Игры с монетами

Азартные игры — это игры на деньги. Но иногда монеты являются самим материалом игры — многие из таких игр вошли в историю культуры, как народной, так и «высокой». Расскажу о некоторых из них. (Нумизматам дальше лучше не читать, потому что большинство этих игр сильно портили монеты.)

Расшибалочка (расшибец, расшибай, расшиши)

Как у всякой игры, у расшибалочки есть множество различающихся в мелких деталях вариантов, но основная идея всюду одинаковая. Каждый игрок дает по монете равного достоинства. Монеты укладываются в стопку одной стороной вверх (где-то орлами, где-то решками). С расстояния в несколько метров каждый из игроков бросает свою биту (свинцовую плашку или екатерининский пятак). Тот, чья бита разбивает стопку, забирает все монеты. Если никто не попал, начинается второй этап, когда биты бросают уже с близкого расстояния; первым — тот, чья бита легла ближе всего к стопке. Этот игрок разбивает битой стопку («разбивает кон») и забирает себе все перевернувшиеся монеты. Далее он старается перевернуть монеты по одной; когда очередная попытка не удается, ход передается следующему игроку, и так до тех пор, пока не будет перевернута последняя монета. Потом всё начинается сначала.

Лингвист Владимир Иванович Беликов помнит более сложный вариант игры, когда стопка стояла в небольшом очерченном квадрате («казне») и те, чья бита при первоначальном броске не оставалась в нем, сразу выходили из игры («сгорали») [1]. Похожий вариант описан в рассказе «Уроки французского» Валентина Распутина: «Рaзобрaться в игре ничего не стоило. Кaждый выклaдывaл нa кон по десять копеек, стопку монет решкaми вверх опускaли нa площaдку, огрaниченную жирной чертой метрaх в двух от кaссы, a с другой стороны, от вaлунa, вросшего в землю и служившего упором для передней ноги, бросaли круглую кaменную шaйбу. Бросaть ее нaдо было с тем рaсчетом, чтобы онa кaк можно ближе подкaтилaсь к черте, но не вышлa зa нее, — тогдa ты получaл прaво первым рaзбивaть кaссу. Били всё той же шaйбой, стaрaясь перевернуть монеты нa орлa. Перевернул — твоя, бей дaльше, нет — отдaй это прaво следующему. Но вaжней всего считaлось еще при броске нaкрыть шaйбой монеты, и если хоть однa из них окaзывaлaсь нa орле, вся кaссa без рaзговоров переходилa в твой кaрмaн, и игрa нaчинaлaсь сновa» [2].

В расшибалочку играли на съемках «Сталкера» (илл. 1). Вот отрывок из воспоминаний художника-постановщика фильма Шавката Абдусаламова: «Помню, однажды мы не снимаем, ждем тучки. И все бросились играть в расшибай. Солоницын, Гринько, Кайдановский, да и мало ли свободного люда на площадке… Но когда туда же переметнулся стоявший около камеры Тарковский, я чуть не застыл на подскоке.

У меня в голове: „Через минуту-другую съемка. Вон уже тучка нашла… Где те самые муки творчества, где, наконец, горделивая стойка великого режиссера?“

И легкомысленнее всех — как мне показалось — вел себя Саша. Проигрывая, требовал пересмотра игры, клянчил в долг… Просил деньги у кого ни попадя. Играли, хоть и по мелочи, но на деньги… проигрывали там все и тот же Андрей. На площадке почему-то всегда выигрывают осветители…» [3].

Пристенок (чика, замеряшки)

В самом простом варианте играют двое. Первый бросает монету так, чтобы она ударилась о стену. Второй старается, чтобы его монета упала рядом с первой. Если это получилось, он забирает обе монеты, если нет — оба забирают свои монеты и меняются очередью. «Рядом» — значит, что игрок может коснуться монет одновременно пальцами одной руки; можно также использовать мерную палочку — «замеряшку», как в руке у второго справа персонажа на гравюре Кристиана Гейслера (илл. 4). Именно в пристенок играют мальчик и учительница в «Уроках французского» и в одноименном фильме Евгения Ташкова, снятом по рассказу Распутина в 1978 году [5].

Можно не забирать монетки, а по очереди бросать новые; тогда одновременно смогут играть несколько человек. Можно считать выигрыш, только если монеты соприкасаются. Можно помечать на стене кирпич (или просто рисовать прямоугольник), в который должна попасть монета при отскоке. Можно накрывать монеты не другой монетой, а специальной битой и как-то разграничивать пространство на земле, куда должны или, наоборот, не должны попадать монеты и биты. Можно помещать кон в специально вырытую ямку — «котел», и выигрыш тогда достается попавшему в котел битой, с отскока от стены или просто с какого-то расстояния [6].

