Карл Шварцшильд: астрономия, артиллерия, черные дыры

Сто лет назад Карл Шварцшильд, 42-летний директор Астрофизической обсерватории в Потсдаме и артиллерийский офицер германской армии, во фронтовом госпитале в России сделал важные вычисления и благодаря Альберту Эйнштейну опубликовал две статьи, проложившие путь к созданию теории черных дыр. В мае 1916 года он скончался от пузырчатки. Алексей Левин прочел судьбоносные тексты в оригинале и решил поделиться выводами с читателями ТрВ-Наука.

Предыстория публикаций

25 ноября 1915 года профессор Берлинского университета Альберт Эйнштейн представил Королевской академии наук Пруссии письменный доклад, содержащий систему полностью ковариантных (не меняющих вид при изменении системы координат) уравнений релятивистской теории гравитационного поля, известной также как Общая теория относительности (ОТО).

Неделей раньше Эйнштейн выступил на заседании Академии с лекцией, где продемонстрировал более раннюю и еще неполную версию этих уравнений, которые не обладали полной ковариантностью. Однако уже эти уравнения дали Эйнштейну возможность с помощью метода последовательных приближений правильно вычислить аномальное вращение орбиты Меркурия и предсказать величину углового отклонения звездного света в поле тяготения Солнца.

Это выступление нашло благодарного слушателя — Карла Шварцшильда, коллегу Эйнштейна по Академии. Он служил лейтенантом артиллерии в действующей армии Германской империи и как раз тогда приехал в отпуск. В декабре, уже по возвращении на фронт, Шварцшильд нашел точное решение первой версии уравнений Эйнштейна, которое через его посредство опубликовал в «Отчетах о заседаниях» (Sitzungsberichte) Академии. В феврале, уже ознакомившись с окончательной версией уравнений ОТО, Шварцшильд отослал Эйнштейну вторую статью, в которой впервые фигурирует гравитационный, он же шварцшильдовский, радиус. В современной интерпретации это — радиус горизонта черной дыры, из-под которого невозможна передача сигнала наружу. 24 февраля, когда Эйнштейн передал в печать и эту работу, битва под Верденом длилась уже три дня.

Наука и война

Карл Шварцшильд (1873–1916) был не только блестящим, но и разносторонним ученым. Он оставил глубокий след в наблюдательной астрономии, будучи одним из пионеров оснащения телескопов фотографической аппаратурой и ее использования в целях фотометрии. Ему принадлежат глубокие и оригинальные труды в области электродинамики, звездной астрономии, астрофизики и оптики. Шварцшильд даже успел внести немалый вклад в квантовую механику атомных оболочек, построив в своей последней научной работе теорию эффекта Штарка — смещения и расщепления атомных уровней в электрическом поле [1]. В 1900 году, за пятнадцать лет до создания ОТО, он не только всерьез рассмотрел ту парадоксальную возможность, что геометрия Вселенной отличается от евклидовой (такое допускал еще Лобачевский), но и оценил нижние пределы радиуса кривизны пространства для сферической и псевдосферической геометрии космоса. Не достигнув и тридцати лет, он стал профессором Гёттингенского университета и директором университетской обсерватории, в 1909 году был избран членом лондонского Королевского астрономического общества и возглавил Потсдамскую астрофизическую обсерваторию, а еще через четыре года стал действительным членом Прусской академии наук.

Стройную научную карьеру Шварцшильда оборвала Первая мировая война. Он не подлежал призыву по возрасту, но пошел в армию добровольцем и в конце концов оказался на русском фронте в штабе артиллерийской части, где занимался вычислением траекторий снарядов дальнобойных орудий. Там он стал жертвой пемфигуса, или пузырчатки, очень тяжелого аутоиммунного заболевания кожных покровов, к которому имел наследственную склонность. Эта патология плохо поддается лекарствам и в наше время, а тогда и вовсе была неизлечимой.

