехмат МГУ). Имхо.
Разные задачи.
Л.К.
И если, допустим, к примеру Иван Валерьевич Ященко пытается сделать именно Это — значит Это именно ему зачем-то нужно. Зачем?
К.
https://zen.yandex.ru/media/id/5d7b0f991ee34f00ac847673/chetyre-shkolnye-matematiki-chast-7-ege2022-prodoljenie-degradacii-6190976f9a5df961767f5f96?&
Л.К.
http://m.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&wshow=pubs_mnet&personid=17627
Л.К.
Похоже, последний абзац ваш, — по нему и выскажусь:
Интернаты и были попыткой удовлетворить условиям а), б) и в). И нет оснований считать её провальной. В интернате допустима любая строгость изложения, на какую способен преподаватель.
В обычных егэ-школах желательно культивировать стиль преподавания по res, — наглядно, образно практичные азы для всех, пусть даже в ущерб строгости, — а для прирожденных математиков, — если их сумеет увидеть учитель, — индивидуальные, дополнительные задания с акцентом на математический образ мышления. И за каждого выявленного прирожденного математика учителю всероссийский почет и уважение — и постоянную прибавку к зарплате.
В общем-то, в этом ничего нового, — так работают прирожденные учителя в любой области — школе, армии, спорте, — в науке, искусстве, религии…
Если будут соблюдены все эти оговорки, — тогда страхи и опасения вашего «репетитора» покажутся не такими уж серьёзными.
И ещё, — желательно беспрепятственно позволять подрастающему поколению, если захотят, искать счастья за пределами РФ, — с единственным напутствием: «запомните, — что бы с вами не случилось, — дома вас всегда ждут».
«Похоже, последний абзац ваш,» — да нет же :) самый настоящий (На берегах Невы работает — почему-то постеснялся сам написать) :) я ему переслал Ваш ответ :)
«наглядно, образно практичные азы для всех, пусть даже в ущерб строгости, » — то есть без доказательств ВООБЩЕ? (или только иллюстративных, что то же?) В этом же и проблема, на к.ую указывает коллега: доказательствам очень трудно учить «понарошку», так как в этом случае как научить отличать верное доказательство от неверного?
Мне импонирует ваша настырность, одинаковое внимание к стратегии и тактике.
Если Вы умеете «…отличать верное доказательство от неверного», — Вы это умение привьете своим ученикам на разных уровнях строгости.
Чтобы умели все учителя — надо изменить социальный статус пединститутов и учителей в РФ, — причем так, чтобы такие как Вы и Леонид Перлов стали массовым явлением в учительской среде.
«Ваше Величество, Вы — Гений!» (не помню, откуда, — Л.К., — кажется, из Шварца, но не Лорана, а нашенского драматурга).
Л.К.
Ваше замечание заставило объединить два, казалось бы не связанных утверждения, — и в результате прямо-таки пугающий вывод: все активные читатели ТрВ слегка выше зрелого возраста — гении.
Доказательство опирается на 1) общеизвестную истину и на 2) авторитет.
1) всё гениальное — просто.
2) Борис Пастернак:
В родстве со всем, что есть, уверясь
И знаясь с будущим в быту,
Нельзя не впасть к концу, как в ересь,
В неслыханную простоту.
«Лучше пасть самому, чем душе твоей в мизерность впасть…
…
Я иду на тяжёлый, бессмысленный риск — и пишу.»
Наум Коржавин. «Вступление в поэму», 1952.
Не смотря на сарказм Коганова, замечу. А.Буфетов «массовым явлением» быть не может. Увы.
Легко, — ему это по силам.
Напишет свой школьный учебник, — и в образе множества учителей математики РФ, а затем и местной галактики, породит несчетное живое множество себе подобных, — способных творчески изменять локально геометрию пространства-времени.
Вот как-то так.
Мы как раз обсуждаем почему у Колмогорова такой фокус не получился. Так что как минимум «нелегко».
Из-за такой комбинации строгости и интуитивности, тех, кто учился по Колмогорову, было легче заваливать на вступительных экзаменах. И это была еще одна проблема.
Их надо было принимать без экзаменов — ошибившиеся в своем предназначении естественно отсеялись бы после первой сессии, — или второй, — и могли бы,- уже без математической иллюзии, — продолжать искать свой путь.
Да, к сожалению, это, действительно, очень легко себе представить.
Уважаемые господа!
