Альфред Прингсхайм: «О ценности математики и ее якобы ненужности»

Профессор Мюнхенского университета и тесть писателя Томаса Манна Альфред Прингсхайм¹ с детства любил музыку и математику и долгое время не мог определиться со своей будущей профессией. Позднее к этим увлечениям добавилось собирание произведений искусства, и он стал владельцем богатейших коллекций картин, золотых и серебряных украшений, итальянской майолики. Три страсти — математика, музыка и художественное коллекционирование — жили в нем постоянно.

В краткой автобиографии Альфред без ложной скромности говорит о своих достижениях в коллекционировании: «В кругах искусствоведов я считаюсь знатоком и успешным собирателем предметов искусства Ренессанса. Особенное значение имеет мое собрание итальянской майолики, представляющее собой самую значительную частную коллекцию такого рода. С моим участием Отто фон Фальке подготовил издание монументального каталога, который специалистами оценивается как одно из важнейших пособий для изучения истории искусства майолики» (Mendelssohn, 1997, стр. 544).

Внук Альфреда Прингсхайма Клаус Манн сравнивал дом деда с музеем: «Он собирал картины, гобелены, майолику, предметы из серебра и бронзовые статуэтки — все в ренессансном стиле. Его коллекция была столь значительной, что кайзер Вильгельм II за его заслуги наградил орденом Короны второго класса. Дворец на улице Арси действовал как музей» (Mann Klaus, 1984, стр. 17).

С этим орденом у мюнхенского профессора возникли проблемы. Дело в том, что орден Короны являлся не общегерманской наградой, а прусской, и Вильгельм II выступал при награждении не как император Германии, а как прусский король. С точки зрения баварского королевского двора эта награда считалась иностранной, и государственный служащий, каковым являлся любой профессор университета, не имел права выходить с ней на публику. Пришлось изрядно потрепать нервы и потратить немало времени и сил, пока Прингсхайм не получил все-таки право носить этот орден в Баварии.

Выбор между математикой и музыкой Альфред сделал в молодости, как он шутил, в пользу первой и к счастью для второй. Математика оказалась главным делом его жизни. На небосклоне науки он не стал звездой первой величины, но был, без сомнения, интересным ученым и блестящим педагогом. Его достижения высоко оценивали современники.

Почти сразу после основания Немецкого математического общества² осенью 1890 года Альфред Прингсхайм был избран его членом, а в 1906 году — председателем. Среди тех, кто занимал этот пост до Прингсхайма, были великие Георг Кантор (в течение четырех лет — с 1890 по 1893 год), Феликс Клейн (в 1897 и 1903 годах), Давид Гильберт (в 1900 году).

Известный математик Оскар Перрон, слушавший лекции Альфреда в Мюнхенском университете имени Людвига и Максимилиана и занявший там кафедру своего учителя после ухода того на пенсию (в 1922 году), написал в воспоминаниях о Прингсхайме, что он принадлежал к числу выдающихся и — если исключить годы нацистской диктатуры — наиболее результативных ученых своего времени (Perron, 1952–1953).

Альфред Прингсхайм учился в Гейдельбергском университете и защитил в 1872 году под руководством профессора Кёнигсбергера первую докторскую диссертацию. Через пять лет в Мюнхене он получил вторую докторскую степень и должность приват-доцента. В Мюнхенском университете имени Людвига и Максимилиана Альфред проработал до своего ухода на пенсию в солидном 72-летнем возрасте. Но и после этого он продолжал активно заниматься математикой.

Преподавательская карьера Прингсхайма развивалась успешно, хотя и не очень быстро. Внештатным (экстраординарным) профессором он стал в 1886 году, а заветную должность ординарного профессора и кафедру математики в университете он получил, когда ему было уже за пятьдесят — в 1901 году. Правда, за несколько лет до этого его высокую квалификацию подтвердили выборы в Баварскую академию наук, членом-корреспондентом которой он стал в 1894 году. Через четыре года Прингсхайм был избран действительным членом. В «Докладах Баварской академии наук» были опубликованы основные результаты его математических исследований в период с 1895 года вплоть до начала нацистской диктатуры, когда его вычеркнули из членов академии. Печатался он и в других ведущих немецких научных журналах. В 1934 году список его математических статей насчитывал 106 названий.

