Премия за теорему Ферма

15 марта 2016 года Абелевская премия этого года была присуждена профессору Оксфордского университета сэру Эндрю Уайлсу (Andrew J. Wiles) за «его великолепное доказательство последней теоремы Ферма». О том, как математики 300 лет продвигались к доказательству этой теоремы, и о самом лауреате премии ТрВ-Наука рассказал Михаил Анатольевич Цфасман.

Уже древние вавилоняне и египтяне отлично знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный. 3² + 4² = 5². Знали они и множество других треугольников с этим свойством. Диофант Александрийский (примерно III век н. э.) сумел перечислить все такие треугольники — все решения уравнения х² + y² = z² в целых положительных числах.

Его трактатом «Арифметика» заинтересовался французский нотариус и математик очень хорошего уровня Пьер де Ферма (Pierre de Fermat, 1601–1665). На полях его экземпляра этого трактата имеется много интересных обобщений и замечаний. В 1637 году он написал: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

В XIX веке немецкий математик Эрнст Куммер (Ernst Eduard Kummer) придумал и подробно написал действительно чудесное доказательство, у которого был один недостаток: оно оказалось неверным, что он сам вскоре и заметил. При этом он получил множество интересных результатов, которые были отмечены Большим призом Парижской академии наук в 1837 году. Вся современная алгебраическая теория чисел возникла из этой работы Куммера.

Никто не знает, было ли у Ферма доказательство; я думаю, что Ферма имел в виду то же самое доказательство, что и Куммер, и, так же как и Куммер в первой своей работе, не заметил неоднозначности разложения целых алгебраических чисел на простые.

После этого эту теорему доказывало бесконечное количество «ферматистов», математиков-любителей, тем более что за нее была обещана большая премия. Но ни в одном из их неверных доказательств не было ничего, что бы продвинуло науку дальше. Одновременно этим занимались и многие профессионалы, их работы были важны для теории чисел, они доказали теорему Ферма во многих частных случаях. А дальше наступила последняя четверть XX века — эту историю я наблюдал уже собственными глазами, когда к теореме Ферма появился совсем новый подход.

Он связан с именами замечательных математиков: француза Ива Эллегуарша (Yves Hellegouarch), немца Герхарда Фрая (Gerhard Frey), американца Кена Рибета (Ken Ribet) и, может быть, лучшего математика второй половины XX века, которому в этом году исполняется 90 лет, француза Жан-Пьера Серра (Jean-Pierre Serre). В их работах наука пошла сильно дальше и свелась к очень красивой задаче арифметической алгебраической геометрии. При этом было использовано невероятно много различных областей современной математики.

В итоге задача доказательства теоремы Ферма свелась к очень трудной проблеме о модулярности эллиптических кривых (проблема Таниямы — Шимуры — Вейля); как раз ее частный случай, достаточный для теоремы Ферма, к лету 1993 года и доказал Эндрю Уайлс. При этом в первом его решении довольно быстро была найдена ошибка. Он год бился и, когда уже решил, что ничего не получается, 19 сентября 1994 года к нему пришло озарение. И после этого, как говорят математики, на эту ошибку «была наложена заплата» страниц в 200, написанных Уайлсом в соавторстве с его бывшим студентом Ричардом Тейлором (Richard Taylor). Статья была опубликована в мае 1995 года, и на этом история теоремы Ферма была завершена, мы получили ее законченное доказательство.

Еще раз повторю, что на пути к доказательству великой теоремы Ферма математики придумали массу всего интересного, что очень значимо, даже если полностью забыть про исходную проблему. Тем самым этой теореме мы можем поставить памятник как мощному двигателю прогресса в математической науке.