5. На верхней фотографии — пристенок; на нижней, судя по позам, расшибалы [1, 7, 8, 9]. Обе игры могли называться «чика» (не путать с чекой, чеканкой, игрой с мячом)

Орлянка

Самая простая и в каком-то смысле самая фундаментальная игра с монетами — орлянка. Один из игроков загадывает, на какую сторону упадет монета, другой ее подбрасывает; если первый угадал — монета его. В Древнем Риме эта игра называлась navia aut caput («корабль или голова»), поскольку на некоторых монетах на одной стороне изображалась голова императора, а на другой — корабль (илл. 6).

Таким образом можно не только играть на деньги, но и решать важные вопросы (сейчас в сувенирных магазинах продаются гадательные жетоны почти на все случаи жизни). В частности, этим способом часто определяют очередность ударов в спортивных играх. В спорте и политике жребий помогает выбрать победителя при полном равенстве всех остальных показателей (количество голов или голосов, суммы тендеров). Так Италии была присуждена победа над СССР в полуфинале чемпионата Европы по футболу 1968 года (основное и дополнительное время завершились со счетом 0:0, а пенальти тогда не били).

В 2013 году жребием, при полном равенстве голосов (3236), был выбран мэр города Сан-Теодоро на Филиппинах (монета упала на орла три раза из пяти [10]). Имя для города Портленд в штате Орегон в 1845 году разыграли в орлянку его основатели Эйса Лавджой из Бостона (Массачусетс) и Фрэнсис Петтигроув из Портленда (Мейн); Петтигроув выиграл два броска из трех; монета теперь хранится в музее Орегонского исторического общества (илл. 7).

7. «Портлендский цент». Рисунок из книги [11]

Броском монеты определяется очередность выборов сенаторов при вступлении в США новых штатов. Наконец, имеется полушуточное философское течение «флипизм» (от flip a coin — «бросить монетку»), согласно которому вообще все решения должны приниматься броском монеты; оно широко представлено в популярной культуре.

Монета может упасть и на ребро, например прислонившись к вертикальной поверхности (стена, ножка стола, ботинок) или закатившись в щель на земле: такое случилось 8 декабря 2013 года во время матча Национальной футбольной лиги между «Филадельфийскими Орлами» и «Детройтскими Львами», проходившего в сильный снегопад. Но есть ненулевая вероятность, что подобное произойдет и в идеальной ситуации; для американской пятицентовой монеты она, по оценкам, составляет 1/6000 [12].

Как правильно играть в орлянку? Рассмотрим сначала идеальную физическую модель [13]. Монету нулевой толщины подбрасывают вертикально вверх со скоростью u и угловой скоростью ω (начальную высоту и ускорение свободного падения g считаем постоянными). Из стандартных соображений о непрерывности ясно, что лишь очень малые изменения начальных скоростей не влияют на исход броска; тем самым всё пространство значений (u, ω) распадется на области, соответствующие исходам «орел» и «решка». Эти области оказываются полосками, заключенными между гиперболами (илл. 8). Полоски кажутся узкими, но для каждой прямой, параллельной горизонтальной или вертикальной оси, отрезки, высекаемые полосками, имеют постоянную длину. Все полоски имеют одинаковую площадь.

Куда же в этом пространстве попадают реальные броски? Для оценки вертикальной скорости достаточно посмотреть, на какую высоту взлетает монета; оказывается, что типичное значение u/g = ¼ сек. Для оценки угловой скорости профессор Стэнфордского университета Перси Диаконис провел анализ при помощи стробоскопа; оказалось, что ω = 38 оборотов в секунду = 38(2π) рад/сек. В этой области значений полоски чередуются уже очень часто, исход меняется при крайне малых изменениях начальных скоростей, а вероятности исходов практически неотличимы от ½ независимо от начального положения монеты. Пока всё хорошо.

Теперь пусть монета имеет ненулевую толщину и, стало быть, может приземлиться на ребро. Из соображений непрерывности должна существовать монета, которая имеет равную вероятность приземлиться на ребро и на каждую из сторон.

В самом деле, если монета очень тонкая, вероятность приземлиться на ребро мала; если толстая — цилиндрический брусок, — она почти всегда приземляется на ребро; стало быть, между этими предельными случаями реализуется весь спектр значений, в том числе ⅓. Вычисление ширины такой монеты, однако, неоднозначно, даже если оставаться в рамках идеализированных математических моделей. Дело в том, что вычисление вероятности случайного события зависит от точного определения «случайности»: от того, как мы определяем модель события; на этом основано множество классических парадоксов теории вероятности.

В случае монеты тоже имеется парадокс: приписываемое фон Нойману чисто геометрическое решение внешне убедительно, но не учитывает физической стороны явления, а именно закон сохранения момента импульса (детали см. в [14] и на илл. 9). Результаты эксперимента, проведенного авторами [14] для монет разной толщины, хорошо согласуются с динамической моделью Келлера [13], но не с геометрической моделью фон Ноймана (илл. 10). Впрочем, надо учитывать структуру поверхности, на которую падает монета: если она не эластична, даже тонкая монета может с большой вероятностью упасть на ребро (илл. 10b).

Однако вернемся к обычным монетам. В действительности надо учитывать еще много обстоятельств: от формы ребра и большей или меньшей выпуклости изображений на сторонах до эластичности и коэффициента трения поверхности, на которую падает монета, или точного направления, в котором она закручивается.