Причину того, что звания ординарного профессора Прингсхайму пришлось ждать так долго, многие историки видят в антисемитизме руководителей министерства и университета. Альфред не подчеркивал, но и не скрывал, что он еврей. К религии он был равнодушен, но связей с еврейской общиной не прерывал. В официальных документах он в графу о религии либо записывал «вне религии», либо писал «иудейская». Впрочем, для богатой (в прямом и переносном смысле) натуры мелкие служебные неприятности не были столь уж существенными.

Тем более что его профессиональные достижения не оставались незамеченными коллегами. Уже в 1884 году, за десять лет до избрания членом-корреспондентом Баварской академии наук, Прингсхайм стал членом очень уважаемой в научном мире академии естествоиспытателей Леопольдина, старейшего научного общества Центральной Европы, основанного императором Леопольдом I в 1687 году в качестве Академии Священной Римской империи для наблюдения природы. За этим званием последовали и другие: своим членом Прингсхайма избрали академии в Гёттингене и шведском Лунде.

Со стороны государства заслуги Прингсхайма были отмечены несколькими высокими баварскими орденами, например Святого Михаила за заслуги третьего и четвертого класса. В 1912 году его назначили тайным придворным советником. В то время было два вида придворных советников: те, кто покупал высокий титул за деньги, и те, кого назначали за заслуги бесплатно. Прингсхайм принадлежал ко второй группе.

В краткой автобиографии, написанной в 1915 году, Прингсхайм подчеркивает свою приверженность стилю знаменитого берлинского математика Карла Вейерштрасса: «Хотя я никогда не был учеником Вейерштрасса, я считаюсь одним из наиболее последовательных и (sit venia verbo³) наиболее успешных исследователей именно вейерштрассовской „элементарной“ теории функций» (Mendelssohn, 1997, стр. 828).

Более всего Прингсхайма интересовали вопросы сходимости или расходимости последовательностей, рядов, цепных дробей и произведений. Он был признанный мастер создания, уточнения и обобщения критериев сходимости различных процессов.

Для Прингсхайма было принципиально важно добиться как можно более простого и элегантного доказательства теоремы при высочайших требованиях к строгости всех выводов. Этот стиль сейчас связывают с именем ученика Прингсхайма — Эдмунда Ландау, ставшего в 1909 года профессором Гёттингенского университета. В то время немногие математики заботились об обоснованности всех деталей доказательства. После работ Прингсхайма и Ландау положение изменилось, и в этом немалая заслуга их обоих.

И Прингсхайм, и Ландау не знали снисхождения к логическим пробелам в любой математической работе, кто бы ни был ее автором. «Работа над ошибками» велась, как правило, публично; немудрено, что у обоих математиков было немало обиженных недоброжелателей. В то же время критика несовершенных работ оказывалась необыкновенно полезной для студентов и начинающих ученых.

Альфред Прингсхайм был прекрасным педагогом. Он не жалел ни сил, ни времени, чтобы сделать результат понятным даже для тех, кто только начинал знакомиться с проблемой. Почти десять лет ученый занимался тем, чтобы упростить и обобщить знаменитую работу Адамара о трансцендентных функциях, опубликованную в 1892 году. Зато в изложении Прингсхайма этот раздел стал образцом математической элегантности и простоты.

Оскар Перрон вспоминал, что лекции профессора Прингсхайма слушали с напряженным вниманием от первой до последней минуты, а лектор разнообразными шутками и анекдотами не давал студентам заскучать. Кстати, мало кто из нынешних школьников и студентов знает, что обозначение ln для натурального логарифма придумал Прингсхайм.