В марте 1916 года Шварцшильд был комиссован и вернулся в Потсдам, где скончался 11 мая. Он был одним из самых крупных физиков, чьи жизни унесла Первая мировая. Также можно вспомнить Генри Мозли, одного из основоположников рентгеновской спектроскопии. Он служил офицером связи и погиб в 27 лет в ходе Дарданелльской операции 10 августа 1915 года.

Метрика Шварцшильда

Знаменитая пространственно-временная метрика (или четырехтензор) Шварцшильда исторически стала первым точным решением уравнений ОТО. Она описывает статическое гравитационное поле, которое создается в вакууме неподвижным сферически симметричным телом массы M. В стандартной записи в координатах Шварцшильда t, r, θ, φ имеет две особые точки (на формальном языке — сингулярности), вблизи которых один из элементов метрики стремится к нулю, а другой к бесконечности. Одна из сингулярностей возникает при r = 0, то есть там же, где обращается в бесконечность ньютоновский потенциал тяготения. Вторая сингулярность соответствует значению r = 2GM/с², где G — гравитационная постоянная, M — гравитирующая масса и с — скорость света. Этот параметр обычно обозначают r_s и называют радиусом Шварцшильда или гравитационным радиусом. Это уже неньютоновская сингулярность, вытекающая из уравнений ОТО, над смыслом которой мучилось несколько поколений физиков. Гравитационный радиус тела с массой Солнца равен приблизительно 3 км. Как известно, этот параметр играет ключевую роль в теории черных дыр.

Стоит напомнить, что угловые координаты Шварцшильда θ и φ полностью аналогичны полярному и азимутальному углам в обычных сферических координатах, однако величина радиальной координаты r отнюдь не равна длине радиус-вектора. В метрике Шварцшильда длина окружности с центром в начале координат выражается евклидовской формулой 2πr, однако расстояние между двумя точками с радиусами r₁ и r₂, находящимися на одном радиус-векторе, всегда превышает арифметическую разность r₂–r₁. Отсюда сразу видно, что шварцшильдовское пространство неевклидово — отношение длины окружности к длине ее радиуса меньше, чем 2π.

Первый мостик к черным дырам

А теперь самое интересное. Метрика Шварцшильда, как она приведена выше, в обеих его статьях вообще отсутствует. В первой из его публикаций «О гравитационном поле точечной массы, вытекающем из теории Эйнштейна» [2] представлена метрика пространства-времени, соответствующая полю тяготения точечной массы, которая вовсе не эквивалентна стандартной метрике, хотя внешне на нее похожа. В той метрике, которую написал сам Шварцшильд, радиальная координата имеет нижнюю положительную границу, так что сингулярность ньютоновского типа в ней отсутствует. Остается лишь сингулярность, которая возникает, когда радиус принимает свое минимальное значение, которое возникает как постоянная интегрирования. Для этой постоянной в статье Шварцшильда нет ни формулы, ни численной оценки, только обозначение α. Неформальный смысл этой сингулярности состоит в том, что точечный центр массы окружен сферой радиуса α и на этой сферической поверхности происходит нечто странное и непонятное. В подробности Шварцшильд не вдается.

Карл Шварцшильд получил свою метрику в результате решения уравнений Эйнштейна в их первой версии, с которой он ознакомился 18 ноября. На ее основе он подтвердил величину вычисленного Эйнштейном аномального поворота орбиты Меркурия. Он также вывел релятивистский аналог третьего закона Кеплера — однако только для круговых орбит. Конкретно, он показал, что квадрат угловой скорости пробных тел, обращающихся по таким орбитам вокруг центральной точки, дается простой формулой n² = α/2R³ (буквой n Шварцшильд обозначает угловую скорость; R — радиальная координата). Поскольку R не может быть меньше, чем α, угловая скорость имеет верхний предел n₀= 1/(√2α).

Напомню, что в ньютоновской механике угловая скорость тел, обращающихся вокруг точечной массы, может быть сколь угодно большой, так что тут зримо видна специфика ОТО.