Начнем с направления. Все предыдущие модели предполагали, что ось вращения строго горизонтальна; но при реальном броске это не так. Для изучения влияния отклонения оси и вызываемой этим прецессии на результат броска уже упомянутый Перси Диаконис с коллегами построили специальную машину (илл. 11) [15]. Они также доказали теорему о том, что, если угол между осью вращения монеты и перпендикуляром к ее поверхности меньше 45°, монета будет колебаться в воздухе, но упадет в том же положении, в котором она была до броска (этим умеют пользоваться фокусники и шулеры и, видимо подсознательно, сильно мотивированные испытуемые [16]).

Учет удара монеты о поверхность (даже при идеальном вращении относительно горизонтальной оси) показывает, что границы между областями, далекими от нуля, на илл. 8 становятся фрактальными, что усиливает случайность [17], однако увеличивает зависимость от начальных условий [18]. Сопротивление воздуха может играть роль, если монета летит очень долго (скажем, если ее бросают с большой высоты) [14, 18].

Существует другой способ игры в орлянку, когда монета, стоящая на ребре, закручивается вокруг вертикальной оси. В этом случае результат сильно зависит от особенностей монеты, вплоть до года выпуска [19]; можно предположить, что в последнем случае играет роль степень износа ребра. А если монета падает на твердую поверхность и подпрыгивает, мы получаем смесь первого и второго способов — тем самым вполне можно найти у себя в копилке «счастливую» монету, которая будет куда чаще приземляться на орла, чем на решку.

Есть еще масса чудесных тонкостей и историй про студентов, которых профессора заставляли подбрасывать сотни монет: про это можно прочитать в статьях [14, 16, 19] или посмотреть клипы с Перси Диаконисом [20–22].

М. Г.

1. Беликов В. И. // Форум «Городские диалекты», 11.01.2010 — forum.lingvo.ru/actualthread.aspx?tid=119545
2. Распутин В. Уроки французского.
3. Абдусаламов Ш. Пейзаж Зоны // Сообщество «Андрей Тарковский», 30.09.2008 — www.liveinternet.ru/community/andrey_tarkovskiy/post86137271
4. Соборность // Утиная правда, 13.06.2006 — galkovsky.ru/upravda/archive/329.html
5. www.youtube.com/watch?v=fk5Y6J2OX6s
6. Розенберг В. Чика, котел, пристенок // Стихи.ру, 2007 — www.stihi.ru/2007/11/11/1287
7. Девяткин В. Г. Расшибалочка // Проза.ру, 2013 — www.proza.ru/2013/09/29/2148
8. Беликов В. И. // Форум «Городские диалекты», 17.07.2009 — forum.lingvo.ru/actualthread.aspx?tid=114298
9. Половец А. Б. БП. Между прошлым и будущим. Книга 1. Глава 2. Дворяне Боярского переулка — https://biography.wikireading.ru/273279
10. Virola M. Coin toss breaks tie in mayoral race in Oriental Mindoro town // Philippine Daily Inquirer, 23.05.2013 — newsinfo.inquirer.net/410339/coin-toss-breaks-tie-in-mayoral-race-in-oriental-mindoro-town#ixzz4lfXDFAml
11. Gaston J. The Centennial History of Oregon, 1811–1912. S. J. Clarke publishing Company, 1912.
12. Murray D. B. & Teare S. W. Probability of a tossed coin landing on edge // Physical Reviews E, 1993, 48(4): 2547—2552.
13. Kelle J. B. The probability of heads // The American Mathematical Monthly, 1986, 93(3): 191—197.
14. Yong E. H. & Mahadevan L. Probability, geometry, and dynamics in the toss of a thick coin // American Journal of Physics, 2011, 79(12): 1195— 1201.
15. Diakonis P., Holmes S., Montgomery R. Dynamical bias in the coin toss // SIAM Review, 2007, 49(2): 211— 235.
16. Clark M. P. A. & Westerberg B. D. How random is the toss of a coin? // Canadian Medical Association Journal, 2009, 181(12): E306— E308.
17. Vulovic V. Z. & Prange R. E. Randomness of a true coin toss. Physical Review A, 1986, 33(1): 576—582.
18. Zeng-Yuan Y. & Bin Z. On the sensitive dynamical system and the transition from the apparently deterministic process to the completely random process // Applied Mathematics and Mechanics, 1984, 6(3): 193—211.
19. Snell L., Peterson B., Albert J., Grinstead C. Flipping, spinning and tiltingcoins // Chance News, 11.02.2002 — www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/recent_news/chance_news_11.02.html
20. How random is a coin toss? // Numberphile, 30.01.2015 — www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM
21. Could you catch a tossed coin? // Numberphile, 01.02.2015 — www.youtube.com/watch?v=Obg7JPd6cmw
22. Coin flipping (extra footage) // Numberphile2, 30.01.2015 — www.youtube.com/watch?v=9RKKoXw7wJw