По поводу этой проблемы со всей ясностью и неопровержимостью высказался В.И. Арнольд, светлая ему память. И возразить ему нечего. Для усвоения дробей нужно резать пирог или яблоки. Для понимания коммутативности умножения нужно построить солдат по «строкам и столбцам» и пересчитать их так и этак. Вы ратуете за строгость в математических доказательствах? Ну тогда начните с определения числа. Что, слабо? Напомню — у Рассела не получилось. В тридцатых годах были попытки ввести действительные числа, как отношения скалярных величин, а мнимых — как отношение векторных. Ничего не получилось. Числа оказались «шире». Все курсы математики начинаются с того, что числа — есть. А что это такое — это, будто бы, всем интуитивно ясно. Вот только — все люди разные. Одним интуитивно ясно одно, другим — другое. Мне, например, ясно, что единство может пораждать множественность, но множественность не может пораждать единство. Я простой человек — такой же, как большинство. И для меня всякая математика, основанная на теории множеств и всякая геометрия, лишенная грубой наглядности — пустой звук. И введение термина «конгруентность» — простой выпендреж. Критерий истины — практика. По Евклиду математика для всех получалась. По Бурбаки (и Колмогорову)— нет. И не получится. И дело не в консервативности учителей (Понтрягин тоже консервативен?) Дело в неверном принципе. Который большинство интуитивно отвергает.
Потому что мы живем в едином мире. А не в множественном.
Как перевести эти общие соображения в конкретные решения? Как, например, определять равные треугольники? (пусть нестрого — как? что должен отвечать учитель на вопрос рeбенка «что такое равные треугольники»?) Как определять наложение (движение, совмещение, — мой вопрос не о выборе термина)? Какой статус должны иметь утверждения: » в равнобедренном треугольнике равны углы при основании» и «в треугольнике две стороны вместе длиннее третьей»? Вопрос как раз и ставится, что говорить на этот счет «простым людям, таким, как большинство». На вопрос, что говорить будущим исследователям оснований геометрии, ответить гораздо проще.
Эти общие соображения не предназначены для перевода в конкретные решения.
Я не математик и этот вопрос не ко мне. Я просто обращаю Ваше внимание, что если говорить о строгости, то нужно начинать с определения числа. Я математической интуицией не обладаю, и для меня числа — самое настоящее чудо, а формула Эйлера — вообще отпад. А операции с бесконечностью вызывают отвращение (думаю, вполне оправданное). Для меня в детстве было вполне убедительно — «если в треугольниках все стороны равны, то равны и их площади». Единственная теорема, которая меня смущала в школьной геометрии — это теорема, доказательство которой было связано с совмещением (насколько я помню далекое детство, речь шла о пересечении параллельных): «Как же это выглядит на практике, как это сделать?» И вряд ли для среднестатистического школьника будет важен вопрос о «статусе». Основание в равнобедренном треугольнике определить не так уж сложно, как и «сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны». Интуиция математика и интуиция «простого человека» — разные вещи. А навязать интуицию в принципе нельзя.
Да и спорить нужно не со мной, а с В.И. Арнольдом ( кстати —«простым людям, таким, как большинство» — почти цитата из В.И.)
«Я не математик и этот вопрос не ко мне.» —- Наоборот, именно к Вам! Что на эту тему говорить математику, как раз примерно понятно. «для меня числа — самое настоящее чудо, а формула Эйлера — вообще отпад.» — СЕГОДНЯ я готов с Вами согласиться — да, «отпад». Но ПОДРОСТКОМ меня гораздо сильнее увлекала Канторова теория множеств (это часто бывает у подростков и подрoбно описано). «Для меня в детстве было вполне убедительно — «если в треугольниках все стороны равны, то равны и их площади».» — иными словами, Вас не интересовала логическая структура курса геометрии,
Вам хотелось решать практические задачи, «мерить Землю», a не «критиковать основы». Такой подход к преподаванию геометрии есть. Тут мы снова (как и в нескольких других ветках) выходим на вопрос о
самостоятельных рассуждениях (Вы хотите сами «мерять Землю» или следуя
инструкции от учителя?). «навязать интуицию в принципе нельзя.» Навязать — нельзя. ПОДАРИТь — можно.
Александр Буфетов, — похоже, вас действительно интересует поиск безупречного ответа учителя на вопрос ребенка. Поэтому безвозмездно помогу вам мысленным экспериментом, в котором вы — подобие ребенка, я — учителя.
Учитель Аксайский классу: сегодня я объясню вам — что такое треугольники.
Ученик Буфетов учителю: это понятно, — а вот что такое равные треугольники?
Аксайский: рад твоим преждевременным знаниям, — но я должен оказывать образовательные услуги классу, — поэтому, чтобы тебе не было скучно, попробуй с помощью листа бумаги и ножниц одновременно сделать хотя бы два треугольника — они обязательно получатся равными.