Остроумие Альфреда и его склонность к шуткам, каламбурам, смешным историям были хорошо известны коллегам. Ему не раз поручали вести торжественные собрания и выступать с приветственными речами на собраниях Немецкого математического общества. Не случайно его прозвали «веселый математик».

Речь, посвященную юбилею знаменитого создателя теории множеств Георга Кантора (1845–1918), воспитавшего немало известных математиков, Прингсхайм начал такими словами: «Уважаемый юбиляр! Мы благодарны вам не только за учение о множествах, нет, но также и за множество ученых!» (Fritsch и др., 2001)⁴.

После ухода на пенсию в 1922 году математик посвятил пять лет жизни изданию курса лекций, охватывающего весь анализ и некоторые разделы теории чисел. В этом печатном труде, ставшем настольной книгой для нескольких поколений студентов, немало остроумных разговорных примечаний, за которыми угадывается неповторимый стиль мюнхенского преподавателя, считавшего юмор обязательным инструментом лектора.

С увлечением занимался Прингсхайм историей математики. Со свойственной ему придирчивостью проверял он научные факты и вскрыл не одну ошибку в авторстве той или иной теоремы. Его исследованиям помогала уникальная библиотека старинных математических книг, которую он собрал в своем роскошном доме. В тех проблемах, чья история его интересовала, Прингсхайм всегда доходил до первоисточника. Он перечитывал огромное количество книг и журналов, замечая ошибки в утверждениях, считавшихся безукоризненными. Свои находки он публиковал в серии «Критико-исторических замечаний», которые выходили с 1928 по 1933 год в «Докладах Баварской академии наук».

Знание истории математики и отменная эрудиция пригодились Прингсхайму во время работы над отдельными разделами многотомной «Энциклопедии математической науки», издававшейся в 1898–1901 годах. Его перу принадлежат там главы о сходимости различных процессов и об основаниях общей теории функций. По признанию Оскара Перрона, тексты Прингсхайма, содержащие богатейшие обзоры первоисточников, стали настоящей находкой для всех, кто работал в этих областях.

В 1904 году отмечалось 145-летие Баварской академии наук. Альфреду Прингсхайму было доверено сделать доклад на торжественном заседании, посвященном этой дате. Профессор и действительный член академии отнесся к этому поручению чрезвычайно серьезно: как вспоминала Катя Прингсхайм, ее отец даже просил руководство университета освободить его от чтения лекций в летнем семестре 1903 года, чтобы всецело посвятить себя подготовке к докладу. Несмотря на первоначальный отказ, он смог всё же добиться своего (Jüngling, и др., 2003, стр. 48). Тема выступления в академии должна была заинтересовать и коллег-математиков, и представителей других наук, использующих математику в своих исследованиях. Доклад назывался «О ценности математики и ее якобы ненужности» (Pringsheim, 1904).

Центром доклада стала полемика с Шопенгауэром, критика его взглядов на математику как бесполезную «игру в бисер», не имеющую ценности в реальном мире.

В докладе на торжественном заседании в академии Прингсхайм убедительно доказывает, что Шопенгауэр либо не понимает того, о чем берется судить, либо сознательно искажает источники, на которые ссылается, — как было, например, с известным афоризмом Георга Лихтенберга: «Математика — великолепная наука, однако математики никуда, к черту, не годятся» (Pringsheim, 1904, стр. 9). Шопенгауэр отбрасывает первую часть этой фразы, и у его читателей создается впечатление, что Лихтенберг — его единомышленник. В книге Лихтенберга, на которую ссылается философ, афоризмы отделены друг от друга звездочками, так что исказить начало афоризма можно было только сознательно, отмечает докладчик (Pringsheim, 1904, стр. 39).

Один из разделов доклада посвящен арифметике. Шопенгауэр отказывает ей в праве считаться наукой, ссылаясь на то, что уже в его время в Англии изобретены машины для арифметических вычислений, которые мы бы сейчас назвали арифмометрами. По его мнению, любой арифметический расчет можно поручить машине, так что человеческий мозг в этом не участвует. В наше время такую позицию только усилила бы ссылка на существование разнообразных калькуляторов и расчетных программ для компьютеров.