Формула для n₀ выглядит необычно из-за ее размерности. Это связано с тем, что Шварцшильд принимает скорость света за единицу. Чтобы получить угловую скорость с обычной размерностью 1/сек, надо правую часть формулы для n₀ умножить на скорость света c.

Изюминку Шварцшильд приберег под занавес. В конце статьи он отметил, что если величина точечной массы в начале координат равна массе Солнца, то максимальная частота обращения оказывается примерно 10 тыс. оборотов в секунду. Отсюда сразу следует, что α = 10^-4с/2π√2. Так как с = 3х10⁵ км/сек, параметр α оказывается приблизительно равным 3 км, то есть гравитационному радиусу Солнца! Не появившись в статье Шварцшильда явно, это число проникло туда с черного хода и без какого-либо обоснования (Шварцшильд ведь не уточнил, как он получил численную величину предельной частоты). В общем, уже первая статья Шварцшильда прокладывает очень тонкий мостик к теории черных дыр, хотя обнаружить его не так-то просто. Заметив это, я немало удивился, поскольку принято считать, что гравитационный радиус появляется только во второй статье Шварцшильда.

Второй мостик к черным дырам

Вторая статья Шварцшильда называется «О гравитационном поле сферы, заполненной несжимаемой жидкостью, вычисленном в соответствии с теорией Эйнштейна» [3]. В ней (напомню, уже на базе полной системы уравнений ОТО) вычислены две метрики: для внешнего пространства и для пространства внутри сферы. В конце этой статьи впервые появляется гравитационнный радиус 2GM/с², только выраженный в других единицах и никак специально не названный. Как отмечает Шварцшильд, в случае тела с массой Солнца он равен 3 км, а для массы в 1 г равен 1,5х10^-28 см.

Но эти числа еще не самое интересное. Шварцшильд также указывает, что радиус сферического тела, измеренный внешним наблюдателем, не может быть меньше его гравитационного радиуса. Отсюда следует, что точечная масса, о которой шла речь в первой статье Шварцшильда, также представляется извне в виде сферы. Физически это связано с тем, что никакой световой луч не может приблизиться к этой массе ближе, чем на ее гравитационный радиус, а затем вернуться к внешнему наблюдателю. В статье Шварцшильда этих утверждений нет, но они прямо следуют из ее логики. Это второй мостик к концепции черных дыр, который можно найти у самого Шварцшильда.

Эпилог

Сферически симметричными решениями уравнений ОТО после Шварцшильда занимались и чистые математики, и физики, и космологи. Весной 1916 года голландец Йоханнес Дросте, который заканчивал в Лейденском университете докторскую диссертацию под руководством Хендрика Лоренца, представил шефу для публикации работу, в которой вычислил метрику пространства-времени для точечной массы проще, чем это сделал Шварцшильд (о его результататх Дросте еще не успел узнать). Именно Дросте первым опубликовал ту версию метрики, которая позже стала считаться стандартной [4].

В ходе последующей шлифовки решения Шварцшильда был также обнаружен совершенно различный характер сингулярностей: одну, возникающую в стандартной форме метрики при г = rs, как выяснилось, можно устранить заменой координат, другая, возникающая при r = 0 , оказалась неустранимой и физически соответствует бесконечности поля тяготения.

Всё это очень интересно, но полностью выпадает за рамки моей статьи. Достаточно сказать, что математическая теория черных дыр давно и хорошо разработана и очень красива — и вся она исторически восходит к решению Шварцшильда. Что касается физической реальности черных дыр, возникающих в результате коллапса самых массивных звезд, то в нее астрономы начали верить лишь с начала 1960-х годов, после открытия первых квазаров. Но это уже совсем другая история.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese / Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). P. 548–568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse 1916. P. 189–196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. 1916. P. 424–434.

4. Droste J. The Field of a Single Center in EINSTEIN’s Theory of Gravitation, and the Motion of a Particle in that Field.Proc. K. Ned. Akad. Wet. Ser. A 19. 197 (1917).