Буфетов: а как?
Аксайский: в соответствии со стандартами Минобразования, я должен развивать в тебе навыки самостоятельного мышления, — так что, попробуй по всякому, — если листа не хватит, выдерни из своей тетради, сколько понадобится.
Если моих услуг окажется недостаточно, можешь обратиться к Google со своим вопросом, -в рамках эргодической гипотезы, хотя бы один из его 9 020 000 результатов окажется вполне удовлетворительным ответом.
Вот как-то так.
БРАВО :) я бы Вам на такие ответы в свою очередь ответил очень энергически и даже, есть риск, так, что
не совсем удобно описать в форуме ТрВ. НО: в самой советской, самой средней школе во дворе самой рабочей из рабочих окраин (примерно из стихов Бориса Рыжего) учительница была совсем другая:
она давала мне в 4м классе ребусы, где буквы надо было заменить цифрами, чтоб выходил верный пример и тому под. Всегда вспоминаю ее с благодарностью. А слово «образовательные услуги» так же мало можно было себе представить в устах моих советских учителей, как слово «гугл». (репетиторы у меня, само собой, тоже были: скажем, по англ. языку: но учителя и репетиторы это были дизъюнктные множества).
Жаль, что не решились, — мне нравится ваша активность.
Вам, похоже, повезло с учительницей, — творческая личность, — ведь обычно сначала учат правилам работы с числами в образе цифр, а не букв.
Вот те раз. Начиная видимо с двухтомника Немыцкого, Слуцкой, Черкасова, далее Фихтенгольц и большинство последующих курсов анализа начинаются с построения действительных чисел. Существует множество способов строить действительные числа, но среди них нет такого чтобы все нужные свойства чисел можно было совсем просто доказать. Эта тема оказывается существенно сложнее чем основное содержание курса дифференциального исчисления. Поэтому, по моему мнению, в 1м семестре следует положится на интуитивное понимание. А формальное изложение вопроса отправить туда, где излагается введение в теорию моделей, вместе с построением натурального ряда и p-одическими числами (если нужно).
Если Вы об этом (https://pt.eg1lib.org/book/2721505/e06537), то никаких определений числа там нет. «Построение» и «определение» — разные вещи.
Можно заглянуть сюда (https://disk.yandex.ru/i/c3papzaE3ZRjRq)— это Б .Рассел и сюда (https://www.studmed.ru/frege-g-osnovopolozheniya-arifmetiki-logiko-matematicheskoe-issledovanie-o-ponyatii-chisla_765df9f930d.html) — это Г. Фреге.
Ал. Ив.!
Спасибо за Ваши посты и полезные ссылки в них.
Скажу пару слов.
Покойный увы Владимир Игоревич Арнольд не есть «истина в последней инстанции», как и любой другой весьма / сколь угодно крупный специалист- математик (рассмотрение воззрений В.И. — пока за скобками).
Но что касаемо спецов, тут вот как.
Уровни строгости в математике бывают разные, и спецов учат и долгие годы «ходить на разных этажах и в подвалах», условно, не испытывая головокружений (от «неуспехофф» в основном и банальном). Мне довелось именно работать с основаниями не непротяжённом жизненном отрезке — это весьма тяжкий труд, и не следует самоуглубляться и уподобляться «сороканожке, размышляющей о действиях своей 13-й ноги во время передвижения», тут я позволил себе повториться.
Мы — о школьных делах, и тени Бертрана Рассела и Готлоба Фреге (ещё ранее того же Рассела) можем позволить себе не тревожить, имхо!
Есть хорошая книжка «рьяного колмогороффца» профессионала Александра Ханиевича Шеня, где школьная геометрия обсуждуется / критикуется на весьма глубоком уровне (привлечение Оснований по Гильберту и проч.), в прошлом, кажется, номере ТрВ есть условно «проф. Принсгейм от Е.М. Берковича», там в комментариях приведены выходные данные, повторяться не буду, книжка издана в МЦНМО в 2006 и по сю пору, полагаю, доступна. А статья Берковича по сю пору на главной портала ТрВ (просьба рекламой статьи не считать! — Л.К.).
Странно, что книжка Шеня не затронута и что «кони бегают по кругу», но странностей здесь в комментах a mon avis = по моему мнению (франц.) вообще хватает.
Л.К.
У Александра Ханиевича Шеня есть приличный опыт преподавания математики гуманитарам (что-то унаследовано возможно от Успенского). Может это взять за основу содержания и методики для массовой школы?
Вопрос к автору, имхо, хорошей (см. выше) книги.
К автору текста проф. Буфетову. Но не ко мне, это точно — я ещё не геометр и уже — не школьный учитель.