Ошибка такого подхода кроется в том, что арифметика, или теория чисел, вовсе не сводится к вычислениям, это разные сферы деятельности. «Арифметика, даже элементарная, — это наука, она изучает и обосновывает различные общие законы действий с числами», — подчеркивал Прингсхайм в докладе (Pringsheim, 1904, стр. 8). Собственно вычисления, проводимые также с помощью технических средств, — это не наука, а ее приложение. Называть такое приложение «арифметикой» и противопоставлять ее остальной математике — недобросовестный прием, которым пользовался Шопенгауэр.

Обширный доклад мюнхенского математика, занимающий сорок с лишним страниц убористого журнального текста, содержит немало подобных разоблачений. Но он не сводится только к критике взглядов Шопенгауэра и его единомышленников. Альфред Прингсхайм напоминает о разнообразных приложениях математики в других областях человеческой деятельности: не только в физике и инженерии, но и в химии, психологии, экономике, статистике, страховом деле… Область приложений математики постоянно расширяется. Подчас невозможно предугадать, где еще возникнет необходимость в математических моделях. Чтобы показать опасность негативных предсказаний, Прингсхайм приводит случай из жизни философа Огюста Конта, основоположника позитивизма. В «Курсе позитивной философии», изданном в Париже, Конт пророчествовал: «Мы научимся постепенно определять форму, удаленность, размеры и движение небесных светил; но мы никогда не будем в состоянии никакими средствами изучить их химический состав» (Pringsheim, 1904, стр. 33).

Этот неутешительный прогноз был сделан в 1835 году. А через 24 года Кирхгоф и Бунзен открыли спектральный анализ, сделавший невозможное возможным. По спектру солнечного света удалось определить не только химический состав светила, но и открыть новый элемент, получивший название гелий. При этом математика в исследованиях Кирхгофа играла ведущую роль.

Прингсхайм всегда много внимания уделял преподаванию математики в школах, гимназиях и университетах. В докладе он предложил учредить в университете специальную кафедру математической педагогики, или, говоря ученым языком, математической дидактики. Предложение намного опередило время. Такая кафедра в Мюнхенском университете была создана только в 1970-х годах, через семьдесят лет после доклада Прингсхайма в Баварской академии.

Важность приложений математики в других областях науки и техники сейчас не оспаривается никем. Прингсхайм подчеркивает другую мысль, не потерявшую актуальность и в наши дни. Практическую ценность той или иной математической работы невозможно заранее предсказать. Ориентация только на исследования, имеющие прикладное значение, может погубить фундаментальную науку. Прингсхайм доводит эту мысль до крайности: «Если всем математикам ХХ века специальным указом приказать изучать только такие вещи и заниматься только такими проблемами, про которые с уверенностью можно сказать, что они могут служить естествознанию и, возможно, технике, то математические исследования одновременно со свободой утратят бо́льшую часть своей результативности» (Pringsheim, 1904, стр. 36).

Если бы Прингсхайм держал свою речь десятью годами позже, он обязательно бы привел яркий пример математической теории, далекой, казалось бы, от реальной жизни, но нашедшей со временем применение в естествознании. Это неевклидова геометрия, сыгравшая важнейшую роль в общей теории относительности Эйнштейна. Именно в этой теории модели пространства, в которых у прямой может быть несколько параллельных, стали описывать структуру реальной Вселенной. А поначалу пространственные модели, в которых не выполняется знаменитая аксиома Эвклида о параллельных прямых, возникли чисто умозрительно, без всякой связи с физикой и астрономией.

Но и без этого примера аргументы Прингсхайма звучали убедительно. Весь опыт развития цивилизации показывает, что математические знания ценны не только тем, что служат целям других наук. Нет, математика важна сама по себе, она развивается не только по запросам внешнего мира, но следуя своей собственной логике. И эта логика неотделима от понятия красоты. Музыкант и знаток искусства, Альфред Прингсхайм называет математическую деятельность «высшей формой чистейшей эстетики понимания» (Pringsheim, 1904, стр. 36).