Л.К.
Правда, комбинаторикой заниматься продолжаю по мере сил.
К.
Да ладно вам. Прав был Арнольд. Ему, когда французские школьники (или даже студенты ;) ) сложили 1/2 с 1/3 и получили 2/5, все стало ясно с бурбакизацией французской школы.
Мне — не ладно, и вульгаризация позднего Арнольда (не только и не столько из’езженных им несчастных простых дробей) мне не доказывает его, возможно, мнимую «правоту».
Бурбакизм — это шифрование записи, идущее от школы Джузеппе Пеано. В основном, чтоб результаты банально не покрали, но это поначалу. Затем действительно скверная «элитарность» (Вы этим не грешите, нет?).
В рамках бурбаки были и читабельные книги, но скорее в виде исключения (Ян Макдональд по группам Коксетера и ещё), сама идея коллективного элитаризма — дрянь, поскольку математика есть наука всё же в основном сугубо индивидуальная.
Мода на бурбакизм ушла ранее его носителей.
Так что покойный Арнольд пинал ногами дохлого льва.
Л.К.
Мне не до элитарности. Остается лишь горько осознавать свою беспомощность перед лицом сильно связанных релятивистских систем ))
Вторая фраза Ваша мне абсолютно непонятна.
Л.К.
«Неэгалитарно рассуждаете!» Перефразируя эпизод (там — «аполитично») из к/ф «Кавказская пленница».
К.
Давеча открыл «Геометрию» М. Берже и «Геометрию» Александрова. Во-первых, непонятно, почему у них названия одинаковые. А во-вторых, понял, что я полный дебил и потому нужно вешаться. Правда, «Геометрия» Александрова убедила меня, что вешаться можно погодить.
И не думайте, что это шутки! — меня в юности такие вещи в такую черную тоску вгоняли, что руки опускались!
Перефразируя нелюбимого мною Мих Афанас Булгакова, ну так и не надо читать «специально шифрованные» книги типа пресловутой, Алексей Ив Кострикин, кажется перевёл, «Алгебры» Сержа Ленга — коричневый увесистый том. Если только нет необходимых теорем, отсутствующих напрочь в других местах.
Я так предпочитаю всему русские учебники 30-х годов: «кочинско — икорниковские» лекции Адольфа Гурвица по аналитическим (и эллиптич.) функциям, Привалова разнообразного (с Карлом Поссе и без него) для справок и пр. неизбывную «архаику».
Н.Я. Виленкин широко пользовался знаменитым Задачником по алгебре питерца Василия Августовича Кречмара (погиб в блокаду), старыми изданиями Гюнтера — Кузьмина.
Геометры до сих пор используют И. Александрова, Делонэ — Житомирского.
Пусть Марсель Берже (Марио Бессэ, так кажется) стоИт на полке сугубо для справок, отдыхает побольше. Ему не повредит, имхо.
Л.К.
Так Вы хотите определение натурального числа? То что здесь вообще может быть какой-то вопрос некоторые люди догадались только в конце XIX века. Для школьников (да и ни для кого кроме специалистов в области оснований математики) такого вопроса нет. Все люди интуитивно понимают их одинаково (как минимум различия не обнаруживаются в процессе коммуникации). Поэтому натуральные числа можно считать неопределяемым исходным понятием,
Вам, кроме ссылок на Рассела и Фреге, ссылку на Поппера дать? А он говорит о тех вещах (речь о числах), которые мне в голову еще в щенячьем возрасте приходили. Числа — продукт очень развитой культуры. Аборигены Австралии совсем недавно умели считать только до двух. Так что «все люди» — далеко не все.
Но речь не о числах. Речь о том, что интуиция «математиков» (особенно бурбакистов) и интуиция остальной части человечества — две большие разницы.
Для меня и в Евклиде есть вещи непонятные («геометрическое место точек» — а точки, вообще, существуют? Если да, то почему не существуют «бесконечно малые»? А что между точками? А «непрерывность» есть или нет?). Но с этим ещё как-то можно смириться — ладно уж, пусть «геометрическое место», слово такое (цитата). А уж то, что предлагают бурбакисты — для меня вообще гроб. Для меня это вообще бы отрезало возможность образования. А голова работает — Понтрягин удивился, когда я его задачу на вступительных в МГУ решил за пару секунд. «Как, уже?!»
Формулировку задачи, данной Л.С., помните? Думаю / надеюсь — да!
Л.К.
К сожалению, забыл. Помню, что речь шла о вычислении объема какой-то призмы (нужно было доказать, что так-то и так-то) и в лоб задача не решалась, но решалась элементарно, если заданную призму достроить. Мне Бог помог — сразу достроил.
Наверное — усечённой пирамиды: и взять разность величин = соответствующих об’ёмов: об’емлющей и об’емлемой пирамид на нижнем и на вехнем основаниях соответственно. С общей верхней вершиной.
Так, не так?
Л.К.
Реконструкция конструкции типа. Вынос мозга типа.
К.
Система наименований чисел — продукт культуры. А интуитивное представление о натуральном числе есть не только у всех людей, но и у многих животных. Обезьяны, собаки и даже вороны способны складывать и сравнивать (на больше- меньше) числа в пределах первого десятка.
Насколько я понимаю, вопрос о формальном определении натурального числа — это и есть «бурбакистский» вопрос. Обычному человеку не придёт в голову определять понятное (натуральное число) через непонятное (теорию множеств или ещё более навороченные математические структуры).
1 Если Вам так всё понятно с числами, объясните мне — я не придуриваюсь, я действительно не понимаю — почему умножение коммутативно. Три умножить на пять — на первом месте объект, а на втором — указание на операцию. Каким образом их можно менять местами? Совсем недавно — несколько месяцев назад — здесь это обсуждали в связи со школьными неразберихами — учителя снижали оценку за коммутативность (видимо, не знали анекдот про умного Вовочку).
2. То есть, Вы полагаете, что аборигены Австралии умели считать только до двух потому, что не выдумали название чисел? И что ноль и отрицательные числа поздно ввели только потому, что раньше название не выдумали? А Вы знаете, что ещё в 19 веке строители железнодорожных мостов обязательно ехали в первом поезде — потому что жизнью своей свидетельствовали, что верят в свои расчеты с мнимыми числами, которых, конечно же, на свете не бывает?
3. Вы сами-то как относитесь к определению «землемерное место точек»? Что это за зверь такой — «землемерное место»? Или «землеметрическое»? Или тоже «такое слово»?
А я пока буду искать ссылку на Поппера.
1.Для аксиоматики Пеано и для модели натурального ряда Фреге коммутативность умножения — это нетривиальная теорема. Я и сам не понимаю как это там доказывается. Но мы здесь говорим об интуитивных представлениях. Если взять три раза по пять и если взять пять раз по три, то получится в обоих случаях одинаково по пятнадцати. Вероятно, это особенность русского языка, что второе числительное выглядит здесь как операция. А на самом деле операция двуместная и оба числительных — её аргументы. Младшим школьникам коммутативность умножения наглядно поясняют, рисуя три ряда по пять предметов и пять рядов по три предмета. То что количество предметов в множестве не меняется при повороте картинки на 90 градусов у детей (хоть бы и австралийских) не вызывает сомнений.
2.Богом (или природой) нам дано только представление о натуральном ряде. Отрицательные, вещественные и тем более комплексные числа — это человеческие изобретения. Они придуманы людьми для более удобного описания мира. Может быть всё это вплоть до гомотопических типов и существует в платоновском смысле, но точно не в каждой голове.
3.Вещественные неотрицательные числа имеют мощное подкрепление как интуитивное представление о непрерывной мере (длине, площади, объёме). Конечно на эту интуицию нужно опереться при их введении в школе.
Имхо, хороший пост, поддерживаю.
По пункту 1 см. чёрно-жёлтый Фрейденталь:
Математика в науке и вокруг нас, стр.58 — 60, конец стр.59.:
В целом по Эрбрану — Гёделю, но индуция на (полу-) разумеется, интуитивном уровне.
Салют памяти покойного Ганса Фрейденталя, героя голландского Сопротивления и блестящего математика!
Л.К.
«Для аксиоматики Пеано и для модели натурального ряда Фреге коммутативность умножения — это нетривиальная теорема. Я и сам не понимаю как это там доказывается» — Огромное спасибо, мне вполне достаточно. Всё остальное излишне.
Горячо поддерживаю мысль, что в школьном курсе надо опираться (по возможности) на интуитивно ясные понятия. Пуризм аксиоматики тут должен быть (ИМХО) глубоко вторичен. Давая сложные определения интуитивно понятным вещам, мы аккурат убиваем интутивное мышление. Кроме того, надо всегда помнить, что объем курса ограничен. И если время тратится на сложные определения и занудные доказательства, то ученики не доберут чего-то другого. Например, практики в решении задач.
Натуральные, конечно, можно — но, кажется, никто и не ставил никогда вопрос
о сколько-нбудь подробном обсуждении понятия натурального
числа в школьном курсе, во всяком случае, в СССР и в России . А вот как быть с действительными — вопрос содержательный. Даже Борель (1905) рассчитывает свой учебник на
учеников с очень разным уровнем знаний по алгебре — и очень аккуратно
пользуется дейcтвительными числами. Подход «мы уже знаем, что такое
действительные числа начиная в школе изучать геометрию» — совсем недавний.