«В истинном математике всегда есть что-то от художника, архитектора и даже поэта, — полагает докладчик и продолжает: — Вне реального мира, однако, в заметной связи с ним математики с помощью творческой умственной работы построили некий мир идеальный, который они пытаются превратить в самый совершенный из всех миров и исследуют его во всех направлениях. О богатстве этого мира имеют представление, естественно, только посвященные: лишь надменное невежество может полагать, что математик скован узкими рамками. Всё, что его ограничивает, есть ни много ни мало только непротиворечивость» (Pringsheim, 1904, стр. 36).

Заканчивает свою речь Альфред Прингсхайм явно на торжественной ноте: «Многое, ради чего богатейшая математическая продукция создавалась и создается, является преходящим, бренным. Но из множества созданного выделяется кристально чистое ядро абстрактного знания, которое во все времена выступает как блестящий памятник силе человеческого духа. Могут ли те, кто, каждый в меру своих сил, участвуют в построении этого памятника, быть сухими и односторонними рационалистами, как полагают многие? Я думаю, что здесь уместно процитировать уже упомянутого в начале Новалиса, который сказал: „Истинный математик — это энтузиаст per se ⁵. Без энтузиазма нет математики“» (Pringsheim, 1904, стр. 37).

Эти слова, несомненно, читал или слышал Давид Гильберт, которому принадлежит ставшее широко известным высказывание об ученике, сменившем математику на филологию: «Он пошел в поэты — для математика у него не хватало фантазии» (Meschkovski, 1991, стр. 502) ⁶.

Евгений Беркович

Perron Oskar. 1952–1953. Alfred Pringsheim. Jahresbericht der Deutsche Mathematiker-Vereinigung, 56 (1952/53), S. 1–6. 1952–1953.

Mendelssohn Peter de. 1997. Der Zauberer. Das Leben des deutschen Schriftstellers Thomas Mann. Frankfurt a.M.: Fischer Taschenbuch Verlag, 1997.

Fritsch Rudolf и Rippl Daniela. 2001. Alfred Pringsheim. Forschungsbeiträge der Naturwissenschaftlichen Klasse. Sudetendeutsche Akademie der Wissenschaften und Künste. München S. 97–128. 2001.

Jüngling Kirsten и Brigitte Roßbeck. 2003. Die Frau des Zauberers. Katia Mann. Biografie. München: Propyläen Verlag, 2003.

Pringsheim Alfred. 1904. Ueber Wert und angeblichen Unwert der Mathematik. Festrede gehalten in der öffentlichen Sitzung der Königlich-Bayrischen Akademie der Wissenschaft zu München zur Feier ihres 145. Stiftungstages am 14. März 1904. München: Verlag der Königlich-Bayrischen Akademie, 1904.

Meschkovski Herbert. 1991. Moderne Mathematik. Ein Lesebuch. München: Piper, 1991.

Mann Klaus. 1984. Mann, Klaus. Der Wendepunkt. Ein Lebensbericht. Reinbek bei Hamburg: Rowohlt Taschenbuch Verlag, 1984.

Basieux Pierre. 1999. Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion. Reinbek bei Hamburg: Rowohlt Taschenbuch Verlag, 1999.

¹ Рассматриваемые в этой заметке вопросы в другом контексте обсуждались в моей статье «Томас Манн и Альфред Прингсхайм: писатель и математик под одной крышей», опубликованной в журнале «Нева», № 3, 2016.

² Deutsche Mathematiker-Vereinigung — дословно «Немецкое общество математиков».

³ Да позволено мне будет так сказать (лат.).

⁴ По-немецки этот каламбур звучит еще ярче: «Mengenlehre» — учение о множествах, «Menge Lehrer» — множество педагогов, наставников, преподавателей.

⁵ Per se (лат.) — по своей сути.

⁶ Существует мнение, что эта фраза принадлежит другому великому математику — Карлу Фридриху Гауссу (Basieux, 1999).