Наоборот, традиция, идущая от Эвклида состоит в том, что
действительные числа — это (скажем) длины отрезков и впервые появляются
именно в рамках курса геометрии.
Традиция разумная. Длина гипотенузы — вероятно простейший пример иррационального числа. А длина окружности — простейший пример трансцендентного числа, только этого уже не доказать школьными методами.
Хочется добавить «с единичными (длины в точности1) катетами», соответственно, «с единичным радиусом».
А то «физическая и около- общественность» форума перестанет нас уважать.
Не так ли?
Л.К.
Теорема Линдемана даже по Гурвицу («пегий Бухштаб», ранее Дмитрий Александр. Граве) практически непрорубаема для студентов.
К.
«Натуральные, конечно, можно — но, кажется, никто и не ставил никогда вопрос о сколько-нбудь подробном обсуждении понятия натурального числа в школьном курсе, во всяком случае, в СССР и в России»
Ну, обалдеть! У Куранта и Роббинса в «Что такое математика» это и во введении и первая глава с этого начинается — а у нас, стало быть, и не думали никогда об этом!!!
Думали, конечно. У одного из имяславцев (а не именеславцев), А.Ф.Лосева, даже есть трактат— «Диалектика числа у Плотина». И, конечно же, думали, как объяснить это детям. Но тут ссылку дать не могу — только по памяти. Чуковский, кажется, рассказывал, что знакомый малыш не мог пересчитать стулья — потому что палочки их считать учили, а стулья — нет. И как тут быть?
Только математики считают, что думать над тем, что такое число — не их дело (это у Куранта во введении).
Извините, пожалуйста, что я неясно выразился. Я говорил о школьном курсе математики и имел в виду курс за пределами начальной школы. Речь шла, действительно, о натуральном числе в математике, и моя мысль была, кажется, та же, что у Вас — что в курсе математики (во всяком случае, в том, что касается школьного курса за пределами начальной школы) предпочитают вообще об определении натурального числа не думать. О том, как учить считать в начальной школе, стыжусь признаться, не знаю ровным счетом ничего. Любые сведения о влиянии трудов Плотина на русскую педагогическую мысль, а, сверх того, на упомянутого Вами Чуковского, приму с глубокой благодарностью. В использовании варианта «именеславие» следую Бердяеву, см. хоть работу «Гасители духа». А чем он Вам не нравится?
«В использовании варианта «именеславие» следую Бердяеву, см. хоть работу «Гасители духа». А чем он Вам не нравится?» — Да не мне. «Имяславие» — общеупотребительный термин (см. Википедию, например) Наберите в Гугле «именославие» — Вам поправят.
Я 52 г в Церкви, знакомых единоверцев-математиков в молодости было много (сейчас некоторые умерли, многие уехали). Но имяславцы были не среди них (хотя Пенроуз утверждает, что все серьезные математики и физики платоники, а от платонизма до имяславия рукой подать). Повторяю, среди моих ровесников-математиков имяславцев не знаю (может быть, скрывали). Но в Москве семидесятых была среди интеллигентов группа имяславцев. Продолжение это не получило. На Афоне к позитивным результатам это тоже не привело.
Кстати — в начале семидесятых я встречал аспиранта с мехмата, который работал над программой Колмогорова. Денег ему и его товарищам не платили — всё было на чистом энтузиазме, насколько я знаю. Но, может быть, ошибаюсь.
О влиянии Плотина на педагогическую мысль в России не знаю. Но думаю, что влияние было нулевым.
«а от платонизма до имяславия рукой подать» — Раскройте, пожалуйста! Очень интересно.
Мне, наоборот, часто кажется, что русскому
православию (как бы это сказать?)
еще предстоит счастье открыть Платона
(как открыли его, скажем, Ficino и Pico)
Мне, наоборот, часто кажется, что русскому православию (как бы это сказать?) еще предстоит счастье открыть Платона (как открыли его, скажем, Ficino и Pico) —на этот вопрос можно ответить по-разному. Можно привести список, начинающийся с С.С. Аверинцева, г. Чистякова и т.д. Вы же очень хорошо понимаете, что администрация Вашего института и работающие в институте научные сотрудники — две большие разницы. Да и среди администрации РПЦ не все у.о.
Но лучше я Вам приведу одну давнюю историю.
В Москве второй половины шестидесятых-семидесятых годов было несколько храмов, куда стекалась интеллигенция. Одним из таких храмов был «Илья Обыденный» (храм пророка Ильи в Обыденном переулке, Остоженка, м. Кропоткинская). Ктитором (старостой) храма был друг-приятель патриарха Пимена. Пимен любил этот храм и почти каждую неделю туда приезжал. Вот ктитор и возомнил себя большим человеком, которому всё можно. И на крестный ход Пасхи 1972 года одел в стихари молодых прихожан храма — сорок пар, большинство из которых было с университетским (МГУ) образованием. Вы знаете, что чаще всего интеллект если и не делает человека красавцем (что тоже часто бывает), то внешность у такого человека далеко не ординарная. Вот и пошли сорок пар молодых красавцев, одетых в стихари под пение «Воскресение Твое, Христе Спасе, ангелы поют на небесех…». Это было очень убедительной иллюстрацией того, что в СССР религией интересуются только старики и придурки. Естественно, разгорелся скандал. Ктитору «органы» всыпали, чтобы не превозносился. И еще многие годы после этого, когда мы просили стихарь (хотя бы на праздники, неудобно на праздник в алтаре без стихаря), ктитор сразу начинал шипеть.
Так вот — уверяю Вас, что у этих восьмидесяти с Платоном было всё в порядке. Платон, он такой — прочтешь один раз «Не шумите так, афиняне» — и не забудешь это всю жизнь (это не я, это С.С. Аверинцев).
Что же до связи платонизма с имяславием, то платонизм, как Вы знаете, подразумевает веру в существование «идей». Конечно, среди идей есть и «божественные». Которые, естественно, неотделимы от Бога. И приобщение этим идеям приобщает человека к Богу.
Но прошу мое объяснение всерьез не принимать — я фундаменталист (фундаменталистами называют полоумных обскурантов, но полоумные и есть полоумные. Я настоящий фундаменталист. Написано в Библии, что монархия — это плохо, и я так считаю — и т.д. и т.п.) и поэтому считаю, что многое, что возникло в христианстве после великого раскола (на Запад И Восток), не следует принимать всерьез.
…традиция, идущая от Эвклида состоит в том, что
действительные числа — это (скажем) длины отрезков и впервые появляются именно в рамках курса геометрии.
По здравому смыслу, сперва появились числа натуральные. Древнегреческим пастухам нужно было время от времени овец и коз своих пересчитывать. Чтобы не списать слишком много шашлыков на волков и прочих Лернейских гидр. С геометрией связь довольно отдаленная.
Cогласен :) а действительные гораздо позже и, даже если считать, что пропорции Эвклида и суть действительные числа (что само по себе не очевидно — почему не квадратично иррациональные, возражают мне), во всяком случае, они возникают позже 1ой книги, равенства треугольников, задач на построение и тому под.
Пастух в Древней Греции, так же, как пастух Средней Азии 19 века, знал каждую свою овцу «в лицо». И считать ему их было не нужно. Если Вы когда-нибудь читали рассказы Тихонова («Тихонов, Сельвинский. Пастернак»), то он об этом пишет — один из его азийских героев воробья мог «по лицу» отличить, а муравья не мог.
Не буду спорить со специалистом. Передавайте мои наилучшие пожелания древнегреческим пастухам.
Многие моменты про АН остаются в его архиве. Не знаю ситуацию на сегодня. До недавнего времени его архив был пополам между одним из профессоров мехмата и вдовой одного из его учеников. Мне не удавалось проникнуть в них. Хотя не очень чтобы старался. И не знаю где архив по делу Лузина. Скорее нужна Лузитания. Что-то извлёк на свет Бжий питерский европейский университет в книге «Имена бесконечности». Не знаю, кто-то вообще занимается его сводным архивом или нет.
Зачем Вам? Цели — какие?
Л.К.
История с артразбросом. Наследие Лузитании. Педагогика.
Второе предложение, как его надо понимать?
Прошу пояснить.
Заранее признателен.
Л.К.
Думаю про связь Лузитании и круга Константинова
Перефразируя Бог весть кого, не помню, все мы на московии вышли из педагогического подвижничества Н.Н. Лузина, даже эмигрант Костицын, снимавший с Н.Н. квартиру в период ученья у Егорова и Млодзеёвского.
Кронрод позиционировал себя прямым учеником (последним явным) Н.Н.
Об А.Н. и говорить нечего (несмотря на знаковую «пощёчину»). Делонэ и Понтрягин хоть и дистанцировались, но «наследием Н.Н.» пользовались вполне себе широко.
Тут, скорее, прямая преемственность. Имхо.
Л.К.
Даже в «долбаной конгруэнтности» чисто филологического толку.
К.
Я не про дерево Лузина. Я про кружок 20-х и 30-х лет до разгрома (от французских коллег — Бэра, Бореля др.). И сравнение с системой Константинова. Различия с питерскими тогда же и до сейчас (Смирнов и НМУ). Хочется понять и нынешнюю систему от Сириуса, но думаю не смогу.
За подробности про АН спасибо.
Про филологию раз уж упомянули. Вы временами переходите на литовский. А есть там эквивалент буквы Щ (Вы как-то и ей употребили в этой ветке). Но если это прикол такой — извиняйтис. С уважением, Александр Денисенко (кстати никогда в ГКНТ не служил, работал в ВЦ при нём разработчиком баз).
Взаимные извинения, если ошибся.
Л.К.
Да ничего. Вообще Ваш энергичный стиль общения мне нравится. Полезно во всяком случае и оживляет. Про архивы ситуация осложнилась недавно в связи с Мемориалом — важнейший архив им прикрыли похоже. Но вообще опыт работы в архивах есть, по большей части в РАО.
не забыть еще добавить: и педагогического подвижничества
учителя Лузина и Петровского Дмитрия Федоровича Егорова, принявшего мученическую смерть.
Мне интересно добавить Павла Флоренского и гору Афон.
О этом ученики или молчат или не знают, а некоторые впадают в ярость… Это подогревает интерес
Признаться, я тоже плохо понимаю. Общеизвестно, что Егоров, Лузин и
Флоренский входили в довольно многочисленный московский кружок именеславцев. Дальше этого факта мои сведения не идут. Даже
насколько они были близко знакомы, кажется, не совсем ясно (?). Еще менее я знаю о влиянии Павла Флоренского на Егорова и на Лузина — каком бы то ни было — и еще гораздо менее — на Колмогорова и других учеников Егорова и Лузина — например, на церковноверующего Петровского. Если я что-то упускаю, уточните, пожалуйста!
Математики почти не читают книг, вот для эрудиции не самый удобный вид, но можно.
Это Лорен Грэхем, Жан-Мишель Кантор. Имена бесконечности. Европейский университет САнкт-Петербурга. 2013
https://djvu.online/file/Q2cNsdHsGbJXK
По-моему, надо студентам прочесть.
К сожалению, из этой книги — от комментария о добросовестности которой воздерживаюсь — мягко говоря, совершенно ничего не ясно. Процитировано несколько очень вежливых фраз из писем Лузина Флоренскому. Общеизвестно, что Николай Николaевич Лузин был изысканно вежливый человек. Есть ряд статей о переписке Лузина и Флоренского (три, да?). А сама переписка где?
Она опубликована (то, что сохранилось)? Хотя бы в интернете? Если да, то где? Если нет, то о чем мы говорим?
Так и хотелось поискать в архивах — общих и личных. Но попытка встречает очень негативное отношение. Иногда агрессивное. Ну значит не судьба. Кто-то всё равно раскопает когда время придёт. Или оно само всплывёт — найдут чего-то на какой-нибудь даче.
Это просто УЖАСНО, если архивы Егорова и Лузина не открыты для исследователей истории математики. Уточните, пожалуйста: а где они? Как-то к ним же получали доступ исследователи? Конечно, надо бы эти архивы по возможности опубликовать. Hе устаю восхищаться притягательной силой личности Дмитрия Фёдоровича Егорова.
А уже писал в комментариях об архивах АН. Два частных лица. Дело Лузитании должно быть в архивах закрытых ведомств. До недавнего времени туда имел доступ Мемориал. Сейчас это юридически невозможно. Но если дыры в истории математики не залатают математики, их начинают латать историки и богословы. Так же с историей артстрельбы. И закрыта, хотя известна, история гибели Давида Шклярского. Я не профессионал и могу лишь задавать вопросы. Про Егорова всё-таки его связь с французской школой важна. И повис вопрос о разногласиях Лузитанцев с Ленинградцами. А был даже поезд. И ещё тема, до которой не дошли руки у Мемориала — так называемое дело Наркомпроса 1936 года (педологию громили одновременно с Лузитанией в июле 1936). Никаких следов. Теперь всё станет сложнее.
С этим согласен полностью.
Л.К.
https://zen.yandex.ru/media/melfm/prines-vred-sovetskoi-nauke-istoriia-matematicheskogo-ordena-luzitaniia-i-ee-sozdatelia-nikolaia-luzina-61c9e95e9cff2047522db567
Глянец (гламур), изложено более чем поверхностно.
Комментировать что-либо здесь не возьмусь.
Пример некоего биографического ширпотреба.
Но пусть хоть так, с недомолвками и издержками.
Л.К.